🗊Презентация Электромагнитные колебания

Лекция 16 5. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Электромагнитные колебания.

5.1. Электрический колебательный контур. Формула Томсона. 5.1. Электрический колебательный контур. Формула Томсона. 5.2. Свободные затухающие колебания. Добротность колебательного контура. 5.3. Вынужденные электрические колебания. Метод векторных диаграмм. 5.4. Резонансные явления в колебательном контуре. Резонанс напряжений и резонанс токов.

5.1. Электрический колебательный контур. Формула Томсона. Электромагнитные колебания могут возникать в цепи, содержащей индуктивность L и емкость C. Такая цепь называется колебательным контуром. Возбудить колебания в таком контуре можно, например, предварительно зарядив конденсатор от внешнего источника напряжения, соединить его затем с катушкой индуктивности. Поскольку внешнее напряжение к контуру не приложено, сумма падений напряжений на емкости и индуктивности должна быть равна нулю в любой момент времени: откуда, учитывая, что сила тока , получаем дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний электрического заряда в колебательном контуре .

Если ввести обозначение Если ввести обозначение , то полученное уравнение принимает вид: . Решением этого уравнения, как известно, является функция . Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой ω0, называемой собственной частотой колебательного контура. Период колебаний определяется по формуле Томсона (Thomson W., 1824-1907): Напряжение на конденсаторе: , где - амплитуда напряжения. Сила тока в контуре: .

Сопоставляя полученные выражения, видим, что когда напряжение на конденсаторе, а значит энергия электрического поля, обращается в нуль, сила тока, а, следовательно, энергия магнитного поля, достигает максимального значения. Таким образом, электрические колебания в контуре сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей. Сопоставляя полученные выражения, видим, что когда напряжение на конденсаторе, а значит энергия электрического поля, обращается в нуль, сила тока, а, следовательно, энергия магнитного поля, достигает максимального значения. Таким образом, электрические колебания в контуре сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей. Амплитуды тока Im и напряжения Um связаны между собой очевидным соотношением: .

Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний

5.2. Свободные затухающие колебания. Добротность колебательного контура. Всякий реальный колебательный контур обладает сопротивлением. Энергия электрических колебаний в таком контуре постепенно расходуется на нагревание сопротивления, переходя в джоулево тепло, вследствие чего колебания затухают. Уравнение свободных затухающих колебаний можно получить, исходя из того, что в отсутствии внешнего источника напряжения, сумма падений напряжений на индуктивности, емкости и сопротивлении равна нулю для любого момента времени: или, поскольку , . Введя обозначение , этому уравнению можно придать вид: , где .

Решение полученного уравнения имеет вид: Решение полученного уравнения имеет вид: , где Мы видим, что частота свободных затухающих колебаний ω′ меньше собственной частоты ω0. Подставив значения ω0 и β, получим: Амплитуда затухающих колебаний заряда конденсатора q0(t) уменьшается со временем по экспоненциальному закону. Коэффициент β называется коэффициентом затухания.

Затухание колебаний принято характеризовать декрементом колебаний λ, определяемым как: Затухание колебаний принято характеризовать декрементом колебаний λ, определяемым как: . Легко видеть, что декремент колебаний обратен по величине числу колебаний Ne, совершаемых за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз: λ=1/Ne. Добротностью колебательного контура называется величина: Из этой формулы видно, что добротность тем выше, чем меньше коэффициент затухания β. При малых затуханиях (λ<<1) можно приближенно считать, что . Амплитуда тока в контуре, как и заряд на конденсаторе, убывает со временем по закону e-βt. Энергия W, запасенная в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды тока (или квадрату напряжения на конденсаторе). Следовательно, W убывает со временем по закону e-2βt. Относительное уменьшение энергии за период колебания Т (при малом затухании) есть: . Таким образом, потери энергии в колебательном контуре тем меньше, чем выше его добротность.

5.3. Вынужденные электрические колебания. Метод векторных диаграмм. Если в цепь электрического контура, содержащего емкость, индуктивность и сопротивление, включить источник переменной ЭДС, то в нем, наряду с собственными затухающими колебаниями, возникнут незатухающие вынужденные колебания. Частота этих колебаний совпадает с частотой изменения переменной ЭДС. Чтобы получить уравнение вынужденных колебаний, надо, согласно второму правилу Кирхгофа, приравнять сумму падений напряжений на элементах контура приложенной ЭДС: или где Е0 - амплитуда переменной ЭДС; ω – ее циклическая частота.

