Автоколебания в нелинейных АСУ - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №1

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №2

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №3

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №4

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №5

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №6

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №7

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №8

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №9

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №10

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №11

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №12

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №13

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №14

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №15

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №16

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №17

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №18

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №19

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №20

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №21

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №22

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №23

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №24

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №25

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №26

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №27

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №28

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №29

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №30

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №31

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №32

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №33

Автоколебания в нелинейных АСУ, слайд №34

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Автоколебания в нелинейных АСУ. Доклад-сообщение содержит 34 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Автоколебания – это собственные колебания в нелинейной системе, обладающие свойством устойчивости, т.е. способностью сохранять амплитуду и форму колебаний

Слайд 2

Описание слайда:

Методы исследования АК Критерий Бендиксона -основан на том, что АК отсутствуют, если в фазовом портрете системы нет замкнутых фазовых траекторий. Метод точечного преобразования А.Андронова используется для качественного исследования хода фазовых траекторий, выявления АК в системе и изучения их устойчивости. Метод гармонического баланса (Л.С.Гольдфарб) основан на применении частотных характеристик нелинейной системы, получаемых в результате гармонической линеаризации, применяется для приближенного исследования.

Слайд 3

Описание слайда:

Критерий Бендиксона Область применения: для АСУ, описываемых системой нелинейных дифференциальных уравнений (НДУ): dy1/dt = F1(y1,y2); dy2/dt = F2(Y1,y2), где F1( y1, y2 ) , F2 ( y1, y2 ) – нелинейные функции аналитические на всей фазовой плоскости. Если в некоторой области на фазовой плоскости выражение ∂F1 / ∂y1 + ∂F2 / ∂y2 знакопостоянно, то в этой области не существует замкнутых фазовых траекторий (АК).

Слайд 4

Описание слайда:

Пример: в химическом реакторе идеального перемешивания протекает химическая реакция, описываемая уравнениями: Пример: в химическом реакторе идеального перемешивания протекает химическая реакция, описываемая уравнениями: где: y1 , y2 – текущие концентрации реагентов в реакторе; y10 , y20 – начальные входные концентрации реагентов; λ – расход; t – время. Находим выражение: ∂F1 / ∂y1 + ∂F2 / ∂y2 = - 2 y1 - 2 λ - 1. В соответствии с физическим смыслом y1 ≥ 0 , y2 ≥ 0 , т.е. концентрации не могут быть отрицательными, а также λ > 0 , последнее выражение представляет собой знакопостоянную отрицательную функцию, следовательно, автоколебания существовать не могут.

Слайд 5

Описание слайда:

Метод точечного преобразования А.Андронова Система НДУ, описывающих поведение нелинейной АСУ: 1) 2) Уравнение фазовой траектории получим, разделив уравнение 2) на уравнение 1):

Слайд 6

Описание слайда:

При t →∞ фазовая траектория последовательно обходит начало координат. S* = Ψ(S) – функция последования для точечного преобразования отрезка 0-Γ в себя. Для каждой точки пересечения S она позволяет вычислить последующую точку пересечения S*. Зная S* = Ψ(S) и, приняв за начальную точку пересечения S0, можно вычислить: При t →∞ фазовая траектория последовательно обходит начало координат. S* = Ψ(S) – функция последования для точечного преобразования отрезка 0-Γ в себя. Для каждой точки пересечения S она позволяет вычислить последующую точку пересечения S*. Зная S* = Ψ(S) и, приняв за начальную точку пересечения S0, можно вычислить: Это итерационный процесс. Особое значение имеют точки пересечения S, которые преобразуются функцией Ψ в себя: (*) На отрезке «0-Γ» т.SN, является решением уравнения (*), и называется неподвижной (или инвариантной) точкой преобразования Ψ. Ее наличие свидетельствует об АК

Слайд 7

Описание слайда:

Наглядная геометрическая интерпретация точечного преобразования Значения начальных точек - s, значения последующих точек - s*. Из т.α1 проводим линию паралле- льно оси s до пересечения с биссек- трисой в т. β1. Из т. β1 проводим перпендикуляр до пересечения с графиком Ψ, в т. α2. Из т. α2 проводим линию, параллельную оси s до пересечения в т. β2. Из т. β2 проводим перпендикуляр, который пересекает график Ψ в т. α3 и т.д. Получается «лестница», по которой будем подниматься к т. θ, соответствующей неподвижной т. SN.

Слайд 8

Описание слайда:

Если начальная т.S0 находится в т. е оси S, то, по лестнице спускаемся к точке θ. Если начальная т.S0 находится в т. е оси S, то, по лестнице спускаемся к точке θ. Из рис. видно, что неподвижная т.SN может быть пределом последовательности итерационного процесса: (*) т.SN – устойчива (устойчивые АК), если существует такая сколь угодно малая окрестность, что любая последова-тельность (*), начинающаяся в ней, сходится к т.SN. В противном случае неподвижная т.SN называется неустойчивой. «Лестница» на диаграмме это наглядно показывает. Формальный критерий следующий:

Слайд 9

Описание слайда:

Варианты точечного преобразования

Слайд 10

Описание слайда:

Метод гармонического баланса (Л.С.Гольдфарб) Исходим из того, что: Нелинейная замкнутая АСУ состоит из линейной части, имеющей характеристику Wлч(iω) и объединяющей все линейные элементы системы, и нелинейного звена Yнэ = F (y ); нелинейный элемент не должен быть частото-преобразующим. нелинейность может быть как статической, так и динамической. линейная часть должна быть фильтром высоких частот. Подобное упрощение для большинства промышленных систем регулирования не несет значительных ошибок.

Слайд 11

Описание слайда:

Фильтр высоких частот На вход НЭ (N) подается гармонический сигнал с частотой ω. x(t)=A sin(ωt) На его выходе устанавливаются колебания, не гармонической формы (например, прямоугольная волна). u(t)=N(Asin(Ω t)) - периодическая функция с периодом Т= 2 π / Ω, представим ее рядом Фурье в виде суммы гармоник с частотами Ω, 2Ω, 3Ω, ... , они поступают на вход ЛЧ и, проходя через нее, изменяет свою амплитуду в Ал(kω) раз, где: Ал (ω) – АЧХ линейной части. Гипотеза фильтра высокой частоты выполняется, если АЧХ линейной части удовлетворяет условию Ал(2 Ω) < 0,05Ал(Ω) , т.е. АЧХ должна быть вида, представленного на рисунке: Такая АЧХ называется характеристикой типа фильтра. Система с такой характеристикой не пропускает высокие частоты, поэтому выходной сигнал ЛЧ будет практически содержать лишь первую гармонику с частотой АК ωа =Ω.

Слайд 12

Описание слайда:

Прохождение гармонического сигнала через нелинейный элемент

Слайд 13

Описание слайда:

Метод гармонической линеаризации Идея принадлежит Н.М. Крылову и Н.Н. Боголюбову и базируется на замене НЭ - линейным звеном, параметры которого определяются при гармоническом входном воздействии из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе НЭ и эквивалентного ему линейного звена. Метод используется, если линейная часть системы удовлетворяет условиям «гипотезы фильтра»: отфильтровываются все возникающие на выходе НЭ гармонические составляющие, кроме первой гармоники.

Слайд 14

Описание слайда:

Разложение периодического сигнала в ряд Фурье Выходной сигнал НЭ Все гармоники, начиная со второй имеют достаточно малую амплитуду по сравне-нию с первой гармоникой и ими можно пренебречь. Тогда уравнение вынужденных колебаний на выходе запишется в виде где: При а0=0:

Слайд 15

Описание слайда:

Коэффициенты гармонической линеаризации x(t)=A sin(ωt) – входной сигнал, → sin(ωt) = x/ A; производная входного сигнала в операторной форме (p = d/dt): px = Аωcos(ωt), → cos(ωt) = px / Аω. Первая гармоника периодических колебаний на выходе НЭ: Yн1= a1 sin(ωt) + b1 cos(ωt) = a1 x/ A+ b1 px / Аω = = (q + q′ р/ ω) x; Это уравнение гармонической линеаризации, где: q = a1/A; q′ = b1/A, q и q′ - коэффициенты гармонической линеаризации, для различных нелинейных характеристик они приведены в справочниках по ТАУ. В общем случае q(А, ω) и q′(А, ω) зависят от амплитуды А и частоты ω колебаний на входе НЭ, для статических нелинейностей q(А) и q′(А) являются функцией только амплитуды А входного сигнала, для статических однозначных нелинейностей q′(А) = 0.

Слайд 16

Описание слайда:

В результате гармонической линеаризации НЭ В результате гармонической линеаризации НЭ представлен эквивалентной передаточной функцией: Wэ(p) = q + q′ р/ ω. Частотные характеристики гармонически линеаризованного НЭ: АФЧХ - Wэ(jω) = q (А, ω) + j q′ (А, ω) = Аэ (А, ω)℮ ; АЧХ - Аэ (А, ω) = |Wэ(jω)|=√ [q (А, ω)] ² + [q′ (А, ω)] ² ФЧХ - φэ (А, ω) = arg [ Wэ(jω)] = arctg [q′ (А, ω)/ q (А, ω)]. Статическая характеристика двухпозиционного реле: При подаче на вход звена гармонического сигнала x(t) на его выходе установятся прямоугольные колебания, амплитуда которых равна B при x > 0, и −B при x < 0 . Коэффициенты гармонической линеаризации такой нелинейности: q′ (А, ω) = 0; Wэ(jω) = q (А, ω) = 4B /(πА); φэ (А, ω) =0

Слайд 17

Описание слайда:

Уравнение гармонического баланса Из структурной схемы АСУ очевидно соотношение: x = - y, для гармонического сигнала комплексное обозначение x(t)=A sin(ωt) = А ℮. По схеме: y = Wэ(А) Wл(jω)* x = А ℮ * Wэ(А) Wл(jω) = - А ℮ . Сократим на неравный нулю множитель А℮ и получим: Wэ(А, ω) Wл(jω) = - 1 Это уравнение гармонического баланса. - 1 = ℮, где: φ (ω) = -(2k+1) π , при k =0,1,2,…. Если удастся найти действительные числа А = Аа и ω = Ω, которые обращают это уравнение в тождество, то в системе имеют место автоколебания почти гармонической формы с частотой Ω и амплитудой А.

Слайд 18

Описание слайда:

При исследовании нелинейных систем по частотным характеристикам уравнение гармонического баланса записывают отдельно для модуля и аргумента эквивалентной комплексной передаточной При исследовании нелинейных систем по частотным характеристикам уравнение гармонического баланса записывают отдельно для модуля и аргумента эквивалентной комплексной передаточной функции разомкнутой нелинейной системы: │Wэ(А,jω)│*│Wл(jω)│= 1; arg [Wэ(А,jω)Wл(jω)] = -(2k+1) π , при k =0,1,2,…. либо: Аэ(А, ω) * Ал(ω) =1; φэ(А,ω) + φл(ω) = -(2k+1) π , при k =0,1,2,….

Слайд 19

Описание слайда:

Определение параметров АК - (Аа, Ω) 1 этап: Выполнить гармоническую линеаризацию НЭ - Wэ(p) = q + q′ *р/ ω. Запишем передаточную функцию разомкнутой линеаризованной АСУ: Wр(р) = Wл(р) Wэ(p) = = Rл(р) * [q + q′ *р/ ω] /Qл (р).

Слайд 20

Описание слайда:

2 этап: Для оценки возможности возникновения АК в линеаризованной нелинейной АСУ найдем 2 этап: Для оценки возможности возникновения АК в линеаризованной нелинейной АСУ найдем условия границы устойчивости. Также, как и при анализе устойчивости линейных систем АК существуют, если при А = Аа и ω = Ω, характеристическое уравнение линеаризованной системы Qл(p) + Rл(p)×[q(А,ω) + q′(А,ω)* р/ω] = 0 имеет пару мнимых корней pi = j Ω и pi+1 = − j Ω.

Слайд 21

Описание слайда:

3 этап: исследовать устойчивость АК 3 этап: исследовать устойчивость АК АК устойчивы, если их амплитуда А = Аа, частота ω = Ω и форма устойчивы к малым возмущениям начальных условий. Для этого необходимо выполнить условие: ∂X(A,ω) ∂Y(A, ω) ∂Y(A, ω) ∂ X(A, ω) ∂A ∂ ω А=Аа ∂A ∂ ω А=Аа > 0 ω = Ω ω = Ω Условие является лишь необходимым, то есть позволяет отсеять заведомо неустойчивые АК.

Слайд 22

Описание слайда:

4 этап: проверить гипотезу фильтра высокой частоты 4 этап: проверить гипотезу фильтра высокой частоты Построить АЧХ линейной части АСУ Ал(ω) и проверить выполнение условия: Ал(2 Ω) < 0,05Ал(Ω), Если оно не выполняется, применение метода гармонической линеаризации было не правомерно!

Слайд 23

Описание слайда:

ПО КРИТЕРИЮ МИХАЙЛОВА АСУ находится на границе устойчивости, если годограф Михайлова D(jω) проходит через начало координат, т.е.: D(jω)=Qл(jω)+Rл(jω)*[q(А,ω)+ j* q′(А,ω)]= =X(А,ω) + jY(А,ω)= 0. параметры АК рассчитываются из системы уравнений: (*) X(А,ω) = 0; А = Аа Y(А,ω) = 0. ω = Ω Из (*) можно найти зависимость А и Ω АК от параметров АСУ, например, от коэффициента передачи k линейной части. Для чего в (*) k считают переменной величиной и записывают в виде: X(А,ω,k) = 0; Y(А,ω,k) = 0. По графикам A = f(k), Ω = f(k) можно выбрать такой k, при котором А и Ω возможных АК имеют допустимые значения, или они вообще отсутствуют.

Слайд 24

Описание слайда:

Частотный метод (Л.С.Гольдфарб) По критерию Найквиста незатухающие колебания (АК) в гармонически линеаризованной нелинейной АСУ возникают, если АФЧХ разомкнутой АСУ проходит через точку [−1, j0]: Wр(jω,А) = Wл(jω) Wэ(jω,А) = −1. (*) В случае статической характеристики НЭ условие (*) принимает вид: Wл(jω) =-1/ Wэ(jω,А) Решение этого уравнения относительно Ω и Аа можно получить графически как точку пересечения АФЧХ - Wл(jω) и годографа обратной АФЧХ нелинейной части -1/ Wэ(jω,А) , взятой с обратным знаком. Если эти годографы не пересекаются, то режим АК в АСУ не существует.

Слайд 25

Описание слайда:

Для устойчивости АК с частотой Ω и амплитудой Аa требуется, чтобы изображающая точка при перемещении по годографу нелинейной части Для устойчивости АК с частотой Ω и амплитудой Аa требуется, чтобы изображающая точка при перемещении по годографу нелинейной части -1/ Wэ(jω,А) в направлении увеличения амплитуды Аa подходила к точке пересечения характеристик -1/ Wэ(jω,А)и Wл(jω) изнутри АФЧХ Wл(jω). На рис. годографы расположены так, что в нелинейной АСУ существуют устойчивые АК. Значение Аа определяем на - 1/ Wэ(jω,А), а Ω - на Wл(jω).

Слайд 26

Описание слайда:

Исследование АК по ЛЧХ Запишем уравнения гармонического баланса применительно к ЛЧХ:

Слайд 27

Описание слайда:

Тренировочное задание Исследовать АК в нелинейной системе, линейная часть которой имеет следующую передаточную функцию Wл(р)=k/[p(T1p+1)(T2p+1)] , где k=200 c-1; T1=1.5 c; T2=0.015 c, а в качестве НЭ используется реле с зоной нечувствительности при с=10, b=2. Р е ш е н и е. Из справочника для реле с зоной нечувствительности находим коэффициенты гармонической линеаризации: q′(А,ω)=0, q(А,ω)=4с/ (π A)*√1-(b/A)² при A≥ b. Ответ:Аа=58В; Ω=4,3рад/c.

Слайд 28

Описание слайда:

Тренировочное задание В соответствии с критерием Бендиксона в рассматриваемой области не существует замкнутых фазовых траекторий при выполнении определенных условий. Сформулируйте эти условия Какая функция называется функцией последования? Каким образом в соответствии с методом преобразования можно определить в системе существующий режим?

Слайд 29

Описание слайда:

Тренировочное задание Какими свойствами должна обладать линейная часть нелинейной системы, чтобы можно было применить к исследованию режима автоколебаний метод гармонического баланса? Какой факт лежит в основе доказательства существования в нелинейной системе автоколебаний? Сформулируйте аналог критерия Найквиста для исследования устойчивости автоколебаний.

Слайд 30

Описание слайда:

Тренировочное задание В результате исследования режима автоколебаний методом точечного преобразования получили следующую функцию последования. В точке А будет предельный цикл А устойчивый; В неустойчивый; С полуустойчивый?

Слайд 31

Описание слайда:

Тренировочное задание В результате построения функции последования получим s* > s , что свидетельствует о том, что в системе будет процесс А -колебательный; В -расходящийся; С -затухающий.

Слайд 32

Описание слайда:

Тренировочное задание Согласно методу гармонического баланса в нелинейной системе существует режим автоколебаний, если АФХ линейной части и инверсная АФХ нелинейного элемента расположены следующим образом: