🗊 Решение нелинейных уравнений

Решение нелинейных уравнений

Выбор подходящего метода для решения уравнений зависит от характера рассматриваемой задачи. Задачи, сводящиеся к решению алгебраических и трансцендентных уравнений, можно классифицировать по числу уравнений и в зависимости от предлагаемого характера и числа решений (Рисунок 1). Рисунок 1. Классификация уравнений Одно уравнение будем называть линейным, алгебраическим или трансцендентным в зависимости от того, имеет ли оно одно решение, n решений или неопределенное число решений. Систему уравнений будем называть линейной или нелинейной в зависимости от математической природы входящих в нее уравнений.

Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными. Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы: точные методы; итерационные методы. Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений. Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности.

Пусть дано уравнение где: Функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] вместе со своими производными 1-го и 2-го порядка. Значения f(x) на концах отрезка имеют разные знаки (f(a)  f(b) < 0). Первая и вторая производные f  (x) и f  (x) сохраняют определенный знак на всем отрезке. Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [a, b] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что f(x) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным.

Решить уравнение итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью. Всякое значение , обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что: называется корнем уравнения (1) или нулем функции f(x). Задача нахождения корня уравнения f(x) = 0 итерационным методом состоит из двух этапов: отделение корней - отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка; уточнение приближенных корней - доведение их до заданной степени точности. Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f(x) в граничных x = a и x = b точках области ее существования.

Пример. Отделить корни уравнения:f(x)  - 6х + 2 = 0. Составим приблизительную схему: Следовательно, уравнение имеет три действительных корня, лежащих в интервалах [-3, -1], [0, 1] и [1, 3]. Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом. В инженерной практике распространен графический способ определения приближенных корней.

Принимая во внимание, что действительные корни уравнения - это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение равносильным ему уравнением: , где функции f1(x) и f2(x) - более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = f1(x) и у = f2(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Пример. Графически отделить корни уравнения x lg x = 1. Уравнение удобно переписать в виде равенства :l g x= . Отсюда ясно, что корни уравнения могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y = . Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень уравнения или определим его содержащий отрезок [2, 3].

Метод половинного деления Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х0. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х1, х2, ..., хn. Если эти значения с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится. Для нахождения корня уравнения, принадлежащего отрезку [a, b], делим этот отрезок пополам. Если f = 0 , то  = является корнем уравнения. Если f  0 (что, практически, наиболее вероятно), то выбираем ту из половин или , на концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок а1, b1 снова делим пополам и производим те же самые действия. Метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня данного уравнения, метод прост и надежен, всегда сходится.

Пример. Методом половинного деления уточнить корень уравнения f(x)  + 2 – x – 1 = 0 лежащий на отрезке 0, 1. Последовательно имеем: f(0) = - 1; f(1) = 1; f(0,5) = 0,06 + 0,25 – 0,5 – 1 = - 1,19; f(0,75) = 0,32 + 0,84 – 0,75 – 1 = - 0,59; f(0,875) = 0,59 + 1,34 – 0,88 – 1 = + 0,05; f(0,8125) = 0,436 + 1,072 – 0,812 – 1 = - 0,304; f(0,8438) = 0,507 + 1,202 – 0,844 – 1 = - 0,135; f(0,8594) = 0,546 + 1,270 – 0,859 – 1 = - 0,043 и т. д. Можно принять  = (0,859 + 0,875)*0,5 = 0,867

Метод хорд В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимаются значения х1, х2, ..., хn точек пересечения хорды АВ с осью абсцисс (Рисунок 3). Сначала запишем уравнение хорды AB: Для точки пересечения хорды AB с осью абсцисс (х = х1, y = 0) получим уравнение:

Пусть для определенности f  (x) > 0 при а  х  b (случай f  (x) < 0 сводится к нашему, если записать уравнение в виде ‑ f(x) = 0). Тогда кривая у = f(x) будет выпукла вниз и, следовательно, расположена ниже своей хорды АВ. Возможны два случая: 1) f(а) > 0 (Рисунок 3, а) и 2) f(b) < 0 (Рисунок 3, б). В первом случае конец а неподвижен и последовательные приближения: x0 = b образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем Во втором случае неподвижен конец b, а последовательные приближения: x0 = а; образуют ограниченную монотонно возрастающую последовательность, причем

Обобщая эти результаты, заключаем: неподвижен тот конец, для которого знак функции f (х) совпадает со знаком ее второй производной f  (х); последовательные приближения xn лежат по ту сторону корня , где функция f (х) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f  (х). Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет обнаружено, что < , где  - заданная предельная абсолютная погрешность.