Интересующее нас частное решение этого дифференциального уравнения имеет вид: Интересующее нас частное решение этого дифференциального уравнения имеет вид: где Решение соответствующего однородного уравнения, как мы видели в п.5.2, представляет собой свободные затухающие колебания, которые с течением времени становятся исчезающе малыми, и их можно в дальнейшем не учитывать. Выпишем формулы для силы тока в цепи и падений напряжений на каждом из элементов контура. Сила тока: , . По аналогии с законом Ома для полной цепи по постоянному току величину называют полным сопротивлением цепи по переменному току. Эта величина представляет собой модуль комплексного сопротивления , называемого также импедансом цепи. Сопротивление R называют активным сопротивлением (на нем выделяется тепло). Чисто мнимые сопротивления ωL и называют соответственно индуктивным и емкостным реактивными сопротивлениями (на них тепло не выделяется).

Напряжение на сопротивлении R: Напряжение на сопротивлении R: , . Напряжение на конденсаторе С: , . Напряжение на катушке индуктивности L: , . Сравнивая написанные формулы, видим, что изменение напряжения на сопротивлении следует за изменением силы тока в цепи без отставания или опережения по фазе, изменение напряжение на конденсаторе отстает по фазе на , а на индуктивности опережает по фазе на изменение тока. Наглядно это можно изобразить с помощью векторной диаграммы, вещественная ось которой (ось Х) совпадает с осью токов. Длина каждого вектора на этой диаграмме дает амплитуду соответствующего напряжения, а угол, который составляет данный вектор с осью токов – сдвиг фазы по отношению к изменению силы тока в цепи.

Векторная диаграмма для последовательного RLC-контура. Векторная диаграмма для последовательного RLC-контура. Амплитуда суммарного напряжения на всех элементах контура, равная амплитуде Е0 действующей в контуре ЭДС, является результатом векторного сложения символических напряжений и . Этот вектор образует с осью токов угол , показывающий разность фаз между током и ЭДС. Тангенс этого угла равен: .

5.4. Резонансные явления в колебательном контуре. Резонанс напряжений и резонанс токов. Как следует из приведенных формул, при частоте переменной ЭДС ω, равной , амплитудное значение силы тока в колебательном контуре, принимает максимальное значение . При этом амплитуда напряжения на активном сопротивлении R также максимальна и равна UR0 =I0maxR =E0. Падения напряжения на емкости UC и индуктивности UL одинаковы по амплитуде, но противоположны по фазе, и они взаимно компенсируют друг друга. Это явление, имеющее место в последовательном колебательном контуре, называется резонансом напряжений. Векторная диаграмма, соответствующая этому случаю, показана на рисунке.

Максимальное значение амплитуды напряжения на конденсаторе UC0(ω) достигается при частоте Максимальное значение амплитуды напряжения на конденсаторе UC0(ω) достигается при частоте . Резонансные кривые для UC0(ω) представлены на рисунке. Максимум получается тем выше и острее, чем меньше коэффициент затухания β, то есть чем меньше активное сопротивление R и больше индуктивность контура L.

Если источник переменной ЭДС подключить параллельно конденсатору, то получим колебательный контур, который называется параллельным RLC-контуром. Если источник переменной ЭДС подключить параллельно конденсатору, то получим колебательный контур, который называется параллельным RLC-контуром. Е В таком контуре при наблюдается другое резонансное явление, получившее название резонанса токов. При резонансе токов токи, текущие через емкость и индуктивность одинаковы по амплитуде, но противоположны по фазе. При этом общий ток в цепи ЭДС близок к нулю, хотя токи в самом контуре могут быть очень велики. Векторная диаграмма, соответствующая этому случаю, приведена на рисунке.

Можно показать, что при резонансе токов полное сопротивление Z(ω) параллельного контура максимально и равно чисто активному сопротивлению R. Резонансная частота, при которой Z(ω) максимально, определяется из условия равенства нулю реактивной части комплексного сопротивления : Можно показать, что при резонансе токов полное сопротивление Z(ω) параллельного контура максимально и равно чисто активному сопротивлению R. Резонансная частота, при которой Z(ω) максимально, определяется из условия равенства нулю реактивной части комплексного сопротивления : ωL(1 – ω2LC) – ωCR2 = 0 , откуда . Резонансные кривые для амплитудных значений IC0(ω) тока, текущего через конденсатор, приведены на рисунке. Резонансные явления в колебательных контурах широко используются в электро- и радиотехнике (резонансные усилители, частотные фильтры и другие). В частности, явление резонанса используется для выделения из сложного сигнала нужной частотной составляющей. Настроив контур (путем изменения его параметров C и/или L) на одну из выбранных частот, можно получить на конденсаторе напряжение, в Q раз превышающее величину напряжения данной частотной составляющей. Такой процесс осуществляется, например, при настройке радиоприемника на нужную длину волны.