🗊Презентация Циклы по условию на языке Pascal

Поговорим о цикле For…to…do

Когда For…to…do уступает место при табулировании графиков функций на заданном интервале с заданным шагом; для расчета с заданной точностью сумм бесконечных асимптотических рядов, с помощью которых выражаются тригонометрические функции, трансцендентные числа  = 3,1415… и основание натурального логарифма e=2,72…; для вычисления квадратного корня из числа методом Герона.

Сравнение циклов While и Repeat Формат оператора цикла с предусловием: <присвоение начальных значений переменным, входящим в условие> While <условие> do  begin <действие 1>   <действие 2>      ................   <действие N>   <изменение условия> end;

Цикл предусловием While … do

Особенности цикла While…do

Цикл с постусловием Repeat … until

Особенности цикла Repeat…until Так как условие проверяется на выходе из цикла, то цикл выполняется хотя бы один раз.

Решаем самостоятельно Два игрока A и B бросают кубик N раз, суммируя результаты бросков. Напишите программу, определяющую победителя после N бросков.

Задача о рассеянном джентльмене Некто отправился на работу из дома (пункт А) в офис (пункт B). Расстояние между домом и офисом равно 1 км. Пройдя половину пути, джентльмен вспомнил, что не попрощался с семьей, повернул назад и прошел третью часть расстояния и, боясь опоздать на работу, снова повернул и прошел четверть расстояния. Затем снова повернул и прошел 1/5 расстояния и т.д.

Анализ задачи Расстояние, на котором окажется джентльмен от дома (А), можно записать так: SА = 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + 1/6 – 1/7 +… (-1)i+1 /i… Так как расстояние АВ=1, джентльмен окажется от места работы на расстоянии S: S=1-SА = 1- [1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + 1/6 - 1/7 +… (-1)i+1 /i … Таким образом, решение задачи сводится к вычислению суммы гармонического ряда:  S= 1-1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 -… (-1)i+1 /i -…  Суммирование продолжаем, пока абсолютное значение разности сумм, вычисленных на (i+1)-м шаге и i-м шаге, больше наперед заданного малого числа eps , т.е. |S-S1|> eps.  Таким образом, ряд вычисляется приближенно с заданной погрешностью. Для решения задачи используем цикл While.

Программа для задачи о джентльмене Program harmony_riad; {Вычисление гармонического ряда};   uses crt;   const eps=0.00001; {заданная точность вычисления}   var     i: integer; S,S1 : real; p: integer; Begin   clrscr; {очистка экрана}   s1:=0; {начальное значение сумматора}   s:=1; {суммирование 1-го члена ряда}   i:=1; {начальное значение для 1-го члена ряда }   p:= -1; {знак числа отрицательный}   while abs(s1-s) > eps do     begin     s1:=s; {запоминаем сумму, вычисленную на предыдущем шаге}     i:=i+1; {формирование следующего члена ряда числа }     s:=s+p/i; {суммирование знакопеременного ряда}     p:= - p; {смена знака}     end; {while}    writeln('S от офиса=', s:7:5);   readln End.

Рекуррентные соотношения В математике известно понятие рекуррентной последовательности чисел (от латинского «recurrere» – «возвращаться»).

Примеры рекуррентных соотношений С помощью метода рекуррентных соотношений вычисляют: арифметические и геометрические последовательности; последовательность чисел Фибоначчи; бесконечные последовательности (ряды) для тригонометрических функций; бесконечные последовательности (ряды) для функций ex, sqrt(x), ln(1+x); выражения вида:

Анализ задачи о вычислении Задача. Вычислить квадратный корень целого числа а по рекуррентной формуле Герона Xi+1=(X i+ а/X i)/2  при заданной точности вычисления eps. Алгоритм вычисления. Зададим X1 - начальное значение корня из числа а.  Например, X1= a/2.  Тогда каждое следующее приближение вычисляется через предыдущее: Х2=(X1 + а/X1)/2 Х3=(X2 + а/X2)/2 ----------- Xi+1=(Xi + а/Xi)/2  Вычисление продолжаем до тех пор, пока выполнится модуль разницы между Xi+1и Xi станет меньше заданной погрешности вычисления eps: |Xi+1 - Xi|< eps Для решения задачи используем цикл Repeat… until.

Program mysqrt program mysqrt; {Вычисление квадратного коpня числа по фоpмуле Герона} {х=(х+а/х)/2}   uses crt;   const eps=0.0001;   var      a: integer;     x, x1: real; Begin   clrscr;   write('Введите число а=');   readln(a);   x:=a/2; {начальное значение корня}   repeat     x1:=x; {запоминаем предыдущее приближение корня}     x:=(x+a/x)/2; {вычисляем (i+1)-е приближение корня}   until abs(x-x1)<eps;   writeln (' Коpень числа ',a,' pавен ',x);   readln End.

