🗊Презентация Элементы компьютерной математики. (Лекция 7)

Лектор – Склярова Елена Александровна Курс: Элементы компьютерной математики

Тема: Элементы компьютерной математики (ЭКМ) III. Элементы машинной арифметики Коды для представления чисел со знаком Формы представления чисел Диапазон и точность представления чисел Сложение и вычитание чисел с фиксированной запятой Умножение и деление чисел с фиксированной запятой Десятичные операции

Чисел без знака (ЧБЗ), конечно, недостаточно для обеспечения вычислительных работ. Естественное же представление знаков «+» и «-» годится только для ввода-вывода. Чисел без знака (ЧБЗ), конечно, недостаточно для обеспечения вычислительных работ. Естественное же представление знаков «+» и «-» годится только для ввода-вывода. Например, можно записать: - 45 = - 558 = - 1011012 и т.п. При вычислениях знак числа кодируют. Обычно так: код знака «плюс» - это 0, знак «минус» - 1.

Для представления чисел со знаком принято использовать три таких специальных кода: Для представления чисел со знаком принято использовать три таких специальных кода: - прямой код; - обратный код; - дополнительный код.

Проще всего записываются числа в прямом коде: Проще всего записываются числа в прямом коде: (45)пр = 0.45 = 0.558 =0.1011012, (– 45)пр = 1.45 = 1,558 = 1.1011012, (– 45,5)пр = 1.45,5 = 1.55,48 = 1.101101,12. Точка «.» в записи прямою кода отделяет знаковый разряд от цифровых разрядов.

Правило получения прямого кода: цифровые разряды числа не изменяются, знаковый разряд отделяемся от них точкой. Правило получения прямого кода: цифровые разряды числа не изменяются, знаковый разряд отделяемся от них точкой. !!!, для положительных чисел все три кода совпадают. Поэтому формируем правило получения обрат­ного кода для отрицательных чисел: цифровые разряды двоичного числа инвертируются.

Примеры. Примеры. (– 45)обр = (– 1011012)обр = 1.0100102, (– 45,5)обр = (– 101101,12)обр = 1.010010,02. Если система не двоичная (q  2), действует общее правило: каждая цифра дополняется до значения (q – 1).

Примеры. Примеры. (– 45)обр = 1.54 = 1.228 (– 45,5)обр = 1.54,4обр = 1.22.38 Нуль в прямом и обратном кодах имеет двоякое представление: (+ 0)пр = 0.0 … 0, (– 0)пр = 1.0 ... 0, (+ 0)обр = 0.0 … 0, (– 0)обр = 1.1 ... 12 = 1.9 … 9 = ... Дополнительный код отрицательного числа может быть получен прямо или косвенно (через обратный код).

Прямое правило: Прямое правило: цифровые разряды отрицательного числа инвертируются, за исключением самой правой единицы и, возможно, стоящих за ней нулей (эта единица и нули не изменяются).

Примеры. Примеры. (– 45)доп = (– 1011012)доп = 1.0100112, (– 45,5)доп = (– 101101,12)доп = 1.010010,12, (– 10)доп = (– 1010)2 доп = 1.01102. Общее правило для системы с основанием q: каждая цифра дополняется до значения (q - 1), за исключением самой правой значащей цифры и, возможно, стоящих за ней нулей (эта цифра дополняется до значения q, а нули не изменяются).

Примеры. Примеры. (– 45)доп = 1.55 = 1.238 (– 45,5)доп = 1.54,5 = 1.22.48 (– 10)доп = 1.90

Косвенное правило: к обратному коду отрицательного числа надо добавить единицу в младшем разряде. Косвенное правило: к обратному коду отрицательного числа надо добавить единицу в младшем разряде. Интересной особенностью дополнительного кода является наличие единственного кода нуля: (0)доп = (+ 0)доп = 0.0 … 0, Это следует из косвенного правила для (– 0): (– 0)доп = (– 0)обр + 1 = 1.1 … 12 + 1 = [1] 0.0 … 02. Здесь в сложении участвуют все разряды, включая знаковый.

Невостребованность кодовой комбинации для (– 0) позволяет несколько расширить диапазон значений, представимых в дополнительном коде. Невостребованность кодовой комбинации для (– 0) позволяет несколько расширить диапазон значений, представимых в дополнительном коде. Наибольшее по абсолютной величине отрицательное число имеет при общем количестве цифровых разрядов дополнительного кода n значение (– 2n): (– 2n)доп = (– 1 0 … 02) = 1.0 … 02.   n n

Это следует хотя бы из логики такой числовой последовательности: Это следует хотя бы из логики такой числовой последовательности: (– 6)доп = (– 1102)доп = 1.0102 (–7)доп = (–1112)доп = 1.0012 (–8 = –23)доп = (–10002)доп = 1.0002 Здесь справа – последовательные убывающие двоичные числа (точка-разделитель игнорируется). Каждый из трех видов кода имеет модификацию. В модифицированном коде – не один, а два знаковых разряда. Они имеют одинаковые значения (00 или 11).

Классификацию числовых форматов можно провести по трем признакам: Классификацию числовых форматов можно провести по трем признакам: – основание системы счисления; – наличие дробной части (целые или дробные числа); – наличие экспоненциального множителя (числа с фиксированной или плавающей запятой).

В ЭВМ используются обычно 3 – 4 формата: В ЭВМ используются обычно 3 – 4 формата: целые числа (двоичные; запятая фиксирована после младшего разряда); числа с фиксированной запятой (двоичные; дробные; запятая фиксирована после знакового разряда); числа с плавающей запятой (двоичные; дробные; имеются мантисса и порядок – показатель степени основания системы счисления); десятичные числа (целые; запятая фиксирована после младшего разряда).

В современных ЭВМ «классический формат» с фиксированной запятой не используется. Его роль вполне реализует формат целых чисел (рис.1). В современных ЭВМ «классический формат» с фиксированной запятой не используется. Его роль вполне реализует формат целых чисел (рис.1). Кстати, при выполнении арифметических операций разница между этими форматами проявляется только на уровне умножения и деления. Код – дополнительный. Рис. 1. Пример формата «целые числа»

Двоичные числа с плавающей запятой (рис. 2) имеют мантиссу (mx) и порядок (рх): Двоичные числа с плавающей запятой (рис. 2) имеют мантиссу (mx) и порядок (рх): X = mx * 2Рx Рис. 2. Пример формата с плавающей запятой

Мантисса числа – это правильная дробь (|mx| < 1), представлена в прямом коде Знаковый разряд ее, или, что то же, знаковый разряд числа, – разряд {31}. Количество цифровых разрядов мантиссы в примере – 24. Мантисса числа – это правильная дробь (|mx| < 1), представлена в прямом коде Знаковый разряд ее, или, что то же, знаковый разряд числа, – разряд {31}. Количество цифровых разрядов мантиссы в примере – 24. Характеристика представляет собою число без знака ( 0), а именно – порядок, смешенный в неотрицательную область: Нх = рх + 64 = 0...127, рх = Нх – 64 = –64 … 63.

Выполнение действий +/– над порядками, представленными в дополнительном коде, практически равнозначно аналогичным действиям над характеристиками. Способ кодирования знака при этом особой роли не играет. Сложение знаковых разрядов, правда, нужно «инвертировать» (вместо  реализуется ). Выполнение действий +/– над порядками, представленными в дополнительном коде, практически равнозначно аналогичным действиям над характеристиками. Способ кодирования знака при этом особой роли не играет. Сложение знаковых разрядов, правда, нужно «инвертировать» (вместо  реализуется ).

Наибольшей точности числа с плавающей запятой соответствует его нормализованное представление: Наибольшей точности числа с плавающей запятой соответствует его нормализованное представление: 2–1  mx< 1. Таким образом, старшая двоичная цифра мантиссы должна быть единицей.

Десятичные числа в старых «больших» машинах (ЕС ЭВМ) представлены полями переменной длины – от 1 до 16 байтов. Ввод-вывод их осуществляется в распакованном (неупакованном, зонном) Z-формате (рис3.а), а обработка – в упакованном Р-формате (рис. 3б). Десятичные числа в старых «больших» машинах (ЕС ЭВМ) представлены полями переменной длины – от 1 до 16 байтов. Ввод-вывод их осуществляется в распакованном (неупакованном, зонном) Z-формате (рис3.а), а обработка – в упакованном Р-формате (рис. 3б). Рис. 3. Форматы десятичных чисел

«Зона» в неупакованном формате – это 11112 = F16. «Зона» в неупакованном формате – это 11112 = F16. Вместе с последующей двоичной тетрадой, представляющей десятичную цифру, зона образует байт символа, кодируемого в ДКОИ («Двоичный код обмена информацией»). Код знака (в последнем, младшем байте) С, Е или Р16 для « + » и D16 для « – ». В упакованном формате каждый байт, кроме последнего, содержит 2 десятичных цифры. Это означает, что десятичный операнд может иметь от 1 до 31 разряда.

Код для чисел со знаком – прямой. Код для чисел со знаком – прямой. Самое правое положение тетрады знака благоприятствует побайтному (последовательно-параллель­ному) выполнению арифметической операции, начинающейся с младших разрядов операндов. В алгебраическом сложении используется дополнительный код, и для преобразования отрицательных операндов и результатов «прямой-дополнительный-прямой» требуется значительное время.

