Лекц1-5A.ppt - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Лекц1-5A.ppt. Доклад-сообщение содержит 19 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Лекция 3. Принцип вложенных отрезков. Подпоследовательность числовой последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши существования предела последовательности.

Слайд 2

Описание слайда:

Принцип вложенных отрезков. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система числовых отрезков [a1,b1], [a2,b2], …, [an,bn],…, где an R, bnR, nN, называется системой вложенных отрезков, если a1  a2  … an  …  bn  …  b2  b1, т.е. если каждый следующий отрезок [an+1, bn+1] содержится в предыдущем. ТЕОРЕМА. Для всякой системы вложенных отрезков с длинами, стремящимися к нулю, существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам данной системы, причем  = sup{an} = inf{bn}.

Слайд 3

Описание слайда:

Доказательство. Последовательность левых концов отрезков {an} возрастает и ограничена сверху, например, числом b1. Тогда по свойству Вейерштрасса существует По свойству верхней грани an   n. Последовательность правых концов отрезков {bn} убывает и ограничена снизу, например, числом а1. Тогда по свойству Вейерштрасса существует По свойству нижней грани bn   n. С другой стороны bn= an+( bn– an), откуда, переходя к пределу, получим Следовательно  =  =  и an    bn n. Т.е. существует точка, принадлежащая всем отрезкам одновременно.

Слайд 4

Описание слайда:

Слайд 5

Описание слайда:

Понятие подпоследовательности числовой последовательности. Пусть дана числовая последовательность {xn}. Рассмотрим строго возрастающую последовательность натуральных чисел {nk}, то есть такую, что n1 < n2 < n3

Слайд 6

Описание слайда:

Существование частичного предела у ограниченной ЧП ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если подпоследовательность числовой последовательности {xn} имеет предел, то этот предел называется частичным пределом числовой последовательности {xn}. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Наибольший и наименьший из частичных пределов последовательности {xn}, если они существуют, называют соответственно верхним и нижним пределом этой последовательности и обозначают символами Пример.

Слайд 7

Описание слайда:

ТЕОРЕМА ТЕОРЕМА Из всякой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (любая ограниченная ЧП имеет хотя бы один частичный предел) . ПРИМЕР.

Слайд 8

Описание слайда:

Больцано (Bolzano) Бернард (1781 – 1848) Чешский математик и философ-идеалист. Ввел ряд важных понятий математического анализа, обычно связываемых с более поздними исследованиями других математиков.

Слайд 9

Описание слайда:

Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815-1897) Немецкий математик. Иностранный почетный член Петербургской АН. Труды по математическому анализу, теории функций, вариационному исчислению, дифференциальной геометрии и линейной алгебре. Разработал систему логического обоснования математического анализа.

Слайд 10

Описание слайда:

Доказательство теоремы. Пусть {xn} – ограниченная ЧП, тогда существуют числа a, b, такие, что a  xn  b nN. Разделим отрезок [a, b] пополам. Обозначим [a1, b1] правую его половину, если в ней бесконечное число элементов ЧП, и левую – в противном случае. Выберем Разделим отрезок [a1, b1] пополам. Обозначим [a2, b2] правую его половину, если в ней бесконечное число элементов ЧП, и левую – в противном случае. Выберем

Слайд 11

Описание слайда:

На каждом шаге получим отрезок [ak, bk] и точку На каждом шаге получим отрезок [ak, bk] и точку так что nk > nk-1. Т.е. получим подпоследовательность и систему вложенных отрезков, длина которых стремится к нулю, так как Тогда, согласно принципу вложенных отрезков, существует единственная точка   [ak, bk], k.

Слайд 12

Описание слайда:

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (критерий Коши) Последовательность {хn} называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши: для любого  > 0 существует такое натуральное число N(), что для любого n  N() и любого m  N() выполняется неравенство хn – хm < . Условие Коши можно записать в другом виде:   > 0  N()  :  n  N() и  р    хn+ р – хn < .

Слайд 13

Описание слайда:

Коши (Cauchy) Огюстен Луи (1789 – 1857) Французский математик, иностранный почетный член Петербургской АН (1831). Разработал базу математического анализа – теорию пределов. Автор классических курсов математического анализа.

Слайд 14

Описание слайда:

ЛЕММА. ЛЕММА. Фундаментальная ЧП является ограниченной. Доказательство. Возьмем  =1. В силу условия Коши существует такое N(1), что для всех n  N(1) и m  N(1) выполняется неравенство  хn- хm < 1 В частности, и для m = N  хn- хN < 1. Тогда  хn =  хn- хN+ хN  хn- хN + хN < 1+хN . Возьмем С = max {1+хN ,  х1 ,  х2 , ..., хN-1 }. Тогда для всех n справедливо неравенство  хn  С.

Слайд 15

Описание слайда:

ТЕОРЕМА. ТЕОРЕМА. Для того, чтобы ЧП имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Доказательство. 1. Необходимость. Пусть существует Согласно определению предела,  > 0  N() N : n  N() и m  N()   хn - а 

Слайд 16

Описание слайда:

2. Достаточность. 2. Достаточность. Пусть ЧП {xn} фундаментальна. Докажем, что она имеет предел. Так как фундаментальная ЧП {xn} является ограниченной, то, по теореме Больцано-Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность Пусть Возьмем  > 0. По опр. предела последовательности  N1()N : k  N1()  По опр. фундаментальной ЧП  N2()N : n  N2() , m  N2()   хn- хm < /2. Пусть N() = max{ N1(), N2()}. Фиксируем номер nk  N(). Тогда при m = nk и n  N() выполняется неравенство Т.е. при n  N() справедливо неравенство

Слайд 17

Описание слайда:

ПРИМЕР 1. Докажем, что сходится числовая последовательность Оценим модуль разности Возьмем  > 0. Найдём N()N : n  N()  Решая неравенство, получим N() = [log2(1/)] + 1. То есть n  N() и р  N   хn+p – хn

Слайд 18

Описание слайда:

ПРИМЕР 2. Докажем, что числовая последовательность {xn}, где расходится. Последовательность {xn} расходится, если не выполнено условие Коши, т.е.  0 > 0:  k   n  k  m  k :  хn – хm   0 . Пусть задано  k  . Положим n = 2k , m = k . Тогда  хn – хm  =  х2k – хk  Таким образом, условие выполняется при 0 = 1/2. Следовательно, в силу критерия Коши, числовая последовательность расходится.