🗊Презентация Классическая теория излучения. Общая теория Максвелла — Лоренца

Классическая теория излучения Лекция 1

1. Общая теория Максвелла — Лоренца 1. Уравнения поля Электромагнитное поле  напряженность электрического и магнитного полей и (функции r и t). Электрическое состояние вещества  и + две функции места и времени – плотность заряда и плотность тока . Если скорость заряда в некоторой заданной точке в заданный момент времени есть , то плотность тока: Для заданного распределения зарядов и токов электромагнитное поле определяется уравнениями Максвелла–Лоренца: Заряд и ток удовлетворяют уравнению непрерывности (закон сохранения заряда):

1. Общая теория Максвелла — Лоренца 1. Уравнения поля Уравнение Лоренца – плотность силы, действующей на плотность заряда . Для точечного заряда в уравнениях (1.2) и (1.4) надо перейти к случаю, когда сконцентрирована в бесконечно малом объеме. Тогда уравнение Лоренца (1.4) можно проинтегрировать по этому объему и получить полную силу, действующую на частицу: Поле, входящее в (1.4) или (1.5), представляет собой как внешнее поле, создаваемое другими зарядами, так и поле, создаваемое самим точечным зарядом.

1. Общая теория Максвелла — Лоренца 2. Потенциалы Уравнения поля (1.2) можно свести к более простым уравнениям, связывающим только одну векторную и одну скалярную функцию вместо двух векторных. Из уравнения (1.2б) следует, что: где А называется векторным потенциалом Тогда (1.2а) примет вид где представляет собой скалярную функцию, которая называется скалярным потенциалом.

1. Общая теория Максвелла — Лоренца 2. Потенциалы Тогда два других уравнения (1.2в) и (1.2г), используя общее векторное соотношение преобразуются в Поскольку для любой скалярной функции , то можно добавить к градиент произвольной функции . Чтобы электрическое поле не изменилось при замене на , согласно (1.7б), необходимо заменить на . Эта свобода выбора потенциалов используется для упрощения уравнения поля (1.8).

1. Общая теория Максвелла — Лоренца 2. Потенциалы Если и являются некоторыми возможными значениями потенциалов и , И если положить теперь и то определяется из уравнения: откуда получается Равенство (1.10) представляет собой соотношение между потенциалами и называется условием Лоренца.

1. Общая теория Максвелла — Лоренца 2. Потенциалы Уравнения поля (1.8) принимают теперь простую форму Таким образом, и удовлетворяют неоднородным волновым уравнениям. Если заменить на и на , то напряженности полей, и условие Лоренца (1.10) останутся неизменными. Различные способы, которыми можно выбрать, и , оставляя и неизмененными, называют различными выборами калибровки, а инвариантность и относительно таких преобразований называется градиентной инвариантностью. Специальный класс калибровки, когда выполняется условие (1.10), называется лоренцовой калибровкой.

1. Общая теория Максвелла — Лоренца 3. Запаздывающие потенциалы Общее решение волновых уравнений (1.11) возможно сразу выписать. Частное решение уравнения Пуассона представляется ньютоновским потенциалом где интегрирование предполагается выполненным по всему пространству; означает расстояние между точкой интегрирования и точкой , в которой имеется потенциал .

1. Общая теория Максвелла — Лоренца 3. Запаздывающие потенциалы С помощью общего решения найдем частное решение зависящего от времени уравнения Пуассона (1.11б): Чтобы найти потенциал в точке в момент времени необходимо использовать при интегрировании в каждой точке такое значение плотности заряда, которое было в этой точке в прошлый момент времени . Поэтому в каждой точке пространства необходимо брать при интегрировании значение плотности в различные моменты времени; является временем, которое требуется свету, чтобы дойти от точки до точки , в которой рассматривается значение потенциала. (1.14а) принимает во внимание конечную скорость распространения электромагнитного поля.

1. Общая теория Максвелла — Лоренца 3. Запаздывающие потенциалы Таким же способом получается частное решение уравнения (1.11а): Потенциалы (1.14) называются запаздывающими потенциалами. Выражения (1.14) являются частным решением уравнений поля, они дают то поле, которое возникает только от рассматриваемых зарядов. Чтобы получить общее решение, надо прибавить к нему общее решение однородных волновых уравнений, представляющее поле в свободном пространстве:

1. Общая теория Максвелла — Лоренца 4. Баланс энергии и импульса В теории Максвелла принимается, что какой-либо объем, поле в котором отлично от нуля, вносит определенный вклад в энергию и импульс. Энергия заданного объема определяется интегралом: Плотность импульса принимается равной энергии, деленной на , проходящей через единичную поверхность в единицу времени. Энергия задается вектором Пойнтинга S. Далее вводят величину , обладающую размерностью энергии. Эту величину как для частиц, так и для излучения называют "импульсом". В соответствии с этим определением импульс поля, заключенного в некотором объеме, будет задаваться выражением:

1. Общая теория Максвелла — Лоренца 4. Баланс энергии и импульса Формулы (1.4) и (1.5) дают для полной силы, действующей на заключенный в некотором объеме заряд, выражение Поскольку электромагнитная сила K находится в равновесии с силой инерции, то она представляет изменение механического момента u заряда за единицу времени: Изменение кинетической энергии заряда Т дается соотношением: где k - плотность силы (1.4). Подставляя и из уравнений Максвелла (1.2в), (1.2г), получаем

1. Общая теория Максвелла — Лоренца 4. Баланс энергии и импульса С помощью (1.2а) последние члены в этих формулах можно записать также в виде

1. Общая теория Максвелла — Лоренца 4. Баланс энергии и импульса В соответствии с определениями энергии (1.16) и импульса (1.16') уравнения (1.19):   Объемные интегралы в правых частях можно преобразовать в поверхностные, применяя формулу Гаусса в (1.20б): где индекс n означает компоненту, нормальную к поверхности рассматриваемого объема.

1. Общая теория Максвелла — Лоренца 4. Баланс энергии и импульса Для преобразования уравнения (1.20а) используется тензор, составленный из членов, квадратичных по напряженностям поля (тензор Максвелла): -составляющая дивергенции этого тензора есть как раз где благодаря (1.2б) второй член обращается в нуль. Поэтому интеграл в правой части -компоненты уравнения (1.20а) можно переписать (формула Гаусса справедлива и для дивергенции тензора):

1. Общая теория Максвелла — Лоренца 4. Баланс энергии и импульса Тем самым уравнения для энергии и импульса (1.20) принимают вид Левая часть (1.22) описывает изменение энергии и импульса заряженных частиц и поля, заключенных в некотором объеме. В правой части стоят интегралы от нормальных составляющих по поверхности рассматриваемого объема. Поэтому и интерпретируются следующим образом: является энергией поля, проходящей (в направлении из объема наружу) через единицу площади поверхности в единицу времени; представляет собой -составляющую импульса поля, проходящую через единицу площади поверхности в единицу времени.

2. Поле точечного заряда и излучение света 1. Потенциалы Вихерта. В общем случае поле зарядов, распределенных с плотностью дается следующими выражениями для запаздывающих потенциалов: где – запаздывающее время для точки . Если заряды находятся в движении, то при выполнении перехода к точечному заряду нельзя написать, вместо интеграла (2.1а) необходимо подставлять в (2.1) для каждой точки свое запаздывающее время. Прежде чем выполнять переход к точечному заряду, необходимо преобразовать интеграл (2.1) в интеграл по элементам заряда .

2. Поле точечного заряда и излучение света 1. Потенциалы Вихерта. Пусть элементы заряда жестко соединены и обладают одинаковой скоростью . Рассмотрим сферический слой толщины dr на расстоянии r от P. Элемент объема этого слоя будет равен . Соответствующим вкладом в интеграл будет плотность заряда (деленная на r), которую встретит на своем пути сходящаяся сферическая световая волна, если она имеет скорость c и придет в P в момент t. Внешней поверхности рассматриваемого слоя эта волна достигнет в момент . За время , в течение которого световая волна будет пересекать слой толщины dr, некоторая доля заряда сможет проникнуть через внутреннюю поверхность слоя. Эта доля заряда (на единицу площади) составит если направление вектора выбрано вдоль линии . Поэтому за время dt световая волна “соберет" элемент заряда de: Поэтому под интеграл (2.1) надо подставить выражение

2. Поле точечного заряда и излучение света 1. Потенциалы Вихерта. Подставляя это выражение под интеграл (2.1), можно выполнить переход к точечному заряду и получить Bce величины в (2.3) должны быть взяты для запаздывающего времени . Выражение (2.3) было получено впервые Льенаром и Вихертом.

2. Поле точечного заряда и излучение света 2. Напряженности поля произвольным образом движущегося точечного заряда. Напряженности полей и можно получить из (2.3) дифференцированием: . Производные надо брать здесь по времени t и координатам точки . Поскольку, движение частицы в момент определяется заданием и , то r и v, входящие в (2.3), являются функциями запаздывающего времени . Поэтому необходимо выразить производные по времени t через производные по времени . Запаздывающее время определяется расстоянием r в момент .

2. Поле точечного заряда и излучение света 2. Напряженности поля произвольным образом движущегося точечного заряда. Поэтому, дифференцируя по t:  или где сокращенное обозначение В силу уравнения (2.4) является функцией координат точки Р. Поэтому (r направлен от к ) или в соответствии с (2.6)

2. Поле точечного заряда и излучение света 2. Напряженности поля произвольным образом движущегося точечного заряда. Для производных от s получим теперь, согласно (2.5) и (2.7), В этих формулах означает производную от v по , причем v зависит только от . Поэтому

2. Поле точечного заряда и излучение света 2. Напряженности поля произвольным образом движущегося точечного заряда.  В силу (2.3) получаем для напряженностей полей   Подставляя сюда формулы (2.8), (2.9) и (2.6), можно найти окончательно

2. Поле точечного заряда и излучение света 2. Напряженности поля произвольным образом движущегося точечного заряда.  Формулы (2.10) справедливы для любого заданного движения точечного заряда с произвольной скоростью. Они неприменимы на расстояниях сравнимых с радиусом электрона. Поле (2.10а) складывается из двух частей: Первая часть зависит только, от скорости и убывает на больших расстояниях от частицы, как . Она представляет собой статическую (кулоновскую) часть поля. Вторая часть пропорциональна ускорению и убывает на больших расстояниях от частицы как . Эта часть поля является поперечной; соответствующие напряженности поля перпендикулярны радиус-вектору . Ту область, где вторая часть преобладает называют волновой зоной. Различие между этими двумя частями поля имеет место, если расстояние, на которое смещается электрон за время , мало по сравнению с самим (квазипериодическое движение или движение с ).

2. Поле точечного заряда и излучение света 2. Вектор Герца системы зарядов Рассмотрим испускание света системой точечных зарядов. Частицы с зарядами находятся вблизи от центра , Расстояние (радиус-вектор) точки от точки , в которой наблюдается поле, обозначим через (направление от к ), а радиус-вектор от к через . Тогда положение каждого заряда может быть определено вектором, изображающим смещение заряда по отношению к центру   Пусть все смещения малы по сравнению с и скорости всех частиц малы по сравнению со скоростью света Полное поле является суперпозицией полей, происходящих от всех отдельных зарядов.

2. Поле точечного заряда и излучение света 3. Вектор Герца системы зарядов. В выражении для напряженностей полей (2.10) нужно подставить для каждой частицы свое собственное запаздывающее время Но поскольку все смещения малы, будет удобно ввести новое время , запаздывающее время центра : и выразить напряженности поля как функции этого времени . Если мало, то будет малой и разность между общим временем и индивидуальным временем -й частицы . Используя соотношение выразим и как производные не по времени , а по времени . После этого найдем явное выражение напряженности электрического поля через вместо .

2. Поле точечного заряда и излучение света 3. Вектор Герца системы зарядов. Будем интересоваться только той частью , которая существенна в волновой зоне; Все члены, убывающие как или еще быстрее, не дадут в излучение света никакого вклада. Дифференцируя (2.14) по получаем (для любого ) где используется обозначение (2.6). Поэтому скорость равна где производные по обозначены штрихами. Аналогично, опуская члены порядка , несущественные в волновой зоне, получаем для

2. Поле точечного заряда и излучение света 3. Вектор Герца системы зарядов. Умножая (2.16) на и сравнивая с (2.6), получаем Аналогично, умножая (2.16) на и исключая находим   Подставляя теперь (2.17) и (2.18) в существенную для волновой зоны часть (второй член) выражения (2.10а), получается, что вклад каждой -й частицы в сводится к Если смещения малы по сравнению с , то можно заменить в (2.19) на R, что не приведет к существенным для волновой зоны изменениям.

2. Поле точечного заряда и излучение света 3. Вектор Герца системы зарядов. Определим теперь вектор, являющийся алгебраической суммой всех смещений, и будем называть его вектором Герца: При построении выражения (2.20) имеется в виду, что все , которые были первоначально функциями от времен выражены теперь как функции времени с помощью (2.14) Тогда для напряженностей полей в волновой зоне

2. Поле точечного заряда и излучение света 3. Вектор Герца системы зарядов. Выразим теперь как явные функции времени . Поскольку и Т мало отличаются друг от друга, то, используя (2.14), (2.15) и (2.17), можно написать разложение Если условия выполнены, то этот ряд сходится. Тогда где Первый член является дипольным моментом системы зарядов. Второй член обусловлен эффектом запаздывания, поскольку представляет собой разность запаздывающих времен -й частицы и центра. включает электрический квадрупольный и магнитный дипольный моменты системы и может играть существенную роль, если только распределение зарядов симметрично и дипольный момент исчезает.

2. Поле точечного заряда и излучение света 4. Излучение света. Описываемое формулами (2.21) поле убывает с увеличением расстояния как первая степень R. Поэтому вектор Пойнтинга, будет убывать как и, следовательно, его интеграл по сфере радиуса будет конечным и не зависящим от . Вследствие этого поле, определяемое (2.21), приведет к возникновению конечного потока энергии через сферу любого радиуса, т. е. к излучению света. Поле излучения поперечно, обе напряженности поля перпендикулярны как к , так и друг к другу. Поток энергии в единицу времени через площадь равен где — угол между направлением вектора и направлением наблюдения. Поток энергии (2.25) направлен нормально к поверхности сферы и пропорционален квадрату второй производной от вектора Герца по времени. Наибольшее значение он принимает по направлению, перпендикулярному к , а в направлении обращается в нуль.

2. Поле точечного заряда и излучение света 4. Излучение света. Полная энергия S, испускаемая за единицу времени, получается интегрированием (2.25) по всем углам: Простейшей моделью источника света является гармонический осциллятор, т. е. один заряд, упруго связанный с центром и совершающий колебания с частотой вдоль оси х: Излучение такого осциллятора будет монохроматическим с той же частотой . Усреднение (2.26) по времени дает   Следовательно, излучаемая в единицу времени энергия пропорциональна

2. Поле точечного заряда и излучение света 5. Заключение Движущийся точечный заряд излучает. Излучаемая за единицу времени энергия определяется для медленно движущейся частицы уравнением: Согласно уравнению баланса энергии, эта энергия должна быть поставлена теми силами, которые поддерживают движение заряда. Поэтому кинетическая энергия частицы должна убывать со временем. Вследствие этого не совсем верно определять движение частицы, исходя лишь из действующих на нее внешних сил, поскольку излучение также должно влиять на движение. Чтобы подвести правильный баланс энергии с помощью закона сохранения, необходимо рассмотреть обратное действие испускаемого зарядом поля на его собственное движение (реакцию излучения).

Литература 1. Ансельм, А.И. Основы статистической физики и термодинамики. [Электронный ресурс] — Электрон. дан. — СПб.: Лань, 2007. — 448 с. — Режим доступа: http://e.lanbook.com/book/692 — Загл. с экрана. 2. Старовойтов А.А. Методические рекомендации по подготовке рефератов, мультимедийных презентаций и докладов. – СПб: Университет ИТМО, 2014. – 68 с. 3. Электронно-библиотечная система. Издательство «Лань» [Электронный ресурс] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.5. Часть 1. Статистическая физика. Изд. Физматлит, 2001. 616 с. Режим доступа: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=2230, свободный. 4. Электронно-библиотечная система. Издательство «Лань» [Электронный ресурс] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.4. Квантовая электродинамика. Изд. Физматлит, 2006. 720 с. Режим доступа: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=2237, свободный. 5. Куни Ф.М. Статистическая физика и термодинамика, М. Наука, 1981. 352 с. 6. Электронно-библиотечная система. Издательство «Лань» [Электронный ресурс] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика Т.3. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Физматлит, 2001. 808 с., Режим доступа: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=2380, свободный. 7. Гайтлер В. Квантовая теория излучения. М.: Изд. Иностранной литературы, 1956. 491 с.