🗊Презентация Алгоритмы генерирования перестановок

Алгоритмы генерирования перестановок. Алгоритмы генерирования множества всех подмножеств, k-элементных множеств, разбиение множества Лекция 20-21

Алгоритм генерирования перестановок Общее число перестановок из k элементов равно k! (действительно, на первое место можем поставить любое из k чисел, на второе - любое из оставшихся k-1 и т.д.). Идея алгоритма: Рекурсия. На j-м шаге в строку, содержащую j-1 символ вставляем символ, равный j. Причем ставим его на все места от 1 до j-го. Останавливаемся, когда в строке станет k элементов.

Пусть k=3 Пусть k=3

type stroka=string[10]; type stroka=string[10]; Var k:integer; procedure perest(n:integer; s:stroka); {n-элемент, который будет вставляться в строку. На данный момент, в строке n-1 символ} var i:integer; st1,st:stroka; begin if n=k+1 then {В строке n символов, она сформирована, выводим на экран} begin writeln(s); exit; end

else {В строке меньше n символов} else {В строке меньше n символов} for i:=1 to n do {Вставляем символ n в строку на i-е место (от 1 до n)} begin st:=s; {Копируем строку s во вспомогательную переменную st} str(n,st1); {Переводим цифру n в строку st1} insert(st1,st,i); {Вставляем строку st1 в строку st} perest(n+1,st); {Вызываем процедуру perest для следующей цифры n+1} end; end; Begin {Начало основной программы} writeln(‘Введите k‘); readln(k); perest(1,''); {Изначально вызываем процедуру для элемента 1, вставляем его в пустую строку} readln; end.

Алгоритм генерирования множества всех подмножеств Допустим, что у нас есть множество S, состоящее из элементов a1, a2, ..., aN, т.е. S = {a1, a2, ..., aN} Для простоты можно считать, что a1, .. aN - это различные целые числа от 1 до N. Подмножеством данного множества S называется множество S', которое содержит некоторые элементы из S (не обязательно все). У множества из N элементов будет ровно 2N различных подмножеств.

Для примера возьмем N = 3. Для примера возьмем N = 3. Запишем все числа от 0 до 2N - 1 = 7 в двоичной системе счисления: (123) 0 – 000 1 – 001 2 – 010 3 – 011 4 – 100 5 – 101 6 – 110 7 – 111 Если на i-той позиции в двоичной записи стоит 1, то i-тый элемент входит в подмножество, иначе — не входит. Поэтому данный алгоритм можно реализовать так:

var var kol:longint; n,i:integer; a:array [1..100] of integer; {Массив из элементов множества (тип может быть любым)} procedure Generate(x:longint; p:integer); {В процедуре генерируется одно подмножество исходного множества, для этого число x переводится в двоичную систему счисления и на экран выводятся только те элементы множества (массива a), на месте которых в двоичной записи числа x стоит 1} begin write('{'); {Открываем скобку означающую начало подмножества} while x<>0 do {Пока число не равно 0} begin

if x mod 2=1 then write(a[p],' '); {Находим значение цифры в двоичной записи числа путем нахождения остатка от деления числа на 2. Если полученная цифра равна 1, то выводим элемент массива a стоящий на соответствующем месте, начиная от последнего} if x mod 2=1 then write(a[p],' '); {Находим значение цифры в двоичной записи числа путем нахождения остатка от деления числа на 2. Если полученная цифра равна 1, то выводим элемент массива a стоящий на соответствующем месте, начиная от последнего} Dec(p); {Уменьшаем на 1 номер текущего элемента массива} x:=x div 2; end; {Конец цикла пока число x не равно 0} Writeln('}'); {Подмножество сгенерировано, закрываем скобку} end; {Конец процедуры Generate} Begin {Начало основной программы} writeln(‘Vvedite kol. el. v mnoj’); Readln(n);

writeln(‘Vvedite el. mnojestva’); writeln(‘Vvedite el. mnojestva’); for i:= 1 to n do read(a[i]); kol:=1 shl n; {Операция shl (побитовый сдвиг влево) умножает число, стоящее слева на 2 в степени числа стоящего справа. Т.е. переменной kol присваивается значение 2 в степени n (число различных подмножеств множества из n элементов) } for i:= 0 to kol-1 do {Все числа от 0 до 2n - 1} Generate(i,n); {Переводим в двоичную систему счисления и выводим в качестве очередного подмножества все элементы исходного множества, на позициях которых в двоичной записи числа стоят 1} Readln; end.

