🗊Презентация Хвильові рівняння

Розділ 6 ПОШИРЕННЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ХВИЛЬ У РІЗНИХ СЕРЕДОВИЩАХ

Зміст

Згадаємо, що є радіоканалом Рисунок 6.1 Спрощена схема організації радіозв‘язку Розглянемо типову для телекомунікації ситуацію. Є передавальна А та приймальна В радіостанції Після відповідного формування сигналу, його підсилення та перетворення в комплексі 1, проходження через фідерний тракт 2 й випромінювання антеною 3, електромагнітна енергія поширюється в навколишньому середовищі 4 (з параметрами: діелектрична проникність ε, магнітна проникність μ, питома електропровідність σ) сприймається антеною 5, й через фідерний тракт 6 потрапляє до приймального пристрою 7, в якому обробляється та як інформація надається користувачу. Цей процес реалізовано радіоканалом.

6.1 Хвильові рівняння Проаналізуємо електромагнітні процеси у навколишньому просторі із застосуванням рівнянь Максвелла . Скористаємось першим та другим рівняннями: Здійснимо операцію rot стосовно другого рівняння Максвелла та підстановку із першого, й отримаємо зі зміною порядку диференціювання: (6.1) Представимо ліву частину (6.1) за відомою тотожністю векторного аналізу: ; отримаємо: . (6.2)

На основі третього та п’ятого рівнянь Максвелла маємо: На основі третього та п’ятого рівнянь Максвелла маємо: після перегрупування доданків (6.2) отримаємо рівняння: ; (6.3) відоме як рівняння Гельмгольца. У цьому рівнянні є складники, які визначають процес у просторі й часі, а також є добуток , який пов’язаний із швидкістю поширення електромагнітних хвиль ( ), тобто рівняння (6.3) характеризує хвильовий процес. Якщо аналогічно застосувати операцію rot до обох частин першого рівняння Максвелла, отримаємо хвильове рівняння для вектора напруженості магнітного поля: (6.4)

Якщо аналогічно застосувати операцію rot до обох частин першого рівняння Максвелла, отримаємо хвильове рівняння для вектора напруженості магнітного поля:

Підставимо (6.5) в (6.3) з урахуванням комплексного представлення функції й після скорочення отримаємо:

У загальній формі хвильові рівняння є складними. Але практичні розрахунки виконують за конкретних обставин, коли можна прийняти деякі умови, що дозволяють спростити хвильові рівняння. Наприклад, в однорідному середовищі, на великій відстані від джерела електромагнітного поля кривизною фронту хвилі можна знехтувати й вважати розподіл амплітуд векторів напруженості електричного та магнітного складників електромагнітного поля рівномірним. Така хвиля має назву однорідна пласка, її застосовують для виконання практичних розрахунків.

6.2 Поняття про однорідні пласкі електромагнітні хвилі

Таким чином, за умови великої відстані від джерела, ділянку фронту хвилі S можна вважати пласкою, для якої Ez = 0 і Hz = 0, тобто – це хвиля типу Т, що має не шість, а тільки чотири проекції Еx, Ey та Hx, Hy. Таке припущення суттєво спрощує опис хвилі. За умов однорідного й без втрат (0) середовища, тобто значення незмінні:  = const та  = const, вектори напруженості електричного та магнітного полів у всіх точках простору ділянки S не змінюють значення та напрям. Тоді, відповідні частинні похідні дорівнюють нулю:

Стисло та наочно обґрунтування назв типів хвиль наведено в таблиці 6.1.

6.3 Хвильові рівняння однорідних пласких хвиль

6.4.1. Напівпровідникове середовище (діелектрик з втратами) Задля отримання рівняння, що описує процес поширення електромагнітної хвилі, визначимо розв’язок одного з рівнянь – (6.14), відомий з курсу математики: (6.19) Комплексний коефіцієнт , який має назву коефіцієнт поширення, запишемо у формі: (6.20) де  – коефіцієнт згасання,  – коефіцієнт фази. Із урахуванням (6.20) формула (6.19) матиме вигляд: (6.21) Миттєві значення , тобто як функція часу: (6.22)

У рівняннях (6.21) та (6.22) перші доданки характеризують хвилю, що віддаляється від початку відліку (координат), тобто пряму хвилю або хвилю, що падає. Її амплітуда зменшується за законом , тому параметр має назву – коефіцієнт згасання. Параметр характеризує стан відставання за фазою залежно від тому він має назву – коефіцієнт фази. Таким чином, комплексний коефіцієнт має обґрунтовану назву – коефіцієнт поширення електромагнітних хвиль. У рівняннях (6.21) та (6.22) перші доданки характеризують хвилю, що віддаляється від початку відліку (координат), тобто пряму хвилю або хвилю, що падає. Її амплітуда зменшується за законом , тому параметр має назву – коефіцієнт згасання. Параметр характеризує стан відставання за фазою залежно від тому він має назву – коефіцієнт фази. Таким чином, комплексний коефіцієнт має обґрунтовану назву – коефіцієнт поширення електромагнітних хвиль. У рівняннях (6.21) та (6.22) перші доданки характеризують хвилю, що віддаляється від початку відліку (координат), тобто пряму хвилю або хвилю, що падає. Її амплітуда зменшується за законом , тому параметр має назву – коефіцієнт згасання. Параметр характеризує стан відставання за фазою залежно від z тому він має назву – коефіцієнт фази. Таким чином, комплексний коефіцієнт має обґрунтовану назву – коефіцієнт поширення електромагнітних хвиль.

Другі доданки рівнянь (6.21) та (6.22) характеризують хвилю, що наближається до початку відліку – тобто це зворотна, або відбита хвиля. Обвідні таких хвиль наведено на рис. 6.3. Другі доданки рівнянь (6.21) та (6.22) характеризують хвилю, що наближається до початку відліку – тобто це зворотна, або відбита хвиля. Обвідні таких хвиль наведено на рис. 6.3.

Рисунок 6.2 – Фрагменти залежностей хвильового процесу: а – як функції часу, Рисунок 6.2 – Фрагменти залежностей хвильового процесу: а – як функції часу, б – як функції відстані Аналогічно для (6.15а) маємо: (6.23)  (6.24) Встановимо зв’язок між складниками та . На підставі (6.17) після диференціювання (6.23) з у рахуванням з (6.20) та перегрупування доданків маємо: (6.25)   Рівняння (6.25) є правильним для будь яких значень , якщо обидві складника (у дужках) тотожно дорівнюють нулю, тобто із (6.25) маємо два рівняння:

Із формул (6.26) та (6.26а) випливає, що між та існує взаємозв’язок. Цей взаємозв’язок визначають величиною: Із формул (6.26) та (6.26а) випливає, що між та існує взаємозв’язок. Цей взаємозв’язок визначають величиною: який має одиницю вимірювання [Ом] та відповідну назву – хвильовий опір, точніше – імпеданс – внаслідок комплексного характеру. З урахуванням (6.13а), (4.41): Хвильовий імпеданс можна представити в алгебраїчній формі:

де дійсний складник: де дійсний складник:   уявний складник: В полярній системі координат де модуль та фаза хвильового імпедансу, відповідно   Значення модуля характеризує співвідношення амплітуд напруженості електричного та магнітного полів,  – зсув за фазою між миттєвими значеннями складників Е та Н.

Із (6.27) та (6.27а) маємо: Із (6.27) та (6.27а) маємо: Таким чином, хвильові імпеданси для прямої та зворотної хвиль однакові за модулем, але відрізняються за фазою на кут . Тоді співвідношення (6.24) можна записати у вигляді: Якщо вважати простір, в якому поширюється хвиля однорідним, то зворотної (відбитої, вторинної) хвилі не буде, тобто другий складник (доданок) правої частини (6.21), (6.22), (6.23), (6.24), (6.25), (6.35) відсутній.

