Методы поиска экстремума - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Методы поиска экстремума. Доклад-сообщение содержит 47 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Лекция 4 Методы поиска экстремума

Слайд 2

Описание слайда:

Классификация методов математического программирования

Слайд 3

Описание слайда:

В САПР основными методами оптимизации являются В САПР основными методами оптимизации являются поисковые методы.

Слайд 4

Описание слайда:

Поисковые методы основаны Поисковые методы основаны на пошаговом изменении управляемых параметров

Слайд 5

Описание слайда:

В большинстве методов приращение В большинстве методов приращение вектора управляемых параметров вычисляется по формуле Хk - значение вектора управляемых параметров на k-м шаге, h - шаг, g(Xk) - направление поиска.

Слайд 6

Описание слайда:

Следовательно, если выполняются условия сходимости, то реализуется пошаговое (итерационное) приближение к экстремуму. Следовательно, если выполняются условия сходимости, то реализуется пошаговое (итерационное) приближение к экстремуму.

Слайд 7

Описание слайда:

Методы оптимизации классифицируют по ряду признаков:

Слайд 8

Описание слайда:

В зависимости от числа управляемых параметров различают методы одномерной (управляемый параметр единственный) и многомерной (размер вектора X не менее двух) оптимизации. В зависимости от числа управляемых параметров различают методы одномерной (управляемый параметр единственный) и многомерной (размер вектора X не менее двух) оптимизации. Реальные задачи в САПР многомерны, методы одномерной оптимизации играют вспомогательную роль на отдельных этапах многомерного поиска.

Слайд 9

Описание слайда:

Различают методы условной и безусловной оптимизации по наличию или отсутствию ограничений. Различают методы условной и безусловной оптимизации по наличию или отсутствию ограничений. Для реальных задач характерно наличие ограничений. Однако задачи условной оптимизации с помощью специальных методов могут быть сведены к задачам без ограничений (к безусловной оптимизации).

Слайд 10

Описание слайда:

В зависимости от числа экстремумов различают задачи одно- и многоэкстремальные. В зависимости от числа экстремумов различают задачи одно- и многоэкстремальные. Локальный метод ориентирован на определение какого-либо локального экстремума. Метод глобального поиска – метод, результатом которого является глобальный экстремум. Удовлетворительные по вычислительной эффективности методы глобального поиска для общего случая отсутствуют и потому на практике в САПР используют методы поиска локальных экстремумов.

Слайд 11

Описание слайда:

Методы нескольких порядков различают по использованию при поиске производных целевой функции по управляемым параметрам. Методы нескольких порядков различают по использованию при поиске производных целевой функции по управляемым параметрам. Если производные не используются, то имеет место метод нулевого порядка, если используются первые или вторые производные, то соответственно метод первого или второго порядка.

Слайд 12

Описание слайда:

Методы первого порядка называют также градиентными, Методы первого порядка называют также градиентными, поскольку вектор первых производных F(X) по N есть градиент целевой функции

Слайд 13

Описание слайда:

Конкретные методы определяются следующими факторами: Конкретные методы определяются следующими факторами: 1) способом вычисления направления поиска g(Xk) в формуле ; 2) способом выбора шага h; 3) способом определения окончания поиска. Определяющим фактором является первый.

Слайд 14

Описание слайда:

Шаг может быть постоянным или выбираться исходя из одномерной оптимизации — поиска минимума целевой функции в выбранном направлении g(Xk). Шаг может быть постоянным или выбираться исходя из одномерной оптимизации — поиска минимума целевой функции в выбранном направлении g(Xk). В последнем случае шаг будем называть оптимальным.

Слайд 15

Описание слайда:

Правило окончания поиска: Правило окончания поиска: если на протяжении r подряд идущих шагов траектория поиска остается в малой ε-окрестности текущей точки поиска Xk, то поиск следует прекратить. Условие окончания поиска :

Слайд 16

Описание слайда:

Необходимые условия экстремума

Слайд 17

Описание слайда:

В задачах безусловной оптимизации необходимые условия представляют собой равенство нулю градиента целевой функции В задачах безусловной оптимизации необходимые условия представляют собой равенство нулю градиента целевой функции

Слайд 18

Описание слайда:

Базовая (общая) задача оптимизации ставится как задача математического программирования: Базовая (общая) задача оптимизации ставится как задача математического программирования: где F(X) — целевая функция, X — вектор управляемых (проектных) параметров, φ(X) и ψ(X) — функции-ограничения, Dx —допустимая область в пространстве управляемых параметров.

Слайд 19

Описание слайда:

В общей задаче математического программирования необходимые условия экстремума (условия Куна-Таккера) формулируются: В общей задаче математического программирования необходимые условия экстремума (условия Куна-Таккера) формулируются: для того, чтобы точка Q была экстремальной точкой выпуклой задачи математического программирования (ЗМП), необходимо наличие неотрицательных коэффициентов ui, таких, что и при этом соблюдались ограничения задачи, а также выполнялось условие где m — число ограничений типа неравенств, L— то же равенств, коэффициенты aj>0.

Слайд 20

Описание слайда:

Абстрактная формулировка условий имеет простой геометрический смысл

Слайд 21

Описание слайда:

Рассмотрим случай с ограничениями только типа неравенств. Рассмотрим случай с ограничениями только типа неравенств. Если максимум находится внутри допустимой области R, то, выбирая все ui=0, добиваемся выполнения если же точка максимума Q лежит на границе области R, то, как видно из левой части рисунка, эту точку всегда соответствующим подбором неотрицательных ui можно поместить внутрь оболочки, натянутой на градиенты целевой функции F(X) и функций-ограничений φi(X).

Слайд 22

Описание слайда:

Наоборот, если точка не является экстремальной, то условие Наоборот, если точка не является экстремальной, то условие нельзя выполнить при любом выборе положительных коэффициентов ui (см. правую часть рисунка, где рассматриваемая точка N лежит вне выпуклой оболочки, натянутой на градиенты). Учет ограничений типа равенств очевиден, если добавляется сумма

Слайд 23

Описание слайда:

Методы поиска условных экстремумов

Слайд 24

Описание слайда:

Широко известен метод множителей Лагранжа, ориентированный на поиск экстремума при наличии ограничений типа равенств Широко известен метод множителей Лагранжа, ориентированный на поиск экстремума при наличии ограничений типа равенств ψ(X) = 0, т.е. на решение задачи где

Слайд 25

Описание слайда:

Суть метода заключается в преобразовании Суть метода заключается в преобразовании задачи условной оптимизации в задачу безусловной оптимизации с помощью образования новой целевой функции где - вектор множителей Лагранжа, L - число ограничений.

Слайд 26

Описание слайда:

Необходимые условия экстремума функции : Необходимые условия экстремума функции : Система содержит n+L алгебраических уравнений, где n - размерность пространства управляемых параметров. Её решение - искомые координаты экстремальной точки и значения множителей Лагранжа. При численном решении системы (алгоритмические модели) возникают трудности. Поэтому в САПР основными методами решения ЗМП являются методы штрафных функций и проекции градиента.

Слайд 27

Описание слайда:

Основная идея методов штрафных функций — преобразование задачи условной оптимизации в задачу безусловной оптимизации путем формирования новой целевой функции Ф(N) введением в исходную целевую функцию F(X) специальным образом выбранной функции штрафа S(X): Основная идея методов штрафных функций — преобразование задачи условной оптимизации в задачу безусловной оптимизации путем формирования новой целевой функции Ф(N) введением в исходную целевую функцию F(X) специальным образом выбранной функции штрафа S(X): где r - множитель, значения которого можно изменять в процессе оптимизации.

Слайд 28

Описание слайда:

Среди методов штрафных функций различают методы внутренней и внешней точки. Среди методов штрафных функций различают методы внутренней и внешней точки. Согласно методам внутренней точки (методам барьерных функций) исходную для поиска точку можно выбирать только внутри допустимой области, а для методов внешней точки как внутри, так и вне допустимой области (в ней функции целевая и ограничений должны быть определены).

Слайд 29

Описание слайда:

Ситуация появления барьера у целевой функции Ф(х) и соотношение между условным в точке х2 и безусловным в точке х1 минимумами F(x) в простейшем одномерном случае иллюстрируется рисунком Ситуация появления барьера у целевой функции Ф(х) и соотношение между условным в точке х2 и безусловным в точке х1 минимумами F(x) в простейшем одномерном случае иллюстрируется рисунком

Слайд 30

Описание слайда:

Примеры штрафных функций: Примеры штрафных функций: для метода внутренней точки при ограничениях где m - число ограничений типа неравенств; для метода внешней точки при таких же ограничениях здесь штраф сводится к включению в Ф(N) суммы квадратов активных (т.е. нарушенных) ограничений; 3) в случае ограничений типа равенств

Слайд 31

Описание слайда:

Чем больше коэффициент r, тем точнее решение задачи, однако при больших r может ухудшаться ее обусловленность. Чем больше коэффициент r, тем точнее решение задачи, однако при больших r может ухудшаться ее обусловленность. Поэтому в начале поиска обычно выбирают умеренные значения r, увеличивая их в окрестностях экстремума.

Слайд 32

Описание слайда:

Основной вариант Основной вариант метода проекции градиента ориентирован на задачи математического программирования c ограничениями типа равенств.

Слайд 33

Описание слайда:

Поиск при выполнении ограничений осуществляется в подпространстве Поиск при выполнении ограничений осуществляется в подпространстве (n-m) измерений, где n - число управляемых параметров, m - число ограничений. При этом движение осуществляется в направлении проекции градиента целевой функции F(X) на гиперплоскость, касательную к гиперповерхности ограничений (точнее к гиперповерхности пересечения гиперповерхностей ограничений).

Слайд 34

Описание слайда:

Поиск минимума начинают со спуска из исходной точки на гиперповерхность ограничений. Далее выполняют шаг в указанном выше направлении (шаг вдоль гиперповерхности ограничений). Поиск минимума начинают со спуска из исходной точки на гиперповерхность ограничений. Далее выполняют шаг в указанном выше направлении (шаг вдоль гиперповерхности ограничений). Поскольку этот шаг может привести к заметному нарушению ограничений, вновь повторяют спуск на гиперповерхность ограничений и т.д.

Слайд 35

Описание слайда:

Идею метода поясним для случая поиска в двумерном пространстве при одном ограничении ψ(X) = 0.

Слайд 36

Описание слайда:

На рисунке это ограничение представлено жирной линией, а целевая функция — совокупностью более тонких линий равного уровня. На рисунке это ограничение представлено жирной линией, а целевая функция — совокупностью более тонких линий равного уровня. Спуск обычно осуществляют по нормали к гиперповерхности ограничений (в данном случае к линии ограничения). Условие окончания поиска основано на сопоставлении значений целевой функции в двух последовательных точках, получаемых после спуска на гиперповерхность ограничений.

Слайд 37

Описание слайда:

Рассмотрим получение аналитических выражений для направлений спуска и движения вдоль гиперповерхности ограничений. Рассмотрим получение аналитических выражений для направлений спуска и движения вдоль гиперповерхности ограничений.

Слайд 38

Описание слайда:

Спуск Спуск Необходимо из текущей точки поиска В попасть в точку А, являющуюся ближайшей к В точкой на гиперповерхности ограничений, т.е. решить задачу: min |B-A| при условии ψ(X)=0, которое после линеаризации в окрестностях точки В имеет вид

Слайд 39

Описание слайда:

Используем метод множителей Лагранжа, обозначая А-В=U и учитывая, что минимизация расстояния равнозначна минимизации скалярного произведения U на U, получаем Используем метод множителей Лагранжа, обозначая А-В=U и учитывая, что минимизация расстояния равнозначна минимизации скалярного произведения U на U, получаем тогда из второго выражения получаем подставляя его в третье выражение, имеем откуда Подставляя λ во второе выражение, находим

Слайд 40

Описание слайда:

Движение вдоль гиперповерхности ограничений Движение вдоль гиперповерхности ограничений Шаг в гиперплоскости D, касательной к гиперповерхности ограничений, следует сделать в направлении вектора S, на котором целевая функция уменьшается в наибольшей мере при заданном шаге h.

Слайд 41

Описание слайда:

Уменьшение целевой функции при переходе из точки А в новую точку С подсчитывают, используя формулу линеаризации F(X) в окрестностях точки А: Уменьшение целевой функции при переходе из точки А в новую точку С подсчитывают, используя формулу линеаризации F(X) в окрестностях точки А: где - приращение F(X), которое нужно минимизировать, варьируя направления S.

Слайд 42

Описание слайда:

где вариация S осуществляется в пределах гиперплоскости D; grad ψ(A) и S — ортогональные векторы. Следовательно, минимизацию этого выражения необходимо выполнять при ограничениях Последнее ограничение говорит о том, что при поиске направления движения, вектор S должен лишь указывать это направление, т.е. его длина несущественна (пусть S — единичный вектор).

Слайд 43

Описание слайда:

Для решения Для решения используем метод множителей Лагранжа. где λ и q — множители Лагранжа; Из второго выражения следует, что подставляя S в третье выражение, получаем откуда

Слайд 44

Описание слайда:

Таким образом, матрица представляет собой проектирующую матрицу, а вектор S, рассчитанный по верхнему выражению, — проекцию градиента grad F(A) на гиперповерхность ограничений.

Слайд 45

Описание слайда:

Частным случаем применения метода проекции градиента являются задачи оптимизации с максиминным критерием. Для поиска экстремума функции минимума Частным случаем применения метода проекции градиента являются задачи оптимизации с максиминным критерием. Для поиска экстремума функции минимума где Zj — нормированная величина j-го выходного параметра yj, удобно применять метод проекции градиента.

Слайд 46

Описание слайда:

В качестве ограничений задачи в исходной постановке фигурируют только прямые ограничения В качестве ограничений задачи в исходной постановке фигурируют только прямые ограничения Здесь хmaxi и xmini — граничные значения допустимого диапазона варьирования параметра хi. В процессе поиска, если минимальной является функция Zq(X) и траектория поиска пересекает гребень то поиск продолжается в направлении проекции градиента функции Zq(X) на гиперповерхность этого гребня.