Алгоритмы генерирования m-элементных множеств Сочетание — это выбор из n предметов нескольких (m), причем порядок не важен. Из курса комбинаторики известно, что число сочетаний из n по m равно n!/(m! * (n - m)!). Будем выводить все сочетания в лексикографическом порядке. В данном примере исходное множество состоит из первых n натуральных чисел. Если рассматривать их как индексы массива, то можно обобщить этот алгоритм на любое множество.

Первое сочетание — это первые m натуральных чисел. Первое сочетание — это первые m натуральных чисел. Затем, начиная с последнего элемента, увеличиваем его на 1 и выводим измененный массив, продолжаем действовать таким образом до тех пор, пока данный элемент не примет свое максимальное значение (для последнего элемента n, для предпоследнего n-1, …, для первого n-m+1). Затем переходим к предыдущему элементу и увеличиваем его на 1, а все элементы, расположенные после него, становятся на единицу больше своих предшественников (располагаются по порядку). Например, для n=5, m=3: 123 124 125 134 135 145 234 235 245 345

Var Var s: Array[1 .. 10] of integer; {массив для хранения текущего сочетания} n,m,i,j: integer; begin writeln(‘Vvedite n,m’); readln(n, m); for i:=1 to m do s[i]:=i; { Заполняем сочетание числами от 1 до m } while true do {Бесконечный цикл} begin for i:=1 to m do write(s[i],' '); {Выводим текущее сочетание} writeln; i := m; {Начинаем с последнего элемента сочетания}

while (i>0) and (s[i]=n-m+i) do i:=i-1; {Пока не исчерпаны все элементы сочетания и i-й элемент принимает свое максимально возможное значение, то переходим к предыдущему элементу} while (i>0) and (s[i]=n-m+i) do i:=i-1; {Пока не исчерпаны все элементы сочетания и i-й элемент принимает свое максимально возможное значение, то переходим к предыдущему элементу} if i=0 then break; {Если все элементы сочетания принимают свои максимально возможные значения, то все сочетания сгенерированы. Выходим из бесконечного цикла} inc(s[i]); {Увеличиваем на 1 найденный элемент, который еще не достиг своего максимального значения} for j:=i+1 to m do s[j]:=s[j-1]+1; {Все элементы, расположенные после него, становятся на единицу больше своих предшественников} end; {Конец бесконечного цикла} readln; end.

Алгоритмы генерирования разбиения множества Разбиение множества — это представление его в виде объединения произвольного количества попарно непересекающихся подмножеств. Так как в каждом из разбиений участвуют все элементы исходного множества, будем в массиве индексов p записывать в какой блок попадает каждый из элементов в текущем разбиении.

type type mas=array [1..100] of integer; var n,i:integer; a,p:mas; procedure vivod(n:integer; var p:mas); var i,j,imax:integer; begin imax:=1; {Определяем количество блоков в разбиении} for i:=1 to n do if p[i]>imax then imax:=p[i]; for i:=1 to imax do {Проходим по всем блокам данного разбиения} begin

write('{'); {Выводим на экран i-й блок} write('{'); {Выводим на экран i-й блок} for j:=1 to n do {Просматриваем все элементы} if p[j]=i then write(a[j],' '); {Если элемент принадлежит i-му блоку то выводим его на экран} write('} ') {Блок напечатан} end; writeln; {Разбиение напечатано} end; procedure razb(i, j: integer); {i- рассматриваемый элемент} var l: integer; {j- количество блоков в разбиении} Begin {р - массив пометок, принадлежности к блоку разбиения} if i>n then vivod(n, p) {Если рассматриваемый элемент больше, чем общее число элементов в множестве, то разбиение сформировано, выводим его} else

for l := 1 to j do {Просматриваем все блоки} for l := 1 to j do {Просматриваем все блоки} begin p[i] := l; {Ставим i-й элемент в l-й блок, l=1,..,j} if l=j then razb(i+1, j+1) {Если i-й элемент вставили в последний блок, то переходим к следующему элементу i+1 и добавляем новый блок j+1} else razb(i+1, j) {в противном случае переходим к следующему элементу i+1 не добавляя новый блок} end; end;  begin writeln(‘Vvedite kol. el. v mnoj’); readln(n);

writeln(‘vvedite elementi mnoj’); writeln(‘vvedite elementi mnoj’); for i:= 1 to n do read(a[i]); razb(1,1); readln; end.

Домашнее задание 1. Составить опорный конспект лекции по теме «Алгоритмы генерирования перестановок. Алгоритмы генерирования множества всех подмножеств, к-элементных множеств, разбиение множества» на основе презентации. 2. Комбинаторика для программистов. Липский В. М.: «Мир», 1988, стр. 10-54.