🗊Презентация Дискретная математика. Метод математической индукции

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Дискретная математика. Метод математической индукции, слайд №1Дискретная математика. Метод математической индукции, слайд №2Дискретная математика. Метод математической индукции, слайд №3Дискретная математика. Метод математической индукции, слайд №4Дискретная математика. Метод математической индукции, слайд №5Дискретная математика. Метод математической индукции, слайд №6Дискретная математика. Метод математической индукции, слайд №7Дискретная математика. Метод математической индукции, слайд №8Дискретная математика. Метод математической индукции, слайд №9Дискретная математика. Метод математической индукции, слайд №10Дискретная математика. Метод математической индукции, слайд №11Дискретная математика. Метод математической индукции, слайд №12Дискретная математика. Метод математической индукции, слайд №13Дискретная математика. Метод математической индукции, слайд №14Дискретная математика. Метод математической индукции, слайд №15Дискретная математика. Метод математической индукции, слайд №16Дискретная математика. Метод математической индукции, слайд №17Дискретная математика. Метод математической индукции, слайд №18Дискретная математика. Метод математической индукции, слайд №19Дискретная математика. Метод математической индукции, слайд №20

Содержание

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Дискретная математика. Метод математической индукции. Доклад-сообщение содержит 20 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации


Слайд 1





Дискретная математика
Описание слайда:
Дискретная математика

Слайд 2








Список литературы
1.Шишмарев Ю.Е. Дискретная математика: Конспект лекций. Ч.1. – 2-е изд.- Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2001.
2.Шишмарев Ю.Е. Дискретная математика: Конспект лекций. Ч.2.-.Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2002.
3.Емцева Е.Д., Солодухин К.С. Дискретная математика: Курс лекций. Ч.3.-Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2002.
4. Шишмарев Ю.Е., Емцева Е.Д., Солодухин К.С. Дискретная математика. Сборник задач. Ч.1. – 2-е изд., испр. и доп. - Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2002.
 5.Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2001.
6.Лекции по теории графов/ Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. - М.: Наука, 1990.
7. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика.- М.: ФИМА, МЦНМО, 2006
Описание слайда:
Список литературы 1.Шишмарев Ю.Е. Дискретная математика: Конспект лекций. Ч.1. – 2-е изд.- Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2001. 2.Шишмарев Ю.Е. Дискретная математика: Конспект лекций. Ч.2.-.Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2002. 3.Емцева Е.Д., Солодухин К.С. Дискретная математика: Курс лекций. Ч.3.-Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2002. 4. Шишмарев Ю.Е., Емцева Е.Д., Солодухин К.С. Дискретная математика. Сборник задач. Ч.1. – 2-е изд., испр. и доп. - Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2002. 5.Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2001. 6.Лекции по теории графов/ Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. - М.: Наука, 1990. 7. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика.- М.: ФИМА, МЦНМО, 2006

Слайд 3





Метод математической индукции
ММИ
Лекция 0
Описание слайда:
Метод математической индукции ММИ Лекция 0

Слайд 4





Введение
Во многих разделах математики приходится доказывать истинность предложений, зависящих от натуральной переменной, для всех значений этой переменной. 
Один из наиболее распространенных методов доказательств истинности таких предложений является
    метод математической индукции
Описание слайда:
Введение Во многих разделах математики приходится доказывать истинность предложений, зависящих от натуральной переменной, для всех значений этой переменной. Один из наиболее распространенных методов доказательств истинности таких предложений является метод математической индукции

Слайд 5





Введение
Вспомним знаменитого Шерлока Холмса. Какой метод рассуждения применялся им при расследовании дел? 
Правильно, метод дедукции – метод рассуждения, при котором новое положение выводится логическим путем от общих положений  к частным выводам. 
А какой метод рассуждений является противоположным дедукции?
Верно, индукция – способ рассуждения от  частных положений к общим выводам. 
 «Это невозможно!»- скажешь ты, вспомнив тему сегодняшнего урока. Математикам не свойственно делать общие выводы на основании частных случаев. Не спеши огорчаться, математики придумали свою индукцию – математическую, которая не уступает в строгости другим математическим методам.
Описание слайда:
Введение Вспомним знаменитого Шерлока Холмса. Какой метод рассуждения применялся им при расследовании дел? Правильно, метод дедукции – метод рассуждения, при котором новое положение выводится логическим путем от общих положений к частным выводам. А какой метод рассуждений является противоположным дедукции? Верно, индукция – способ рассуждения от частных положений к общим выводам. «Это невозможно!»- скажешь ты, вспомнив тему сегодняшнего урока. Математикам не свойственно делать общие выводы на основании частных случаев. Не спеши огорчаться, математики придумали свою индукцию – математическую, которая не уступает в строгости другим математическим методам.

Слайд 6





Метод математической индукции (1838 г., Британская энциклопедия, де Морган)
Огастес - де Мо́рган (1806-1871) — шотландский математик и логик.
Описание слайда:
Метод математической индукции (1838 г., Британская энциклопедия, де Морган) Огастес - де Мо́рган (1806-1871) — шотландский математик и логик.

Слайд 7





Метод математической индукции
Предложение        считается истинным для всех натуральных значений переменной   , если выполняются следующие условия:
Предложение         верно при        ;
Для любого натурального числа     из  предположения, что         верно для         , следует, что оно верно и для                   .
Описание слайда:
Метод математической индукции Предложение считается истинным для всех натуральных значений переменной , если выполняются следующие условия: Предложение верно при ; Для любого натурального числа из предположения, что верно для , следует, что оно верно и для .

Слайд 8





Схема доказательства ММИ
база индукции (проверка справедливости предложения       );
индуктивное предположение (допущение, что предложение       верно для любого натурального     );
индуктивный переход (доказательство,  что верно предложение         с помощью индуктивного предположения).
Описание слайда:
Схема доказательства ММИ база индукции (проверка справедливости предложения ); индуктивное предположение (допущение, что предложение верно для любого натурального ); индуктивный переход (доказательство, что верно предложение с помощью индуктивного предположения).

Слайд 9





Пример
1+2+3+…+100=?
1+2+3+…+n=?
Описание слайда:
Пример 1+2+3+…+100=? 1+2+3+…+n=?

Слайд 10






 Иоганн Карл Фридрих Гаусс 
(1777–1855)
Описание слайда:
Иоганн Карл Фридрих Гаусс (1777–1855)

Слайд 11





Пример 1
Доказать ММИ, что сумма первых  нечетных натуральных чисел равна   , т.е. доказать формулу
Описание слайда:
Пример 1 Доказать ММИ, что сумма первых нечетных натуральных чисел равна , т.е. доказать формулу

Слайд 12





Пример 1
Доказательство.
База индукции. Докажем, что формула верна при         . Так как значение  говорит о количестве слагаемых в левой части равенства, то левая часть равенства представляет собой одно слагаемое, а именно первое, т.е. 1. Значение правой части равенства находится непосредственной подстановкой вместо      единицы, т.е.         . Сравнивая левую и правую части равенства, имеем         (верно).
Описание слайда:
Пример 1 Доказательство. База индукции. Докажем, что формула верна при . Так как значение говорит о количестве слагаемых в левой части равенства, то левая часть равенства представляет собой одно слагаемое, а именно первое, т.е. 1. Значение правой части равенства находится непосредственной подстановкой вместо единицы, т.е. . Сравнивая левую и правую части равенства, имеем (верно).

Слайд 13





Пример 1
Индуктивное предположение. Допустим, что равенство (1) верно при        , для любого натурального  ,  т.е. верна формула
Описание слайда:
Пример 1 Индуктивное предположение. Допустим, что равенство (1) верно при , для любого натурального , т.е. верна формула

Слайд 14





Пример 1
Индуктивный переход. Докажем, что равенство (1) верно при                                   	        , т.е.
                                                                                         (2)
Замечание. В левой части равенства мы написали предпоследнее слагаемое, что дает возможность использовать при доказательстве индуктивное предположение.
Используя пункт 2), заменим в левой части равенства (2) первые  слагаемых на выражение      , а последнее слагаемое упростим, раскрыв скобки. Тогда левая часть примет вид
 Свернем последнее выражение, используя формулу квадрата суммы:
                                .
Итак, левая часть имеет вид             , а, значит, равна правой.
Отсюда, формула (1) верна для любого натурального    .
Описание слайда:
Пример 1 Индуктивный переход. Докажем, что равенство (1) верно при , т.е. (2) Замечание. В левой части равенства мы написали предпоследнее слагаемое, что дает возможность использовать при доказательстве индуктивное предположение. Используя пункт 2), заменим в левой части равенства (2) первые слагаемых на выражение , а последнее слагаемое упростим, раскрыв скобки. Тогда левая часть примет вид Свернем последнее выражение, используя формулу квадрата суммы: . Итак, левая часть имеет вид , а, значит, равна правой. Отсюда, формула (1) верна для любого натурального .

Слайд 15





Другая формулировка ММИ
Заметим, что индуктивный процесс не обязан начинаться с 1. В качестве базы индукции может выступать любое целое число   , и тогда формулировка метода математической индукции примет вид. 
Предложение      считается истинным для всех целых значений переменной         , если выполняются следующие условия:
Предложение        верно при         ;
Для любого целого числа         из  предположения, что         верно для        , следует, что оно верно и для            .
Описание слайда:
Другая формулировка ММИ Заметим, что индуктивный процесс не обязан начинаться с 1. В качестве базы индукции может выступать любое целое число , и тогда формулировка метода математической индукции примет вид. Предложение считается истинным для всех целых значений переменной , если выполняются следующие условия: Предложение верно при ; Для любого целого числа из предположения, что верно для , следует, что оно верно и для .

Слайд 16





Пример 2
При каких натуральных значениях   верно неравенство            .
Описание слайда:
Пример 2 При каких натуральных значениях верно неравенство .

Слайд 17





Замечание
Необходимо отметить, что важно соблюдать всю цепочку  индуктивного доказательства.
Описание слайда:
Замечание Необходимо отметить, что важно соблюдать всю цепочку индуктивного доказательства.

Слайд 18





Пример 3
Докажем ММИ, что каждое натуральное число равно следующему за ним , таким образом,  доказывая, что все натуральные числа равны между собой.
Доказательство. Пусть утверждение верно при некотором     , т.е.           . Покажем, что тогда                      . Действительно,  прибавим к обеим частям единицу                              . Значит, все натуральные числа равны между собой.
Описание слайда:
Пример 3 Докажем ММИ, что каждое натуральное число равно следующему за ним , таким образом, доказывая, что все натуральные числа равны между собой. Доказательство. Пусть утверждение верно при некотором , т.е. . Покажем, что тогда . Действительно, прибавим к обеим частям единицу . Значит, все натуральные числа равны между собой.

Слайд 19





Пример 4
Докажем, что все кошки на земле серые. 
Точнее покажем, что любое конечное общество кошек  одного цвета.
Доказательство поведем индукцией по     - числу кошек в обществе.
Описание слайда:
Пример 4 Докажем, что все кошки на земле серые. Точнее покажем, что любое конечное общество кошек одного цвета. Доказательство поведем индукцией по - числу кошек в обществе.

Слайд 20





Пример 4
База индукции. Очевидно, что         истинно.
Индуктивное предположение. Допустим, что утверждение         истинно для любого натурального     .
Индуктивный переход. Рассмотрим произвольный набор из          кошки. Выведем из этого общества одну кошку, назовем ее Муркой. Оставшиеся      кошек по предположению индукции одного цвета. Вернем Мурку и заберем другую, которую назовем Нюркой. Опять по предположению индукции  оставшиеся в обществе    кошек одного цвета, причем такого же, как Мурка и Нюрка.
 Вывод: любое конечное общество кошек одного цвета.
Найти ошибку в рассуждении.
Описание слайда:
Пример 4 База индукции. Очевидно, что истинно. Индуктивное предположение. Допустим, что утверждение истинно для любого натурального . Индуктивный переход. Рассмотрим произвольный набор из кошки. Выведем из этого общества одну кошку, назовем ее Муркой. Оставшиеся кошек по предположению индукции одного цвета. Вернем Мурку и заберем другую, которую назовем Нюркой. Опять по предположению индукции оставшиеся в обществе кошек одного цвета, причем такого же, как Мурка и Нюрка. Вывод: любое конечное общество кошек одного цвета. Найти ошибку в рассуждении.



Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию