🗊Презентация Операторы

Оптоэлектронные и квантовые приборы и устройства Лекция 2: В.М. Шандаров Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Операторы В квантовой физике многие физические величины могут квантоваться, т.е. в некоторых случаях они принимают лишь дискретные значения. Для математического описания таких величин не пригодны обычные непрерывные функции, используемые в классической теории. Квантовая теория использует более общие математические методы, основой которых являются операторы.

Операторы Оператор  это математический символ, определяющий совокупность действий, которые надо провести над заданной функцией U для получения некоторой другой функции V. В общем случае будем обозначать оператор символом , изображая его действие на некоторую функцию U в виде произведения . В итоге оператор определяется соотношением:

Операторы

Собственное значение оператора В ряде случаев воздействие оператора на некоторую функцию U(x) эквивалентно умножению этой функции на постоянную L. Эта постоянная и называется собственным значением оператора

Собственное значение оператора В случае линейного дифференциального оператора уравнение является линейным дифференциальным уравнением. Известно, что такое уравнение для заданных граничных условий имеет ненулевые решения лишь при определенных значениях L. Эти постоянные и являются собственными значениями оператора. Дифференциальный оператор, как правило, имеет множество собственных значений и собственных функций. Совокупность всех собственных значений образует спектр, который может быть как сплошным, так и дискретным.

Дискретный спектр собственных значений оператора С примером дискретного спектра встречаемся, решая, например, задачу о движении частицы между двумя отражающими плоскостями (или о модах планарного оптического волновода). Пусть частица движется вдоль оси х между плоскостями х=0 и x=a. Полагаем, что потенциальная энергия U частицы при 0<x<a равна нулю. При х=0 и x=a она становится бесконечной (U ). При этих условиях частица может находиться лишь внутри промежутка между плоскостями, поскольку она не в состоянии преодолеть бесконечно высокий потенциальный барьер. Данные плоскости для частицы являются идеально отражающими. В этом случае говорят, что частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме. Движение частицы описывается уравнением Шредингера в форме:

Дискретный спектр собственных значений оператора

Дискретный спектр собственных значений оператора

Дискретный спектр собственных значений оператора

Гармонический осциллятор

Гармонический осциллятор Здесь x – отклонение частицы от положения равновесия; - упругая сила, возвращающая ее в это положение;  – величина, называемая коэффициентом упругости. Решение уравнения при =const:

Гармонический осциллятор в вещественной форме имеет вид: Видим, что в указанных условиях частица совершает около положения равновесия гармонические колебания с частотой, определяемой только физическими параметрами m и :

Гармонический осциллятор Модель гармонического осциллятора применима к любой системе, совершающей гармонические колебания с малой амплитудой вблизи состояния устойчивого равновесия (атом в молекуле, электрон в атоме, математический маятник и т.д.). Покажем, что энергия осциллятора в силовом поле не может принимать любые значения, она оказывается квантованной.

Гармонический осциллятор Полная энергия осциллятора в силовом поле, как отмечалось, равна: где Потенциальная энергия U связана с действующей на частицу силой F соотношением: В нашем одномерном случае:

Гармонический осциллятор Интегрируя это соотношение, найдем U: Полагая С=0 (константа интегрирования в каждой конкретной задаче определяется начальными условиями), получим: И найдем полную энергию осциллятора

Гармонический осциллятор

Гармонический осциллятор Решение этого уравнения хорошо исследовано. Оно является конечным и однозначным (как отмечалось, волновая функция должна отвечать таким условиям) на интервале при дискретных значениях постоянной W: где n = 0, 1, 2,… – любое целое число.

Гармонический осциллятор Так, энергия гармонического осциллятора, находящегося в поле потенциальных сил, может принимать только дискретные значения и при изменении его состояния изменяется скачком на величину, кратную энергии кванта h. Наименьшая величина энергии гармонического осциллятора: Она называется нулевой энергией гармонического осциллятора.

Гармонический осциллятор Важность полученного результата заключается в том, что любая квантовая система при наличии каких – либо сил, внутренних или внешних, во многих случаях проявляет свойства дискретности ее энергии, т.е. ее энергия квантуется.