🗊Презентация Системы массового обслуживания

Моделирование систем массового обслуживания Системы массового обслуживания – это системы, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо услуг, с другой – происходит удовлетворение этих запросов. Методами теории массового обслуживания могут быть решены многие задачи исследования процессов, происходящих в экономике

В борьбу за клиента в современной экономике вкладываются огромные средства. В борьбу за клиента в современной экономике вкладываются огромные средства. По оценкам западных экономистов, завоевание фирмой нового клиента обходится ей в 6 раз дороже, чем удержание существующих покупателей. А если клиент ушел неудовлетворенным, то на его возвращение приходится потратить в 25 раз больше средств.

Во многих случаях неудовлетворенность клиента вызвана неудачной организацией его обслуживания (слишком долгое ожидание в очереди, отказ в обслуживании и т.д.). Во многих случаях неудовлетворенность клиента вызвана неудачной организацией его обслуживания (слишком долгое ожидание в очереди, отказ в обслуживании и т.д.). Использование теории массового обслуживания позволяет фирме избежать подобных неприятностей

Основоположником теории массового обслуживания считается датский ученый А. К. Эрланг. Основоположником теории массового обслуживания считается датский ученый А. К. Эрланг. Являясь сотрудником Копенгагенской телефонной компании, он опубликовал в 1909 году работу «Теория вероятностей и телефонные переговоры», в которой решил ряд задач по теории систем массового обслуживания с отказами.

Значительный вклад в создание и разработку общей теории массового обслуживания внес выдающийся советский математик Александр Яковлевич Хинчин (1984 – 1959), который предложил сам термин теория массового обслуживания. Значительный вклад в создание и разработку общей теории массового обслуживания внес выдающийся советский математик Александр Яковлевич Хинчин (1984 – 1959), который предложил сам термин теория массового обслуживания. В зарубежной литературе чаще используется название теория очередей

Системы массового обслуживания, включают следующие элементы: Системы массового обслуживания, включают следующие элементы: Источник требований; Входящий поток требований; Очередь; Обслуживающие устройства (каналы обслуживания); Выходящий поток требований.

Структура СМО:

Заявками могут быть производственные и торговые заказы, заявки на ремонт станков, посадку самолетов в аэропорту и заправку автомобилей на автозаправочной станции и т.д. Заявками могут быть производственные и торговые заказы, заявки на ремонт станков, посадку самолетов в аэропорту и заправку автомобилей на автозаправочной станции и т.д. Канал обслуживания может представлять собой совокупность устройств, этап производственного процесса, аэропорт и т.д. Интервалы между последовательными заявками и продолжительность их обслуживания являются случайными величинами.

Примеры задач систем МО В торговле Определить оптимальное количество торговых точек данного профиля, численность продавцов, частоту завоза товаров и другие параметры. Склады Установить оптимальное соотношение между числом поступающих на базу требований на обслуживание и числом обслуживающих устройств, при котором суммарные расходы на обслуживание и убытки от простоя транспорта были бы минимальными.

Расчет площади складских помещений Расчет площади складских помещений Складская площадь рассматривается как обслуживающее устройство, а -прибытие транспортных средств под выгрузку — как требование Модель производственной фирмы, Включает несколько цехов, которые последовательно участвуют в процессе производства некоторого изделия, заказы на изготовление изделия поступают в случайные моменты времени

Модель управленческого звена фирмы, Модель управленческого звена фирмы, Состоит из начальника и заместителей, которые принимают участие в приеме посетителей. В процессе моделирования требуется обеспечить одинаковую занятость участников процесса Модель бензоколонки Количество автомобилей - случайная величина

Модели в коммерческой деятельности предприятия. Модели в коммерческой деятельности предприятия. Коммерческая деятельность: погрузка товаров, перевозка, разгрузка, хранение, обработка, фасовка, реализация, а также операции с платежными документами, тарой, деньгами, автомашинами, клиентами и т.п. Для коммерческой деятельности характерны массовость поступления товаров, денег, посетителей в случайные моменты времени. Время их обслуживания носит также случайный характер.

В качестве характеристик эффективности функционирования СМО можно выбрать три основные группы В качестве характеристик эффективности функционирования СМО можно выбрать три основные группы 1. Показатели эффективности использования СМО: 1.1. Абсолютная пропускная способность СМО – среднее число заявок, которое сможет обслужить СМО в единицу времени. 1.2. Относительная пропускная способность СМО – отношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу поступивших за это же время заявок.

1.3. Средняя продолжительность периода занятости СМО. 1.3. Средняя продолжительность периода занятости СМО. 1.4. Коэффициент использования СМО – средняя доля времени, в течение которого СМО занята обслуживанием заявок, и т.п.

2. Показатели качества обслуживания заявок: 2. Показатели качества обслуживания заявок: 2.1. Среднее время ожидания заявки в очереди. 2.2. Среднее время пребывания заявки в СМО. 2.3. Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания. 2.4. Вероятность того, что вновь поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию.

2.5. Закон распределения времени ожидания заявки в очереди. 2.5. Закон распределения времени ожидания заявки в очереди. 2.6. Закон распределения времени пребывания заявки в СМО. 2.7. Среднее число заявок, находящихся в очереди. 2.8. Среднее число заявок, находящихся в СМО, и т.п.

3. Показатели эффективности функционирования пары «СМО – клиент», где под «клиентом» понимают всю совокупность заявок или некий их источник. 3. Показатели эффективности функционирования пары «СМО – клиент», где под «клиентом» понимают всю совокупность заявок или некий их источник. К числу таких показателей относится, например, средний доход, приносимый СМО в единицу времени, и т.п.

Случайный характер потока заявок и длительности их обслуживания порождает в СМО случайный процесс. Случайный характер потока заявок и длительности их обслуживания порождает в СМО случайный процесс. Случайным процессом (или случайной функцией) называется соответствие, при котором каждому значению аргумента ставится в соответствие случайная величина.

Классификация СМО По месту нахождения источника требований Разомкнутые - источник требования находится вне системы Замкнутые - источник находится в самой системе

Примером разомкнутой системы может служить ателье по ремонту телевизоров (магазины, кассы вокзалов, портов …) Примером разомкнутой системы может служить ателье по ремонту телевизоров (магазины, кассы вокзалов, портов …) Здесь неисправные телевизоры — это требования, источник требований находятся вне системы, число требований можно считать неограниченным. Это система с неограниченным потоком требований.

К замкнутым СМО относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником требований на их обслуживание бригадой наладчиков. К замкнутым СМО относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником требований на их обслуживание бригадой наладчиков. Каждый налаженный станок становится потенциальным источником требований на новую накладку. В подобных системах общее число требований конечно и чаще всего постоянно.

По характеру образования очереди По характеру образования очереди С ожиданием - требование, застав все обслуживающие каналы занятыми, становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из обслуживающих каналов С ограничением на длину очереди (с ограниченным числом требований в очереди) С ограничением на время пребывания в очереди (ограниченным сроком пребывания каждого требования в очереди) С отказами - требования, поступающие в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получают отказ и теряются.

Примером системы с отказами является телефонная станция. Примером системы с отказами является телефонная станция. Если вызываемый абонент занят, то требование на соединение с ним получает отказ и теряется.

По наличию приоритета По наличию приоритета Без приоритета: первым пришел - первым ушел, последним пришел – первым обслужен, случайный отбор С приоритетом: абсолютный приоритет, относительный приоритет, специальные правила приоритета

По количеству каналов По количеству каналов Многоканальные: с однородными каналами, с неоднородными каналами, с параллельно расположенными каналами, с последовательно расположенными каналами. Одноканальные.

Потоки событий Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей, поток заказных писем, поступающих в почтовое отделение и т.п.)..

Поток характеризуется интенсивностью λ – частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени. Поток характеризуется интенсивностью λ – частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени. Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени.

Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха (с постоянной скоростью движения) является регулярным. Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха (с постоянной скоростью движения) является регулярным. Такой поток сравнительно редко встречается в реальных системах, но представляет интерес как предельный случай. Типичным для системы массового обслуживания является случайный поток заявок.

Наиболее разработаны методы решения, в которых входящий поток требований является простейшим (пуассоновским). Наиболее разработаны методы решения, в которых входящий поток требований является простейшим (пуассоновским). Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность поступления за время t k требований задается формулой:

Простейший поток обладает тремя основными свойствами: Простейший поток обладает тремя основными свойствами: ординарности, стационарности отсутствием последействия

Ординарность потока означает практическую невозможность одновременного поступления двух и более требований. Ординарность потока означает практическую невозможность одновременного поступления двух и более требований. Например, достаточно малой является вероятность того, что из группы станков, обслуживаемых бригадой ремонтников, одновременно выйдут из строя сразу несколько станков

Стационарным называется поток, для которого математическое ожидание числа требований, поступающих в систему в единицу времени (λ,), не меняется во времени. Стационарным называется поток, для которого математическое ожидание числа требований, поступающих в систему в единицу времени (λ,), не меняется во времени. Таким образом, вероятность поступления в систему определенного количества требований в течение заданного промежутка времени ∆t зависит от величины промежутка и не зависит от начала его отсчета.

Отсутствие последействия означает, что число требований, поступивших в систему до момента t, не определяет того, сколько требований поступит в систему за промежуток времени от t до t + ∆t. Отсутствие последействия означает, что число требований, поступивших в систему до момента t, не определяет того, сколько требований поступит в систему за промежуток времени от t до t + ∆t. Например, если на ткацком станке в данный момент произошел обрыв нити, и он устранен ткачихой, то это не определяет, произойдет новый обрыв на данном станке в следующий момент или нет, тем более это не влияет на вероятность возникновения обрыва на других станках.

Пример. На автоматическую телефонную станцию поступает простейший поток вызовов с интенсивностью λ=1,2 вызовов в минуту. Найти вероятность того, что за две минуты: а) не придет ни одного вызова; б) придет ровно один вызов; в) придет хотя бы один вызов.

Решение а) Случайная величина X – число вызовов за две минуты – распределена по закону Пуассона с параметром λ =1,2⋅ 2 = 2,4 . Вероятность того, что вызовов не будет (k=0)

б) Вероятность одного вызова (k =1) б) Вероятность одного вызова (k =1)

Важная характеристика СМО — время обслуживания требований в системе. Важная характеристика СМО — время обслуживания требований в системе. Оно является, как правило, случайной величиной и может быть описано законом распределения. Обычно используется экспоненциальный закон распределения времени обслуживания. Вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t, определяется формулой P(t) = 1-e-μt, где μ —величина, обратная среднему времени обслуживания μ = 1/tоб

СМО с отказами В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать: A – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; Q – относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуженных системой (или вероятность того, что пришедшая заявка будет обслужена);

P отк – вероятность отказа – вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной; P отк – вероятность отказа – вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной; k – среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

1.Одноканальная система с отказами.

Пример. В фирму поступает простейший поток заявок на телефонные переговоры с интенсивностью λ = 90 вызовов в час, а средняя продолжительность разговора по телефону = 2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

Решение Интенсивность потока обслуживаний μ=1/tоб=1/2=0,5 в мин=30 в час Q=30/(90+30)=0,25 т.е.,в средем около 25 % поступающих заявок осуществят переговоры по телефоу. Вероятность отказа составит P отк=1− 0,25 = 0,75 Абсолютная пропускная способность A = 90 ⋅0,25 = 22,5 т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

2.Многоканальная система с отказами (задача Эрланга) Эта задача возникла из нужд телефонии и была решена в 1909 г. датским инженером-математиком А.К. Эрлангом. Задача ставится так: имеется n каналов (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ . Поток обслуживаний каждого канала имеет интенсивность μ . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Обозначим λij- интенсивность потока событий, переводящий систему из состояния Si в состояние Sj. Обозначим λij- интенсивность потока событий, переводящий систему из состояния Si в состояние Sj.

Введем параметр α =λ/μ. Введем параметр α =λ/μ. λ — среднее число требований, поступающих за единицу времени, 1/μ — среднее время обслуживания одним каналом одного требования, тогда α =λ/μ, — среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступающие требования. α/n < 1 означает, что число обслуживающих каналов больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы обслужить все поступившие требования.

Важнейшие характеристики

5. Относительная пропускная способность – вероятность того, что заявка будет обслужена 5. Относительная пропускная способность – вероятность того, что заявка будет обслужена

Примеры 1. В условиях предыдущего примера определить оптимальное число телефонных номеров в фирме, если условием оптимальности считать удовлетворение из каждых 100 заявок на переговоры в среднем не менее 90 заявок.

Решение μ=1/tоб=1/2=0,5 в мин=30 в час Интенсивность нагрузки канала α=90/30=3 т.е. за время среднего (по продолжительности телефонного разговора= 2 мин) поступает в среднем 3 заявки на переговоры.

Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) n = 2, 3, 4,... и определим для получаемой n -канальной СМО характеристики обслуживания. Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) n = 2, 3, 4,... и определим для получаемой n -канальной СМО характеристики обслуживания.

По условию оптимальности Q ≥ 0,9, следовательно, в фирме необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае Q = 0,90 ). По условию оптимальности Q ≥ 0,9, следовательно, в фирме необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае Q = 0,90 ). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок ( A = 80,1), а среднее число занятых телефонных номеров (каналов) k =A μ = 80,1 30 ≈ 2,67 .

Содержание каждого канала в единицу времени обходится в какую-то сумму. Вместе с тем, каждая обслуженная заявка приносит какой-то доход. Содержание каждого канала в единицу времени обходится в какую-то сумму. Вместе с тем, каждая обслуженная заявка приносит какой-то доход. Умножая этот доход на среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, мы получим средний доход от СМО в единицу времени.

Естественно, при увеличении числа каналов этот доход растет, но растут и расходы, связанные с содержанием каналов. Естественно, при увеличении числа каналов этот доход растет, но растут и расходы, связанные с содержанием каналов. Что перевесит – увеличение доходов или расходов? Это зависит от условий операции, т.е. от «платы за обслуживание заявки» и от стоимости содержания канала. Зная эти величины, можно найти оптимальное число каналов, наиболее экономически эффективное

Пример 2 Пусть филиал фирмы по ремонту радиоаппаратуры имеет n = 5 мастеров. В среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт λ =10 радиоаппаратов. Общее число радиоаппаратов, находящихся в эксплуатации у населения, очень велико, и они независимо друг от друга в различное время выходят из строя. Поэтому есть основания полагать, что поток заявок на ремонт аппаратуры является случайным пуассоновским.

Каждый аппарат в зависимости от характера неисправности требует различного случайного времени на ремонт. Статистика показала, что время ремонта подчиняется экспоненциальному закону; Каждый аппарат в зависимости от характера неисправности требует различного случайного времени на ремонт. Статистика показала, что время ремонта подчиняется экспоненциальному закону; В среднем в течение рабочего дня каждый из мастеров успевает отремонтировать μ = 2,5 радиоаппарата. Требуется оценить работу филиала фирмы по ремонту радиоаппаратуры, рассчитав ряд основных характеристик данной СМО. За единицу времени принимаем 1 рабочий день (7 часов).

1. Определим параметр 1. Определим параметр α=λ/μ= 10/2,5 = 4,так как α < n, то очередь не может расти безгранично. 2. Вероятность того, что все мастера свободны от ремонта аппаратуры P =1/[1+4+42/2!+ 43/3!+ 44/4!+ 45/5!]= 0,008. 3. Вероятность того, что все мастера заняты ремонтом

4. Среднее время обслуживания (ремонта) одного аппарата 4. Среднее время обслуживания (ремонта) одного аппарата tоб= 1/µ = 7/2,5 = 2,8 ч/аппарат (при условии семичасового рабочего дня). 5. В среднем время ожидания начала ремонта равно

Среднее число мастеров занятых обслуживанием Среднее число мастеров занятых обслуживанием

СМО с ожиданием (с очередью) Одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди Часто встречаются одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий пациентов; кассир, выдающий зарплату и т.д.). Определим основные характеристики одноканальной СМО с ожиданием:

Рассмотрим одноканальную СМО, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ Рассмотрим одноканальную СМО, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ . Предположим, что поток обслуживаний также простейший с интенсивностью μ . Это означает, что непрерывно занятый канал обслуживает в среднем μ заявок в единицу времени. Заявка, поступившая в СМО в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Интенсивность нагрузки канала: α = λ/ μ

Далее предполагаем, что в системе имеется ограничение на длину очереди, предполагаем, что в очереди могут находиться максимум m (m≥1) заявок. Далее предполагаем, что в системе имеется ограничение на длину очереди, предполагаем, что в очереди могут находиться максимум m (m≥1) заявок. Поэтому заявка, пришедшая на вход СМО, в момент, когда в очереди уже стоят m заявок, получает отказ и покидает систему необслуженной.

Основные характеристики одноканальной СМО с ожиданием

Относительная пропускная способность, или доля обслуживаемых заявок, совпадает со средней долей не получивших отказ заявок, поскольку заявка попавшая в очередь будет обслужена. Относительная пропускная способность, или доля обслуживаемых заявок, совпадает со средней долей не получивших отказ заявок, поскольку заявка попавшая в очередь будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность системы A=λQ Абсолютная пропускная способность системы A=λQ Среднее число заявок в очереди Lоч определяется как математическое ожидание случайной величины – числа заявок, стоящих в очереди:

Важной характеристикой СМО с ожиданием является среднее время ожидания заявки в очереди T оч . которая называется формулой Литтла Важной характеристикой СМО с ожиданием является среднее время ожидания заявки в очереди T оч . которая называется формулой Литтла

Пример На АЗС имеется одна колонка. Площадка, на которой машины ожидают заправку, может вместить не более трех машин одновременно, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает на соседнюю АЗС. В среднем машины прибывают на станцию каждые 2 мин. Процесс заправки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин. Определить основные характеристики системы.

Решение. Математической моделью данной АЗС является одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди (m = 3). Решение. Математической моделью данной АЗС является одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди (m = 3). Предполагается, что поток машин, подъезжающих к АЗС для заправки, и поток обслуживаний – простейшие Поскольку машины прибывают в среднем через каждые 2 мин, то интенсивность входящего потока равна λ =1 /2 = 0,5 (машин в минуту)

Среднее время обслуживания одной машины T об = 2,5 мин, следовательно, интенсивность потока обслуживаний μ =1 /2,5 = 0,4 (машины в минуту). Среднее время обслуживания одной машины T об = 2,5 мин, следовательно, интенсивность потока обслуживаний μ =1 /2,5 = 0,4 (машины в минуту). Определяем интенсивность нагрузки канала: α = λ/ μ = 0,5/ 0,4 =1,25 Вычисляем вероятность отказа

Абсолютная пропускная способ ность A = λQ ≈ 0,5⋅ 0,703 ≈ 0,352 Относительная пропускная способность

Среднее число машин, ожидающих в очереди на заправку Среднее число машин, ожидающих в очереди на заправку

Таким образом, из анализа работы СМО следует, что из каждых 100 подъезжающих машин 30 получают отказ (P отк ≈ 29,7%), т.е. обслуживаются 2/3 заявок. Таким образом, из анализа работы СМО следует, что из каждых 100 подъезжающих машин 30 получают отказ (P отк ≈ 29,7%), т.е. обслуживаются 2/3 заявок. Поэтому необходимо либо сократить время обслуживания одной машины (увеличить интенсивность потока обслуживаний), либо увеличить число колонок, либо увеличить площадку для ожидания.

Оптимальное решение принимается с учетом затрат, связанных соответственно с увеличением штата обслуживающего персонала (увеличение производительности канала), Оптимальное решение принимается с учетом затрат, связанных соответственно с увеличением штата обслуживающего персонала (увеличение производительности канала), с расширением площадки для ожидания или приобретением дополнительной колонки, и потерь, связанных с потерей заявок на обслуживание.

Многоканальная система с ограниченной очередью

Относительная пропускная способность Относительная пропускная способность Q=1-Pотк Абсолютная пропускная способность А=Q*λ

ПРИМЕР ПРИМЕР Междугородный переговорный пункт имеет четыре телефонных аппарата. В среднем за сутки поступает 320 заявок на переговоры. Средняя длительность переговоров составляет 5 мин. Длина очереди не должна превышать 6 абонентов. Потоки заявок и обслуживаний простейшие. Определить характеристики обслуживания переговорного пункта в стационарном режиме (вероятность простоя каналов, вероятность отказа, среднее число занятых каналов, абсолютную пропускную способность, относительную пропускную способность, среднее время заявки под обслуживанием).

РЕШЕНИЕ. Имеем систему массового обслуживания (СМО) с четырьмя каналами (четыре аппарата), с ожиданием и ограниченной очередью (6 мест). Получаем параметры n = 4 (число каналов), m = 6 (число мест в очереди), Λ=320/60*24=2/9 (интенсивность входящего потока, заявок в минуту), μ =1/5 (интенсивность потока обслуживания, одна заявка за 5 минут). α=2/9:1/5=1,1 Определим характеристики работы данной СМО в предельном режиме

Вероятность простоя каналов

Вероятность отказа в обслуживании .

Относительная пропускная способность (вероятность обслуживания) Относительная пропускная способность (вероятность обслуживания) Q=1-0,000009=0,99999 Абсолютная пропускная способность А=0,99999*2/9=0,22222 Среднее число занятых каналов N=A/μ=0,2222*5=1,1111 Среднее время заявки под обслуживанием T=N/λ=1,1111/(2/9)=4,99995 минут

Одноканальная СМО с неограниченным ожиданием Если λ > μ (α >1), т.е. среднее число заявок, поступивших в систему за единицу времени, больше среднего числа обслуживаемых заявок за то же время при непрерывно работающем канале, то очевидно, что очередь неограниченно растет. В этом случае предельный режим не устанавливается и предельных вероятностей состояний не существует (они равны нулю).

В случае λ = μ (α =1) при условии, что входящий поток заявок и поток обслуживаний регулярные (заявки поступают через равные интервалы времени, и время обслуживания одной заявки является постоянным, равным интервалу времени между поступлениями заявок), очереди не будет и канал будет обслуживать заявки непрерывно. В случае λ = μ (α =1) при условии, что входящий поток заявок и поток обслуживаний регулярные (заявки поступают через равные интервалы времени, и время обслуживания одной заявки является постоянным, равным интервалу времени между поступлениями заявок), очереди не будет и канал будет обслуживать заявки непрерывно. Но если входящий поток или поток обслуживаний становится случайным, очередь начинает расти до бесконечности.

Поэтому далее при рассмотрении указанных систем будем предполагать, что λ < μ ,т.е. α <1. Поэтому далее при рассмотрении указанных систем будем предполагать, что λ < μ ,т.е. α <1. При этом условии с течением времени устанавливается предельный режим, и предельные вероятности состояний существуют.

При отсутствии ограничений на очередь каждая заявка, поступившая в СМО, будет обслужена. Поэтому вероятность отказа равна нулю Pотк=0 При отсутствии ограничений на очередь каждая заявка, поступившая в СМО, будет обслужена. Поэтому вероятность отказа равна нулю Pотк=0 Следовательно, вероятность того, что поступившая заявка будет принята в систему,так же как и относительная пропускная способность равна единице Q =1-Pотк=1

Тогда для абсолютной пропускной способности A (и интенсивности выходящего потока) будем иметь: Тогда для абсолютной пропускной способности A (и интенсивности выходящего потока) будем иметь: A = λQ = λ , т.е. интенсивности входящего и выходящего потоков совпадают Среднее число заявок в очереди

Среднее время ожидания заявки в очереди по формуле Литтла равно Среднее время ожидания заявки в очереди по формуле Литтла равно

Пример. В парикмахерской работает только один мужской мастер. Среднее время стрижки одного клиента составляет 20 мин. Клиенты в среднем приходят каждые 25 мин. Пример. В парикмахерской работает только один мужской мастер. Среднее время стрижки одного клиента составляет 20 мин. Клиенты в среднем приходят каждые 25 мин. Средняя стоимость стрижки составляет 60 руб. Как в первую смену с 9 до 15, так и во вторую – с 15 до 21, работают по одному мастеру. . Определить ежедневный «чистый» доход каждого мастера, если он получает только 30% от выручки (остальное уходит на оплату аренды, налоги, и проч.).

Решение. Интенсивность входящего потока λ = 2,4 клиента/ч, Решение. Интенсивность входящего потока λ = 2,4 клиента/ч, интенсивность потока обслуживаний μ=1/ 20мин=1/(1/3) часа=3 клиента в час интенсивность нагрузки (канала) мастера α=λ/μ=0,8 долю времени (вероятность) простоя мастера P0=1-α=1-0,8=0,2 вероятность того, что мастер занят работой Pзан=1-P0=1-0,2=0,8

Среднее число клиентов в очереди Среднее число клиентов в очереди

Система работает вполне удовлетворительно. Поскольку α <1, то режим работы системы устойчивый, 20% рабочего времени мастер не занят, Система работает вполне удовлетворительно. Поскольку α <1, то режим работы системы устойчивый, 20% рабочего времени мастер не занят, а остальные 80% времени занят работой, длина очереди 3,2 клиента небольшая, а среднее время пребывания клиента в парикмахерской всего 21,34 мин.

Каждый мастер занимается обслуживанием клиентов в среднем ежедневно в течение Каждый мастер занимается обслуживанием клиентов в среднем ежедневно в течение 0,8(15-9)=4,8 часа=288 мин. За это время он обслужит 288 20 =14,4 клиента, поэтому ежедневная выручка в среднем составит 14,4 ⋅ 60 = 864 руб. Ежедневный «чистый» доход каждого мастера в среднем составляет 864 ⋅0,3 = 259,2 руб.

Многоканальная СМО с неограниченной очередью Предположим, что α/n <1 выполнено и предельные вероятности существуют. 1. Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны

Среднее число заявок в системе Среднее число заявок в системе Lсист =Lоч +α Среднее время заявки в очереди Wоч =1/λ Lоч Среднее время заявки в системе Wсист =1/λ Lсист

Пример Железнодорожная касса с двумя кассирами (очередь одна n=2), λ=0,9 (пассажира в минуту), кассир тратит на обслуживание одного пассажира в среднем 2 минуты. РЕШЕНИЕ μ=1/2=0,5 α=λ/μ=1,8. Т.к. α/2=1,8/2=0,9<1, то финальные (предельные) вероятности существуют.