Графіки миттєвих значень функцій Ex(t,z) та Hy(t,z) прямої хвилі представлено на рис. 6.5 в момент , коли фаза хвилі в будь-якій точці простору відстає за фазою на значення , амплітуда менша в раз. В наступний момент фаза хвилі у всіх фіксованих точках буде зміненою на значення , а амплітуда буде незмінною, тобто маємо рухому хвилю з вектором Пойнтінга вздовж осі . Графіки миттєвих значень функцій Ex(t,z) та Hy(t,z) прямої хвилі представлено на рис. 6.5 в момент , коли фаза хвилі в будь-якій точці простору відстає за фазою на значення , амплітуда менша в раз. В наступний момент фаза хвилі у всіх фіксованих точках буде зміненою на значення , а амплітуда буде незмінною, тобто маємо рухому хвилю з вектором Пойнтінга вздовж осі . Хвильове рівняння визначає процес поширення у просторі та за часом електромагнітних хвиль, тобто процес, який поширюється з певною швидкістю. Визначимо швидкість поширення хвилі. Для цього наведемо приклад повної фазу  у прямій хвилі в момент t1 на відстані z1 та визначимо момент t2 (t2>t1), для якого у точці z2 повна фаза також дорівнює , тобто:  

Тоді Тоді Звідси швидкість поширення хвилі або фазова швидкість дорівнює: де величину Т називають періодом хвилі. Визначимо довжину хвилі, що поширюється. Нехай t2 - t1 =T період гармонічної функції. Тоді довжина хвилі Таким чином, досліджено закономірності, за які описують процес поширення електромагнітних хвиль. Визначимо розрахункові формули для коефіцієнтів  і . Піднесемо до квадрату формули (6.13а) та (6.20) й отримаємо рівняння:

З урахуванням (4.41), де З урахуванням (4.41), де Маємо Окремо для дійсної частини та уявної частини відповідно є: Розв’язок системи (6.41)з урахуванням того, що  – додатна дійсна величина:

Із урахуванням тангенса кута втрат (4.39) маємо: Із урахуванням тангенса кута втрат (4.39) маємо: На практиці, зазвичай маємо середовища, в яких або Іпр>>Ізм (провідники), або Іпр<<Ізм (діелектрики). Для цих випадків співвідношення можна спростити.

6.4.2. Діелектрики та провідники У пункті 6.4.1 наведено формули, які характеризують процес поширення електромагнітних хвиль в напівпровідному середовищі (діелектрик з втратами). Ознакою діелектрика або провідника є співвідношення між густиною струму провідності та зміщення, або значення тангенса кута втрат tg<<1 – діелектрик, =0; tg>1 – провідник. Величини, що характеризують процес поширення електромагнітних хвиль в різних середовищах, для зручності застосування зведено в таблицю 6.2.

Таблиця 6.2 - Величини, які характеризують процес поширення електромагнітних хвиль в різних середовищах

На підставі співвідношень наведених в табл. 6.2 можна сформулювати такі висновки: На підставі співвідношень наведених в табл. 6.2 можна сформулювати такі висновки: - в діелектричному середовищі хвиля поширюється без втрат, фаза хвильового опору дорівнює нулю; - в провідному середовищі втрати пропорційні , фаза хвильового опору незмінна, довжина хвилі залежить від параметрів середовища й частоти. Таким чином, найбільш сприятливим для поширення електромагнітних хвиль є діелектричне середовище. В реальних провідниках електромагнітне поле швидко згасає, що призвело до поширеного поняття “витискання” (що не є коректним) поля змінного струму до його поверхні, тобто в провіднику має місце, так званий, поверхневий ефект (skin-effect).

6.5. Поверхневий ефект у провідниках

6.6. Поляризація однорідних пласких хвиль

6.7. Висновки

6.8. Контрольні питання та завдання