🗊 Затухаючі коливання пружинного маятника

Затухаючі коливання пружинного маятника

1. Затухаючі коливання пружинного маятника Модель пружинного маятника. B - механізм, що забезпечує загасання. F - зовнішня сила (в прикладі не присутній). Нехай є система, що складається з пружини (підкоряється закону Гука), один кінець якої жорстко закріплений, а на іншому знаходиться тіло масою m. Коливання відбуваються в середовищі, де сила опору пропорційна швидкості з коефіцієнтом c (див. в'язке тертя). Тоді другий закон Ньютона для даної системи запишеться так: де F c - Сила опору, F y - Сила пружності F c = - c v , F y = - k x , Тобто m a + c v + k x = 0 або в диференціальній формі де k - коефіцієнт пружності в законі Гука, c - коефіцієнт опору, що встановлює співвідношення між швидкістю руху грузика і виникає при цьому силою опору. Для спрощення вводяться наступні позначення: Величину ω називають власною частотою системи, ζ - Коефіцієнтом загасання. Тоді диференціальне рівняння приймає вид

Зробивши заміну x = e λ t , Отримують характеристичне рівняння Коріння якого обчислюються за наступною формулою 1.1. Рішення

Аперіодічность Якщо  , То є два дійсних кореня, і рішення диференціального рівняння приймає вигляд: У цьому разі коливання з самого початку експоненціально згасають. Кордон аперіодічності Якщо  , Два дійсних кореня збігаються  , І рішенням рівняння є: У даному випадку може мати місце тимчасове зростання, але потім - експоненціальне згасання. Слабке загасання Якщо  , То рішенням характеристичного рівняння є два комплексно спряжених кореня Тоді рішенням вихідного диференціального рівняння є Де  - Власна частота затухаючих коливань. Константи c 1 і c 2 в кожному з випадків визначаються з початкових умов: