🗊Презентация Решение задач, возникающих в реальной жизни, с использованием теоретико-множественного подхода

Примеры операций над множествами Рассмотрим однократное бросание кубика A={выпало четное количество очков} A={2;4;6} B={выпало хотя бы 4 очка} B={4;5;6} ={2;4;5;6} ={4;6} А \ В={2} ={2;5}

Задание из ЕГЭ (Германия) Формулировка задачи: В классе 20 учеников, из которых 12 изучают биологию, 15 - историю и 2 не изучают ни биологию, ни историю. Сколько учеников изучает и биологию и историю? Ответ: 9

Основные тождества теории множеств Коммутативность объединения и пересечения А ∪ В = В ∪ А; А ∩ В = В ∩ А Дистрибутивность объединения и пересечения (А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С); ( А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С) Взаимная дистрибутивность объединения и пересечения (А ∪ В) ∩ С = (А ∩ В) ∪ (В ∩ С); (А ∩ В) ∪ С = (А ∪ В) ∩ (В ∪ С) Формальное доказательство взаимной дистрибутивности (1-го тождества) Пусть x Î (А ∪ В) ∩ С Тогда x Î А ∪ В и x Î С Значит, x принадлежит хотя бы одному из множеств А; В и принадлежит С Тогда x принадлежит хотя бы одному из множеств А ∩ С; В ∩ С Значит, x принадлежит правой части тождества Доказали ли мы формулу? НЕТ! В обратную сторону устно. Геометрическое доказательство: Принцип двойственности S \ (А1 ∪ A2) = (S \ A1) ∩ (S \ A2) S \ (А1 ∩ A2) = (S \ A1) ∪ (S \ A2)

Отображения множеств Отображение : А  В - это правило, которое каждому элементу множества А ставит в соответствие один и только один элемент множества В Если (А) = В , то  называется сюръекцией Если для x1 , x2 Î А, таких что x1  x2 (x1 )  (x2 ) , то  называется инъекцией Если  инъекция и сюръекция, то такое отображение называется биекцией Множества называются равномощными, если между ними существует биекция Теорема: Для всякого множества А множество P(А) его подмножеств не равномощно самому множеству А Доказательство: Предложим,  биекция  : А P(А) a Î А назовём «хорошим», если a Î (а) и «плохим», если a  (а) Пусть П  А - множество всех плохих элементов. Так как - биекция, то  х Î А, такой что (х) = П. х – хороший или плохой? Если х - хороший, то х Î (х) = П - противоречие Если х - плохой, то х  (х) = П  х - хороший, противоречие Теорема доказана.

Счётность ℚ и несчётность ℝ Множество А называется счётным, если  биекция : А ℕ

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!