Задачи с бесконечными рядами Задача. Вычислить сумму бесконечного ряда S=x – x3/3! + x5/5! - x7/7! +... c заданной точностью eps. Будем использовать рекуррентную формулу, с помощью которой каждый последующий член ряда выражается через предыдущий., т.е. справедливо соотношение:        un = q un-1 Определяем величину q, последовательно рассмотрев отношение второго члена к перовому, третьего ко второму, четвертого к третьему и т.д.:       q1= u2 / u1 = - (x3/3!)/x = - x2/(2 * 3)      q2= u3 / u2 = - (x5 / 5!) / (x3/3!) = - x2/(4 * 5)      q3= u4 / u3 = - (x7 / 7!)/ (x5/ 5!) = - x/(6 * 7) Для произвольного q справедлива рекуррентная формула:      q = - x2 / k/(k+1), где k= 2, 4, 6, ... В языках программирования стандартная функция sin(x) рассчитывается с помощью асимптотического ряда S.

Program mysin Program mysin;    const eps=0.00001; {точность вычислений}   var     u: real;  s: real;  к : integer; Begin write (‘Введите x='); readln(x);   s:=0; {обнуление суммы}   к:=0; {начальное значение переменной k}   u:=x; {первый член ряда}   while abs(u) > eps do     begin       s:=s+u; {суммируем ряд}       к:=к+2; { формируем четное число }        u:= - u * sqr(x) / к/ (к+1) ; {k-член ряда}     end; writeln (' сумма ряда S=',S); writeln (' sin x=', sin(x));   readln End.

Арифметическая последовательность В символьной записи арифметическую прогрессию можно представить так: a, a+d, a+2*d, a+3*d,…, a+(N-1)*d. Здесь a – первый член последовательности, d – разность между двумя соседними членами, N – число членов последовательности. Например: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + 99 (a=1, d=2) 2 + 4 + 6 + 8 +…+ 100 (a=2, d=2)

Геометрическая прогрессия Геометрической последовательностью называется последовательность, в которой отношение между ее членом и членом, ему предшествующим, есть величина постоянная.

У царя было семь сыновей. В сундуке лежали изумруды. Пришел первый сын и взял половину того, что было. Пришел второй сын и взял половину того, что осталось и т.д. Каждый из сыновей приходил и забирал половину того, что осталось. Наконец, пришел последний, седьмой сын и увидел почти пустой сундук — с двумя изумрудами. У царя было семь сыновей. В сундуке лежали изумруды. Пришел первый сын и взял половину того, что было. Пришел второй сын и взял половину того, что осталось и т.д. Каждый из сыновей приходил и забирал половину того, что осталось. Наконец, пришел последний, седьмой сын и увидел почти пустой сундук — с двумя изумрудами. Сколько изумрудов лежало в сундуке первоначально? При решении задачи будем использовать цикл While…do.

Программа Program izumrud; Var I, q, r: integer; Begin i=7 'номер 7-го сына q=2 'седьмому сыну досталось 2 изумруда r=2 ‘разность геометрической прогрессии WriteLn(‘i=‘, I, ‘ q=‘, q) While i>1 do begin q=q*r ‘ вычисление i-того члена прогрессии i=i-1 ' номер следующего сына уменьшается на 1 WriteLn(‘i=‘, I, ‘ q=‘, q) end; WriteLn(‘всего ‘,q,’ изумрудов’) End.

Задание 1. Не используя стандартные функции (за исключением abs), вычислить с разной точностью eps>0: Y1=ex = 1+x/1! + x2/2! +…+ xn/n! …; Y2= cos(x) = 1- x2/2! + x4/4! -…+ (-1)n x2n/(2n)! +…; Y3= ln(1+x)= x – x2/2 + x3/3 -… + (-1)n-1 xn/(n)+… 2. Определить количество итераций (повторений) n в зависимости от eps. 3. Занести данные в таблицу:

Можно ли вычислить число ?

Число  и бесконечные ряды

Домашнее задание Задача 1. Напишите программу для вычисления n-й степени числа X. Вычисление описать каждым из трех вариантов оператора цикла: For... to...do, While… do, Repeat… until. Задача 2. Вычислив асимптотический ряд  S= 1-1/3 +1/5 -1/7 + 1/9 - … (-1)i+1 (1/(2i+1))... с точностью eps=0.0001 , вы узнаете, чему равно число  = 4*S . Напишите программу вычисления числа  и сравните со значением , вычисленным с помощью стандартной функции Pi. Замечание. Здесь удобно использовать такую формулу для нечетного числа: i:=i+2 (i=1, 2, 3...).

Использованные источники

Инструкция к демонстрации презентации Запуск анимационных эффектов осуществляется с помощью триггеров: