🗊Презентация Закон сохранения энергии

Лекция 4. Закон сохранения энергии

Вопросы: Механическая энергия. Работа и кинетическая энергия Понятие силового поля. Консервативные силы Работа в потенциальном поле. Потенциальные энергии упругих деформаций и тяготения Связь между потенциальной энергией и силой Закон сохранения энергии механической системы

Механическая энергия. Работа и кинетическая энергия Понятия энергии и работы широко используются в повседневной жизни. Эти понятия тесно связаны друг с другом. Например, говорят об энергичном или работоспособном человеке. Само слово «энергия» происходит от греческого слова ενεργια – деятель-ность. Известно, что работа совершается за счет запаса энергии и, наоборот, совершая работу, можно увеличить запас энергии в каком-либо объекте (устройстве). Например, совершая работу при заводе механических часов, мы создаем запас энергии в пружине, за счет которого затем идут часы. Энергия является общей количественной мерой движения и взаимодействия всех видов материи.

Механическая энергия. Работа и кинетическая энергия Энергия не исчезает и не возникает из ничего, она может лишь переходить из одной формы (вида) в другую. Это определяет суть Всеобщего закона сохранения и превращения энергии. Понятие энергии связывает воедино все явления природы. В соответствии с различными формами движения материи рассматривают следующие виды энергии: механическую; внутреннюю; электромагнитную; ядерную и др. Механическая энергия бывает двух видов: кинетическая и потенциальная.

Механическая энергия. Работа и кинетическая энергия Кинетическая энергия (или энергия движения) определяется массами и скоростями (импульсами) рассматриваемых тел. Потенциальная энергия (или энергия положения) зависит от взаимного расположения (от конфигурации) взаимодействующих друг с другом тел. Пусть частица массой m под действием переменной силы совершает перемещение по некоторой траектории 1 – 2. Рассмотрим элементарное

Механическая энергия. Работа и кинетическая энергия Элементарная работа δА – величина алгебраи-ческая: в зависимости от угла α она может быть как положительной, так и отрицательной, в частности, δА=0 при α = 90◦, т.е. когда . Проведя интегрирование выражения (1) по пути 1- 2, получим полную работу силы на данном участке: (2) Размерность работы (и энергии) в СИ: [Дж] = [Н][м].

Механическая энергия. Работа и кинетическая энергия Связь работы и кинетической энергии Пусть частица (материальная точка) массы m движется под действием силы (в общем случае - результирующая нескольких сил). Определим элементарную работу этой силы на перемещении с использованием уравнения динамики , т.е. , (3) где скалярное произведение = , а поэтому = mvdv = d (4) Величину - называют кинетической энергией частицы. Часто кинетическую энергию определяют через импульс p = mv как . Таким образом dK = – элементарное приращение кинетической энергии частицы равно элементарной работе.

Механическая энергия. Работа и кинетическая энергия Связь работы и кинетической энергии При конечном перемещении частицы из т. 1 в т. 2: , (5) где . Вывод. Работа результирующей всех сил, действующих на частицу, при ее некотором перемещении, идет на приращение кинетической энергии частицы. Если , то и и Замечание. Часто это называют теоремой о кинетической энергии. При рассмотрении механической системы полную работу А, которую совершают все силы, действующие на все частицы системы, при изменении ее состояния в пространстве, можно представить как: , (6) где - работа всех сил, действующих на i-ую частицу, - приращение кинетической энергии i-ой частицы; или (6) – в виде: А=, где К= - сум-марная кинетическая энергия всей системы.

Механическая энергия. Работа и кинетическая энергия Расчет приращения кинетической энергии тела При рассмотрении плоского движения твердого тела массой m обычно изучают отдельно: 1) поступа-тельное движение его центра масс и составляют уравнение движения m 2) вращательное движение тела вокруг оси, проходящей через центр масс , и записывают уравнение динамики вращения в виде (здесь - момент инерции тела, - суммарный момент всех внешних сил относительно оси , - угловое ускорение тела).

Механическая энергия. Работа и кинетическая энергия Расчет приращения кинетической энергии тела И так, работа всех внешних сил, действующих на твердое тело, равна приращению его кинетической энергии, т.е. , где = . Причем элементарную работу при вращении можно определить как , а с учетом уравнения динамики вращения t, получаем для = или . Таким образом при повороте тела на конечный угол φ работу всех внешних сил можно вычислять как: =. При поступательном движении приращение энергии: =, а в случае F=const имеем = F, где учтено, что = а .

Механическая энергия. Работа и кинетическая энергия Понятие мощности Для характеристики скорости, с которой совершается работа, вводят величину, называемую мощностью. Мощность - это работа, совершаемая силой за единицу времени. Если за промежуток времени dt сила совершает работу , то мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени: /dt = Таким образом, мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения данной силы. Мощность, как и работа, - величина алгебраическая. Зная мощность силы можно найти работу, которую совершает сила за конечный промежуток времени t как . Размерность мощности в СИ: [Вт]=[Дж]/[с].

Понятие силового поля. Консервативные силы Известно, что кроме контактных взаимодействий, возникающих между соприкасающимися телами, наблюдаются также взаимодействия между телами, удаленными друг от друга. Подобные взаимодействия осуществляются посредством физических полей, которые представляют собой особую форму материи. Каждое тело создает в окружающем его пространстве особое состояние, называемое силовым полем. Это поле проявляет себя в действии сил на другие тела (пробные частицы). Также говорят, что частица находится в поле сил, если в каждой точке пространства на частицу действует сила Например, частица может находится в поле сил тяжести, в поле упругих сил, в поле кулоновских сил, в поле сил сопротивления (будучи в потоке жидкости или газа). Замечание. Если силы во всех точках поля одинаковы по модулю и направлению, то такое поле называют однородным. Если поле не изменяется со временем, то его называют стационарным. В частном случае однородного, стационарного поля имеем =

Понятие силового поля. Консервативные силы Работа, которую совершают силы поля при перемещении частицы из т. 1 в т. 2, зависит, вообще говоря, от пути (от траектории) между этими точками. Вместе с тем имеются силовые поля, в которых работа, совершаемая над частицей, не зависит от пути. Классификация сил в механике Силы, работа которых не зависит от пути, по которому двигалась частица, а зависит лишь от начального и конечного положения частицы, называются консервативными. Силы, работа которых зависит от пути, называются неконсервативными. Свойство консервативных сил можно сформулировать иначе: силы поля являются консервативными, если в стационарном случае их работа на любом замкнутом пути равна 0.

Понятие силового поля. Консервативные силы Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами и направленные по прямой, проходящей через центры этих частиц, называются центральными. Например, гравитацион-ные, кулоновские, упругие силы – это центральные силы. Центральную силу, действующую на частицу М со стороны частицы О (силовой центр), можно представить в виде: , (7) где f(r) – функция, зависящая при данном характере взаимодействия только от расстояния r между частицами. Центральные силы являются консерватив-ными.

Работа в потенциальном поле Рассмотрим стационарное поле консервативных сил, в котором перемещается частица из разных точек в фиксированную точку О. Работа сил поля здесь будет некоторой функцией радиуса-вектора точки Р. Обозначив эту функцию как U(), получим: (9) Функцию называют потенциальной энергией частицы в данном силовом поле. Определим работу в поле консервативных сил при перемещении частицы из т. 1 в т. 2; причем, так как работа не зависит от пути, выберем путь, проходящий через т. О. Тогда или с учетом (9) имеем: = (10)

Потенциальные энергии упругих деформаций и тяготения Формула (10) позволяет найти выражение для любого стационарного поля консервативных сил (такие поля еще называют потенциальными). Для этого достаточно вычислить работу и представить ее в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциальная энергия . Работа упругой силы , где κ – коэффициент упругости, - радиус-вектор частицы М относительно т. О (силовой центр). Переместим частицу в поле уругой силы по произвольному пути 1-2 и определим работу .

Потенциальные энергии упругих деформаций и тяготения Работа гравитационной (или кулоновской) силы , где – соответствующая постоянная (для гравитационного взаимодействия , для кулоновского взаимодействия ), - орт радиус-вектора частицы М относительно т. О (силовой центр). Переместим частицу в поле данной силы по произвольному пути 1-2 и определим работу .

Потенциальные энергии упругих деформаций и тяготения Работа однородной силы тяжести , где – орт вертикальной оси z. Переместим частицу в поле данной силы по произвольному пути 1-2 и определим работу .

Связь между потенциальной энергией и силой Определим поле сил по заданной потенциальной энергии , как функцию положения частицы в поле. Известно, что работа консервативных сил по перемещению частицы в стационарном поле из т. 1 в т. 2 есть убыль потенциальной энергии частицы в данном поле, т.е. = , где - приращение энергии частицы. Для элементарной работы: = - dU, где по определению . Таким образом, = ‒dU , а переходя к проекциям = , получаем дифференциальную связь: = ‒dU, или для силы поля: = (11) где - частная производная по направлению (перемещения). Таким образом, проекция силы поля в данной точке на направление перемещения (или пути ds) равна взятой с обратным знаком производной от потенциальной энергии U по данному направлению.

Связь между потенциальной энергией и силой Если с рассматриваемым силовым полем связать систему декартовых координат {x, y, z}, то искомый вектор можно представить: где - орты осей {x, y, z}. А взяв с обратными знаками частные производные функции = по координатам, найдем проекции силы, т.е. , , . Таким образом, получаем для силы выражение: . (12) Величину, стоящую в скобках, называют градиентом скалярной функции U и обозначают кратко: или . Символический оператор-вектор («набла»): в декартовой системе координат. И так можно записать векторную связь: , (13) т.е. сила поля равна со знаком минус градиенту потенциальной энергии частицы в данной точке поля.

Полная механическая энергия частицы Полная механическая энергия частицы Если частица находится в стационарном поле консервативных сил, то на нее действует сила этого поля и кроме того, на нее могут действовать и другие, сторонние силы , не имеющие отношение к данному полю. Сторонние силы могут быть как консервативными, так и неконсервативными. Таким образом, результирующая всех сил, действующих на частицу будет = +, а работа этих сил, как известно, идет на приращение кинетической энергии частицы, т.е. , где - работа сил поля, - работа сторонних сил. Работа сил поля равна убыли потенциальной энергии частицы, т.е. = , а подставив последнее в выражение для , получаем = или (14) Сумма = Е – это полная механическая энергия частицы.

Полная механическая энергия частицы Полная механическая энергия частицы Таким образом, приращение полной механической энергии частицы на некотором пути (1-2) равно алгебраической сумме работ всех сторонних сил, действующих на частицу на том же пути: (15) Отсюда следует закон сохранения механической энергии частицы: если сторонние силы отсутствуют или таковы, что не совершают работы в течение рассматриваемого времени, то полная механическая энергия частицы в стационарном поле консервативных сил остается постоянной за это время, т.е. E= const.

Теперь рассмотрим механическую систему частиц, взаимодействующих между собой, и находящуюся под воздействием внешних сил. Причем внешние силы можно разделить на: 1) силы со стороны внешнего заданного поля , 2) внешние сторонние силы , не относящиеся к данному полю. А внутренние силы взаимодействия частиц подразделяются на: 1) внутренние консервативные силы и 2) внутренние неконсервативные (или диссипативные) силы . Теперь рассмотрим механическую систему частиц, взаимодействующих между собой, и находящуюся под воздействием внешних сил. Причем внешние силы можно разделить на: 1) силы со стороны внешнего заданного поля , 2) внешние сторонние силы , не относящиеся к данному полю. А внутренние силы взаимодействия частиц подразделяются на: 1) внутренние консервативные силы и 2) внутренние неконсервативные (или диссипативные) силы . Как известно, приращение кинетической энергии системы частиц равно работе, которую совершают все силы, действующие на все частицы системы, т.е. + (16) При этом работа внутренних консервативных сил (это центральные силы взаимодействия частиц) равна убыли собственной потенциальной энергии системы, т.е. =, где = (- потенц. энергия взаимодействия i-ой частицы со всеми остальными частицами системы).

Тогда уравнение (16) принимает вид: Тогда уравнение (16) принимает вид: или (17) Введем понятие собственной механической энергии системы , тогда выражение (17) можно записать как: (18) Т.е. приращение собственной механической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех внешних сил и всех внутренних неконсервативных сил. Из (18) следует закон сохранения собственной механической энергии системы: механическая энергия замкнутой системы частиц, в которой нет неконсервативных (диссипативных) сил, сохраняется в процессе движения, т.е. = const. Такую механическую систему принято также называть консервативной системой. Если замкнутая система не консервативна, т.е. в ней есть диссипативные силы, то ее мех. энергия – убывает, так как всегда .

К неконсервативным (иначе диссипативным) силам относят силы трения и силы сопротивления, которые можно представить обобщенной зависимостью , где – положительный коэффициент, зависящий от скорости, - скорость одного тела относительно другого (или среды). Диссипативные силы действуют парно, причем . К неконсервативным (иначе диссипативным) силам относят силы трения и силы сопротивления, которые можно представить обобщенной зависимостью , где – положительный коэффициент, зависящий от скорости, - скорость одного тела относительно другого (или среды). Диссипативные силы действуют парно, причем . Элементарная работа пары диссипативных сил: = , где = - относительная скорость. Т.е. работа произвольной пары диссипативных сил всегда отрицательна, а, следовательно, и суммарная работа всех пар диссипативных сил также отрицательна, ч.т.д.

Если работу всех внешних сил представить как алгебраическую сумму работ внешнего заданного поля сил и внешних сторонних сил: , то в этом случае , т.е. есть убыль внешней потенциальной энергии. Если работу всех внешних сил представить как алгебраическую сумму работ внешнего заданного поля сил и внешних сторонних сил: , то в этом случае , т.е. есть убыль внешней потенциальной энергии. Тогда выражение для можно записать как: + и, подставив последнее выражение в формулу для приращения собственной энергии системы, получаем ++ или (19) Величину = Е – называют полной механической энергией системы частиц, находящейся во внешнем стационарном поле консервативных сил. Таким образом, приращение полной механической энергии системы определяется суммой работ внешних сторонних сил и внутренних диссипативных сил: (20)

Из уравнения (20) следует закон сохранения полной механической энергии системы во внешнем стационарном поле консервативных сил: Из уравнения (20) следует закон сохранения полной механической энергии системы во внешнем стационарном поле консервативных сил: если на систему частиц не действуют внешние сторонние силы и нет внутренних диссипативных сил, то полная механическая энергия системы остается постоянной, т.е. Е = = const