Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неод

Нажмите для полного просмотра!

Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неод, слайд №2

Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неод, слайд №3

Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неод, слайд №4

Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неод, слайд №5

Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неод, слайд №6

Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неод, слайд №7

Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неод, слайд №8

Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неод, слайд №9

Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неод, слайд №10

Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неод, слайд №11

Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неод, слайд №12

Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неод, слайд №13

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неод. Доклад-сообщение содержит 13 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.

Слайд 2

Описание слайда:

Двойные интегралы. Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой f(x, y) = 0. Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью . Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область . С геометрической точки зрения  - площадь фигуры, ограниченной контуром.

Слайд 3

Описание слайда:

Разобьем область  на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние , а по оси у – на . Вообще говоря, такой порядок разбиения необязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера. Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны В каждой частичной области возьмем произвольную точку и составим интегральную сумму где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области . Если бесконечно увеличивать количество частичных областей i, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка Si стремится к нулю.

Слайд 4

Описание слайда:

Определение Если при стремлении к нулю шага разбиения области  интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области . учетом того, что получаем: В приведенной выше записи имеются два знака , т.к. суммирование производится по двум переменным х и у. Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек , то, считая все площади одинаковыми, получаем формулу:

Слайд 5

Описание слайда:

Условия существования двойного интеграла Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , то двойной интеграл существует.

Слайд 6

Описание слайда:

Теорема Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области  и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл существует.

Слайд 7

Описание слайда:

Свойства двойного интеграла. 1) 2) 3) Если  = 1 + 2, то 4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования. 5) Если f(x, y)  0 в области , то 6) Если f1(x, y)  f2(x, y), то 7)

Слайд 8

Описание слайда:

Вычисление двойного интеграла Теорема Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = (x), y = (x), где  и  - непрерывные функции и   , тогда

Слайд 9

Описание слайда:

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = (y), x = (y) ((y)  (y)), то

Слайд 10

Описание слайда:

Замена переменных в двойном интеграле Расмотрим двойной интеграл вида , где переменная изменяется в пределах от a до b, а переменная – от до Положим Тогда

Слайд 11

Описание слайда:

т.к. при первом интегрировании переменная принимается за постоянную, то т.к. при первом интегрировании переменная принимается за постоянную, то подставляя это выражение в записанное выше соотношение для , получаем:

Слайд 12

Описание слайда:

Выражение называется определителем Якоби или Якобианом функций и Выражение называется определителем Якоби или Якобианом функций и (Якоби Карл Густав Якоб – (1804-1851) – немецкий математик) Тогда Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для принимает вид ( при первом интегрировании полагаем ), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:

Слайд 13

Описание слайда:

Двойной интеграл в полярных координатах. Воспользуемся формулой замены переменных: При этом известно, что В этом случае Якобиан имеет вид: Тогда Здесь  - новая область значений,