Диапазон представления целых ч и с е л, заданных в формате {0:n} (n – количество цифровых разрядов, равное 15 для случая рис. 1), определяется двояко: Диапазон представления целых ч и с е л, заданных в формате {0:n} (n – количество цифровых разрядов, равное 15 для случая рис. 1), определяется двояко: Хmin  X  Хmax 0  Xmin  X Xmax Учитывая особенность представления максимальных по абсолютной величине отрицательных чисел в дополнительном коде, получаем: Хmin = –2n, Хmax = –2n–1 Xmin = 1, Xmax = 2n,

Для n = 15 (рис.1) находим: Для n = 15 (рис.1) находим: –215 = –32 768  X  215 – 1 = 32 767, 1  X  32 768. Машинное представление здесь таково: (Хmin) доп = 1.0 … 02  n (Хmax) доп = 0.1 … 12  n

Точность представления чисел связывается обычно с количеством значащих цифр (двоичных, десятичных, ...). Точность представления чисел связывается обычно с количеством значащих цифр (двоичных, десятичных, ...). Для целых форматов оценка этой точности фактически равнозначна оценке диапазона. Она определяется n двоичными разрядами. Для получения более привычной десятичной оценки можно воспользоваться естественным соотношением: 2x  10y, X lg 2  y, у  0,3010 х  0,3 х. Десятичная точность целых форматов – 0,3n. Например, 15 х 0,3 = 4,5.

Диапазон для чисел с плавающей запятой абсолютно симметричен (в силу прямого кода мантиссы): Диапазон для чисел с плавающей запятой абсолютно симметричен (в силу прямого кода мантиссы): Xmin = Xmax = Xmax, Поэтому здесь интерес представляет только диапазон для модуля: X min норм  X Xmax. Индекс «норм» означает нормализованность чисел с плавающей запятой: 2–1  mx < 1. Старшая двоичная цифра мантиссы должна быть 1.

X min норм  2–1 * 2–64 = 2–65  10–19. X max = (1 – 2–n m ) * 263  263  1019. Здесь nm – количество двоичных цифровых разрядов мантиссы (на рис.2 их 24). !!! Разрядность мантиссы существенно определяет точность чисел с плавающей запятой.

Значащие цифры числа, независимо от его представления, – это значащие цифры мантиссы. Значащие цифры числа, независимо от его представления, – это значащие цифры мантиссы. 24-разрядная мантисса (рис. 2) соответствует точности 7 десятичных цифр. Диапазон и точность представления десятичных чисел, как и чисел с фиксированной запятой (в частности, целых), оцениваются одинаково – длиной формата. Оценка для симметричного диапазона в случае упакованного 16-байтного формата (рис. 3): 0  1  | х |  1031 – 1, для точности – 31 десятичная цифра.

Сложение и вычитание представляют пару операций «типа сложения», т.е. алгебраическое сложение, которое, в свою очередь, можно понимать как сложение чисел со знаком, заданных в обратном или дополнительном коде. Сложение и вычитание представляют пару операций «типа сложения», т.е. алгебраическое сложение, которое, в свою очередь, можно понимать как сложение чисел со знаком, заданных в обратном или дополнительном коде. Вычитание может выполняться непосредственно (с использованием, например, специальных операционных элементов – вычитателей) или косвенно, путем сведения его к сложению: Z : = X – Y = X + (–Y)

В последнем случае достаточно, как видно, изменить знак второго операнда. Если операнды (и результат) представлены в дополнительном коде, изменение знака производится путем инверсии всех разрядов и добавления 1 в младшем разряде. Например, В последнем случае достаточно, как видно, изменить знак второго операнда. Если операнды (и результат) представлены в дополнительном коде, изменение знака производится путем инверсии всех разрядов и добавления 1 в младшем разряде. Например, Y = 5 ~ 0.1012 –Y = –5 ~ 1 0102 + ____1 1.0112 = (–5)доп, и наоборот, Y = –5 ~ 1.0112 –Y = 5 ~ 0 1002 + ____1 0.1012 = (5)доп.

Правила алгебраического сложения чисел в обратном и дополнительном кодах тривиальны: обратные или дополнительные коды операндов суммируются как обыкновенные числа без знака, возможная единица переноса из знакового разряда (старшего знакового разряда, если код модифицированный) циклически переносится в младший разряд для второго суммирования (обратный код) или отбрасывается (дополнительный код). Правила алгебраического сложения чисел в обратном и дополнительном кодах тривиальны: обратные или дополнительные коды операндов суммируются как обыкновенные числа без знака, возможная единица переноса из знакового разряда (старшего знакового разряда, если код модифицированный) циклически переносится в младший разряд для второго суммирования (обратный код) или отбрасывается (дополнительный код). « + » – знак операции сложения с циклическим переносом (Пример 1).

Пример 1. Пример 1. Х = –5 Xобр = 1.0102 + + Y = 7 Yобр = 0.1112 __________ ____________ Z = 2 10.001 + 1 ____________ Zобр = 0.0102

Пример 2. Пример 2. Х = 5 Xдоп мод = 00.1012 + + Y = -7 Yдоп мод = 11.0012 __________ ____________ Z = -2 Zдоп мод = 11.1102

Вообще, при сложении чисел с разными знаками в дополнительном коде отсутствие переноса свидетельствует об отрицательном результате (как в Примере 2), а наличие – о результате положительном или нулевом (Пример 3). Вообще, при сложении чисел с разными знаками в дополнительном коде отсутствие переноса свидетельствует об отрицательном результате (как в Примере 2), а наличие – о результате положительном или нулевом (Пример 3). Пример 3. Х = 5 Xдоп = 0.1012 + + Y = -5 Yдоп = 1.0112 __________ ____________ Z = 0 Zдоп = 10.0102 рвых = 1

В обратном коде отсутствие выходного переноса свидетельствует о неположительном результате (Пример 4), а наличие его – о результате положительном (Пример 1). В обратном коде отсутствие выходного переноса свидетельствует о неположительном результате (Пример 4), а наличие его – о результате положительном (Пример 1). Пример 4. Х = 5 Xобр = 0.1012 + + Y = -5 Yдоп = 1.0102 __________ ____________ Z = 0 Zобр = 1.1112 = (- 0)обр рвых = 0

Обнаружение переполнения разрядной сетки при сложении может производиться несколькими способами. Обнаружение переполнения разрядной сетки при сложении может производиться несколькими способами. Самый простой способ – использование модифицированного кода (с двумя знаковыми разрядами). Старший знаковый разряд даже при переполнении сохраняет информацию о знаке результата («Разряд знака»). Младший – «Разряд переполнения». Комбинация знаков при «положительном» переполнении – 01, при «отрицательном» – 10.

Пример 5. Пример 5. Х = 3 Xдоп мод = 00.0112 + + Y = 6 Yдоп мод = 00.1102 __________ ____________ Z = 9 > 7 Zдоп мод ~ 01.0012 (положительное переполнение) Пример 6. х = - 3 Xдоп мод = 11.1012 + + у = - 6 Yдоп мод = 11.0102 __________ ____________ z = - 9 < 8 Zдоп мод ~ 10.1112 (отрицательное переполнение)

В примере 6 указано граничное значение (- 8), которое может быть представлено без переполнения: В примере 6 указано граничное значение (- 8), которое может быть представлено без переполнения: (-8) доп мод = 11.0002 Недостаток способа модифицированного кода — расширение разрядной сетки на один разряд.

Второй способ обнаружения переполнения - сравнение переносов в знаковый разряд и из знакового разряда. Переполнение - при несовпадении этих переносов. Фактически здесь тоже «задействован» модифицированный дополнительный код. Второй способ обнаружения переполнения - сравнение переносов в знаковый разряд и из знакового разряда. Переполнение - при несовпадении этих переносов. Фактически здесь тоже «задействован» модифицированный дополнительный код. Случай А. Неотрицательные операнды.

Правило сравнения переносов дает значение признака переполнения: Правило сравнения переносов дает значение признака переполнения: φр = 0  X = X (переполнение при X = 1). Слева от штриховой черты показаны значения воображаемого модифицированного дополнительного кода. Правило этого способа дает такое же значение признака переполнения: φм = 0  X = X

Случай В. Отрицательные операнды. Случай В. Отрицательные операнды. Здесь тоже φр = φм = 1  X = X (переполнение может быть только отрицательное - при отсутствии переноса из старшего цифрового разряда).

Случай С. Операнды имеют разные знаки Случай С. Операнды имеют разные знаки Оба признака переполнения снова совпадают, они имеют нулевые значения (переполнение в принципе невозможно): φр = Х  X = 0 φм = Х  X = 0

Третий способ - сравнение знаков. Реализуется программно (микропрограммно). Сначала проверяется, имеют ли операнды одинаковые знаки. И, если имеют, совпадает ли с этими знаками знак результата. Переполнение соответствует несовпадению (рис. 4). Третий способ - сравнение знаков. Реализуется программно (микропрограммно). Сначала проверяется, имеют ли операнды одинаковые знаки. И, если имеют, совпадает ли с этими знаками знак результата. Переполнение соответствует несовпадению (рис. 4).