Пример. Найти положительный корень уравнения f(x)  – 0,2 – 0,2 х – 1,2 = 0 с точностью  = 0,01. Прежде всего, отделяем корень. Так как f (1) = -0,6 < 0 и f (2) = 5,6 > 0, то искомый корень  лежит в интервале [1, 2]. Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. Так как f (1,5) = 1,425 > 0, то 1<  < 1,5. Так как f  (x) = 6 x – 0,4 > 0 при 1 < х < 1,5 и f (1,5) > 0, то воспользуемся формулой для решения поставленной задачи: = 1,15; x1 – x0  = 0,15 >  , следовательно, продолжаем вычисления; f (х1) = -0,173; = 1,190; x2 – x1  = 0,04 >  , f (х2) = -0,036; = 1,198; x3 – x2  = 0,008 <  . Таким образом, можно принять  = 1,198 с точностью  = 0,01. Заметим, что точный корень уравнения  = 1,2.

Метод Ньютона. Отличие этого итерационного метода от предыдущего состоит в том, что вместо хорды на каждом шаге проводится касательная к кривой y = f(x) при x = хi и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс (Рисунок 4). При этом не обязательно задавать отрезок [а, b], содержащий корень уравнения , достаточно найти лишь некоторое начальное приближение корня x = х0. Применяя метод Ньютона, следует руководствоваться следующим правилом: в качестве исходной точки х0 выбирается тот конец интервала [а, b], которому отвечает ордината того же знака, что и знак f  (х). Рисунок 4. Метод Ньютона

Уравнение касательной, проведенной к кривой y = f(x) через точку В0 с координатами х0 и f(х0), имеет вид: Отсюда найдем следующее приближение корня х1 как абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох (y = 0): Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пресечения с осью абсцисс касательных, проведенных в точках В1, В2 и так далее. Формула для i +1 приближения имеет вид: Для окончания итерационного процесса может быть использовано или условие f(xi) < , или условие близости последовательных приближений < . Итерационный процесс сходится если f(х0)  f  (х0) > 0.

Метод простой итерации Для использования метода итерации исходное нелинейное уравнение f(х) = 0 заменяется равносильным уравнением x = (x). Пусть известно начальное приближение корня х = х0. Подставляя это значение в правую часть уравнения , получим новое приближение:х1 = (х0). Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в , получаем последовательность значений: Геометрически метод итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости хОу графики функций у = х и у = (х). Каждый действительный корень уравнения является абсциссой точки пересечения М кривой у = (х) с прямой у = х (Рисунок 6, а).

Отправляясь от некоторой точки А0 [x0,  (x0)], строим ломаную А0В1А1В2А2... (“лестница”), звенья которой попеременно параллельны оси Ох и оси Оу, вершины А0, А1, А2, ...лежат на кривой у= (х), а вершины В1, В2, В3, …, - на прямой у = х. Общие абсциссы точек А1 и В1, А2 и В2, ..., очевидно, представляют собой соответственно последовательные приближения х1, х2, ... корня . Возможен также другой вид ломаной А0В1А1В2А2 ... – «спираль» (Рисунок 6, б). Решение в виде «лестницы» получается, если производная  (х) положительна, а решение в виде «спирали», если  (х) отрицательна. На Рисунке 6, а, б кривая у = (х) в окрестности корня - пологая, то есть <1, и процесс итерации сходится.

Однако, если рассмотреть случай, где >1, то процесс итерации может быть расходящимся (Рисунок 7). Поэтому для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса. Теорема: Пусть функция (х) определена и дифференцируема на отрезке [a, b], причем все ее значения (х)  [a, b]. Тогда, если существует правильная дробь q такая, что q < 1 при a < x < b, то: 1) процесс итерации сходится независимо от начального значения х0  [a, b]; 2) предельное значение является единственным корнем уравнения х = (х) на отрезке [a, b].

Пример. f(x)  – x – 1 = 0 имеет корень   [1, 2], так как f(1) = - 1 < 0 и f(2) = 5 > 0. Уравнение можно записать в виде х = – 1. Здесь (х) = – 1 и  (х) = 3 ; Поэтому  (х)  3 при 1  х  2 и, следовательно, условия сходимости процесса итерации не выполнены. Если записать уравнение в виде то будем иметь: Отсюда при 1  х  2 и значит, процесс итерации для уравнения быстро сойдется.

Найдем корень  уравнения (10) с точностью до . Вычисляем последовательные приближения хn с одним запасным знаком по формуле Найденные значения помещены в Таблицу 1: Таблица 1 Значения последовательных приближений xi. С точностью до можно положить  = 1,324.