🗊Презентация Число е и его тайны

Число е и его тайны Выполнила студентка группы 1-17 ЭМЭ-69 Ачкасова Алёна

«Показательная функция «Показательная функция Неслучайно родилась В жизнь органически влилась И движением прогресса занялась!» Б.Слуцкий.

Цели и задачи:  - исследовать историю числа е и расширить знания об иррациональном числе е. Задачи: - изучить литературу с целью получения информации об истории числа е; - выяснить его приближенное значение; - рассмотреть различные способы определения числа е; - рассмотреть решение задачи практического содержания проявления числа е в реальной жизни.

История числа е Число е иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен . Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела:  Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы. Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением. Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии.

Способы определения числа е Число е можно определить несколькими способами. Рассмотрим числовую последовательность с общим членом  , где n=1, 2, 3, … При n=1, u1=2; При n=2, u2=  При n=3, u3=  При n=4, u4=  При n=5, u5= и т. д. Можно сказать, что последовательность сходится, то есть существует предел. Предел этой последовательности обозначают латинской буквой е.

Подробнее о пределе Этот предел называется вторым замечательным пределом.  Число е приблизительно равно 2,718281828459045…(приложение 1) Эйлеру принадлежит много открытий, связанных с числом е, поэтому число е в конце концов стали называть «числом Эйлера». Число е является трансцендентным, т.е. оно не является корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Л. Эйлер открыл бесконечную цепную дробь для представления числа е: e = 2 + 1  1 + 1  2 + 2  3 + 3  4 + …

Для быстрого вычисления большого числа знаков удобнее использовать другое разложение: Число е можно записать в виде суммы ряда Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются Функцию ех называют экспонентой или экспоненциальной функцией, производная которой равна самой функции. Таким образом, рассмотрев способы определения числа е, можно дать краткое определение этого числа. Число е - математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. 

Число e играет огромную роль в математике, физике, астрономии и других науках. Вот некоторые вопросы, при математическом рассмотрении которых приходится пользоваться этим числом (список можно было бы увеличивать неограниченно): Барометрическая формула (уменьшение давления с высотой)  Формула Эйлера Закон охлаждения тел  Колебания маятника в воздухе 

Рассмотрим пример Рост клеток Число Эйлера действительно имеет огромное значение как в математике, так и в жизни. Рассмотрим пример. Задача о росте вклада. Предположим, что кто-то положил один рубль в банк, выплачивающий 4% годовых. Если проценты простые, то каждый год сумма вклада возрастает на 4% от первоначального капитала. Каждый рубль через двадцать пять лет «вырастет» и превратится в два рубля. Если же банк выплачивает сложный процент, то рубль будет расти быстрее, потому что после каждого начисления процентов капитал немного увеличивается и в следующий раз процент начисляется от большей суммы. Чем чаще производят перерасчет и прибавление прибыли к основному капиталу, тем быстрее растет вклад. При ежегодном начислении сложных процентов рубль за 25 лет превратится в , то есть в 2,66 рубля. При начислении сложных процентов каждые полгода (если банк выплачивает 4 (сложных) процента годовых, то прирост вклада за каждые шесть месяцев составляет 2 процента) рубль за 25 лет превратится в , или 2,69 рубля. В рекламных проспектах банков их составители особо подчеркивают, сколько раз в год производится начисление прибыли. Непосвященному может показаться, что при достаточно частом начислении процентов (например, если производить пересчет миллион раз в год) за 25 лет рубль превратится в весьма ощутимую сумму. В действительности ничего подобного не произойдет. Через 25 лет один рубль вырос бы до величины , где п — число начислений прибыли. При п, стремящемся к бесконечности, это выражение стремится к пределу, равному 2,718 (e), что всего на 3 цента больше той суммы, которая получилась бы, если бы прибыль начислялась лишь раз в полгода. Этот предел и является числом е. Однако не все величины возрастают так, как растет капитал в рассмотренных выше примерах. Тип роста, о котором шла речь, обладает одной весьма важной особенностью: в каждый момент времени скорость роста пропорциональна величине того, что возрастает. Иначе, говоря, отношение приращения изменяющейся величины к ее текущему значению всегда одно и то же. Величины такого типа изменяются подобно снежному кому, несущемуся с вершины горы: чем больше становится ком, тем быстрее налипает на него снег. Этот тип роста свойствен многим процессам в живой и неживой природе. Все они описываются формулами, в которые входит экспоненциальная функция.

Заключение   В данной работе мы познакомились с числом е. Узнали, что число e — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Узнали историю этого числа, рассмотрели способы его определения. Также узнали, что число e играет огромнейшую роль, как в математике, так и в других науках, и в жизни. На примере рассмотрели практическое применение числа е в жизни. И думаем, что достигли поставленной цели. Рассмотрев пример решения задачи о росте вклада, мы приходим к выводу, что число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов.