🗊Презентация Цифровая обработка сигналов и изображений

Категория: Технология
Нажмите для полного просмотра!
Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №1Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №2Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №3Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №4Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №5Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №6Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №7Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №8Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №9Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №10Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №11Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №12Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №13Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №14Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №15Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №16Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №17Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №18Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №19Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №20Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №21Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №22Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №23Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №24Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №25Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №26Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №27Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №28Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №29Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №30Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №31Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №32Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №33Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №34Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №35Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №36Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №37Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №38Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №39Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №40Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №41Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №42Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №43Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №44Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №45Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №46Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №47Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №48Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №49Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №50Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №51Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №52Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №53Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №54Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №55Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №56Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №57Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №58Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №59Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №60Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №61Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №62Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №63Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №64Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №65Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №66Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №67Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №68Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №69Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №70Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №71Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №72Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №73Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №74Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №75Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №76Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №77

Содержание

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Цифровая обработка сигналов и изображений. Доклад-сообщение содержит 77 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации


Слайд 1





Цифровая обработка сигналов и изображений (вечерняя форма обучения).
Описание слайда:
Цифровая обработка сигналов и изображений (вечерняя форма обучения).

Слайд 2





Введение
Описание слайда:
Введение

Слайд 3





1. Сигналы в метрическом пространстве
Под сигналом обычно понимают величину, отражающую состояние физической системы. Сигналы рассматриваются как функции, заданные в физических координатах. Примеры: одномерные сигналы, заданные как функции времени,  двумерные сигналы  заданные на плоскости, и тд.
 В дальнейшем мы будем рассматривать в основном сигналы как действительные функции времени.
 Аналоговые сигналы описываются непрерывны-ми и кусочно-непрерывными функциями, причем как сама функция, так и ее аргумент могут прини-мать любые значения в пределах некоторого интервала.
Описание слайда:
1. Сигналы в метрическом пространстве Под сигналом обычно понимают величину, отражающую состояние физической системы. Сигналы рассматриваются как функции, заданные в физических координатах. Примеры: одномерные сигналы, заданные как функции времени, двумерные сигналы заданные на плоскости, и тд. В дальнейшем мы будем рассматривать в основном сигналы как действительные функции времени. Аналоговые сигналы описываются непрерывны-ми и кусочно-непрерывными функциями, причем как сама функция, так и ее аргумент могут прини-мать любые значения в пределах некоторого интервала.

Слайд 4





1. Сигналы в метрическом пространстве
Мы, в основном, будем рассматривать дискретные сигналы, заданные на конечном промежутке времени с равными интервалами времени между отсчетами сигналов.
Понятие «сигнал» применяется в различных смыслах. Так, сигналом называют физический процесс передачи информации во времени и пространстве на некоторым физическом носите-ле – электрическим токе, в электромагнитном поле,  в луче света, звуком и т.д. Примеры: радио-, теле-визионная передача, телефон, светофор, жесты регулировщика движения, матрос-сигнальщик с флажками, крик о помощи, звонок к началу занятий.
Описание слайда:
1. Сигналы в метрическом пространстве Мы, в основном, будем рассматривать дискретные сигналы, заданные на конечном промежутке времени с равными интервалами времени между отсчетами сигналов. Понятие «сигнал» применяется в различных смыслах. Так, сигналом называют физический процесс передачи информации во времени и пространстве на некоторым физическом носите-ле – электрическим токе, в электромагнитном поле, в луче света, звуком и т.д. Примеры: радио-, теле-визионная передача, телефон, светофор, жесты регулировщика движения, матрос-сигнальщик с флажками, крик о помощи, звонок к началу занятий.

Слайд 5





1. Сигналы в метрическом пространстве
Мы, в основном, будем рассматривать дискретные сигналы, заданные на конечном промежутке времени с равными интервалами времени между отсчетами сигналов.
Мы рассматриваем сигнал x(t) как функцию от времени t на конечном промежутке времени                   (в общем случае на бесконечном интервале). Физически значением функции может быть напряжение, сила тока, и пр.
Если рассматривать x(t) как напряжение в цепи, то сила тока i(t) в цепи по закону Ома равна
Описание слайда:
1. Сигналы в метрическом пространстве Мы, в основном, будем рассматривать дискретные сигналы, заданные на конечном промежутке времени с равными интервалами времени между отсчетами сигналов. Мы рассматриваем сигнал x(t) как функцию от времени t на конечном промежутке времени (в общем случае на бесконечном интервале). Физически значением функции может быть напряжение, сила тока, и пр. Если рассматривать x(t) как напряжение в цепи, то сила тока i(t) в цепи по закону Ома равна

Слайд 6





1. Сигналы в метрическом пространстве
Мы, в основном, будем рассматривать дискретные сигналы, заданные на конечном промежутке времени с равными интервалами времени между отсчетами сигналов.
 Тогда мгновенная мощность (энергия) сигнала x(t) в момент t равна
Описание слайда:
1. Сигналы в метрическом пространстве Мы, в основном, будем рассматривать дискретные сигналы, заданные на конечном промежутке времени с равными интервалами времени между отсчетами сигналов. Тогда мгновенная мощность (энергия) сигнала x(t) в момент t равна

Слайд 7


Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №7
Описание слайда:

Слайд 8


Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №8
Описание слайда:

Слайд 9





(Существуют другие определения нормы, неевклидовы).
(Существуют другие определения нормы, неевклидовы).
Расстояние r между векторами определяется как норма их разности:
Описание слайда:
(Существуют другие определения нормы, неевклидовы). (Существуют другие определения нормы, неевклидовы). Расстояние r между векторами определяется как норма их разности:

Слайд 10





Пусть сигнал x(t) задан на интервале         Нормой сигнала x(t) называется вещественное число 
Пусть сигнал x(t) задан на интервале         Нормой сигнала x(t) называется вещественное число 
(при условии, что интеграл существует).
Пример. Найти норму затухающего осциллятора
На интервалах времени  1)          ,2)            , заданы параметры T=2, ω0=2π.
Описание слайда:
Пусть сигнал x(t) задан на интервале Нормой сигнала x(t) называется вещественное число Пусть сигнал x(t) задан на интервале Нормой сигнала x(t) называется вещественное число (при условии, что интеграл существует). Пример. Найти норму затухающего осциллятора На интервалах времени 1) ,2) , заданы параметры T=2, ω0=2π.

Слайд 11





Норма затухающего осциллятора на отрезках.
Норма затухающего осциллятора на отрезках.
Описание слайда:
Норма затухающего осциллятора на отрезках. Норма затухающего осциллятора на отрезках.

Слайд 12





Норма затухающего осциллятора.
Норма затухающего осциллятора.
Соответствующие интегралы
Описание слайда:
Норма затухающего осциллятора. Норма затухающего осциллятора. Соответствующие интегралы

Слайд 13





То есть, на отрезке       	   сигнал практически равен нулю (но конкретный вывод зависит от поставленной задачи!).
То есть, на отрезке       	   сигнал практически равен нулю (но конкретный вывод зависит от поставленной задачи!).
Заметим, что норма сигнала на отрезке  близка к энергии сигнала на этом отрезке (будет рассматриваться далее).
Расстояние (отклонение) между сигналами x(t) и y(t),  заданными на              , измеряется как
Описание слайда:
То есть, на отрезке сигнал практически равен нулю (но конкретный вывод зависит от поставленной задачи!). То есть, на отрезке сигнал практически равен нулю (но конкретный вывод зависит от поставленной задачи!). Заметим, что норма сигнала на отрезке близка к энергии сигнала на этом отрезке (будет рассматриваться далее). Расстояние (отклонение) между сигналами x(t) и y(t), заданными на , измеряется как

Слайд 14





Пример. Найти расстояние между сигналами
Пример. Найти расстояние между сигналами
                       и                    на отрезке            .
Графики:
Описание слайда:
Пример. Найти расстояние между сигналами Пример. Найти расстояние между сигналами и на отрезке . Графики:

Слайд 15





Аналогично нормой дискретного сигнала x(i) называется вещественное число 
Аналогично нормой дискретного сигнала x(i) называется вещественное число 
Расстояние между дискретными сигналами x(i) и y(i)
Описание слайда:
Аналогично нормой дискретного сигнала x(i) называется вещественное число Аналогично нормой дискретного сигнала x(i) называется вещественное число Расстояние между дискретными сигналами x(i) и y(i)

Слайд 16





Наряду с нормой                                                   
Наряду с нормой                                                   
                                                                              (*)
существуют и другие определения нормы, например,
	
Мы будем использовать только норму (*).
Описание слайда:
Наряду с нормой Наряду с нормой (*) существуют и другие определения нормы, например, Мы будем использовать только норму (*).

Слайд 17





Теперь рассмотрим два сигнал x(t) и y(t), заданных на промежутке времени               . 
Теперь рассмотрим два сигнал x(t) и y(t), заданных на промежутке времени               . 
Скалярным произведением сигналов x(t) и y(t) называется определенный интеграл
где s(t) – некоторая весовая функция. (Аналогично векторам можно найти и косинус угла между функциями !). 
В функциональном анализе скалярное произведе-ние функций x(t) и y(t)  определяют в виде интеграла
Описание слайда:
Теперь рассмотрим два сигнал x(t) и y(t), заданных на промежутке времени . Теперь рассмотрим два сигнал x(t) и y(t), заданных на промежутке времени . Скалярным произведением сигналов x(t) и y(t) называется определенный интеграл где s(t) – некоторая весовая функция. (Аналогично векторам можно найти и косинус угла между функциями !). В функциональном анализе скалярное произведе-ние функций x(t) и y(t) определяют в виде интеграла

Слайд 18





Понятно, что рассматриваемый определенный интеграл должен существовать. Весовой функцией s(t) может слу-жить функция с некоторыми специальными свойствами.
Понятно, что рассматриваемый определенный интеграл должен существовать. Весовой функцией s(t) может слу-жить функция с некоторыми специальными свойствами.
В качестве s(t) можно использовать  функцию плотности распределения некоторой непрерывной случайной величины, тогда S(t) - функция распределения этой величины.
В некоторых случаях s(t) =1, тогда S(t) =t, d S(t) =dt, то есть весовая функция в этих случаях просто отсутствует. 
Норма сигнала x(t)  равна корню квадратному из скалярно-го произведения сигнала с самим собой
Описание слайда:
Понятно, что рассматриваемый определенный интеграл должен существовать. Весовой функцией s(t) может слу-жить функция с некоторыми специальными свойствами. Понятно, что рассматриваемый определенный интеграл должен существовать. Весовой функцией s(t) может слу-жить функция с некоторыми специальными свойствами. В качестве s(t) можно использовать функцию плотности распределения некоторой непрерывной случайной величины, тогда S(t) - функция распределения этой величины. В некоторых случаях s(t) =1, тогда S(t) =t, d S(t) =dt, то есть весовая функция в этих случаях просто отсутствует. Норма сигнала x(t) равна корню квадратному из скалярно-го произведения сигнала с самим собой

Слайд 19





Норма комплекснозначного сигнала x(t) – это корень квадратный из скалярного произведения с сопряженным сигналом
Норма комплекснозначного сигнала x(t) – это корень квадратный из скалярного произведения с сопряженным сигналом



Сигналы x(t) и y(t) называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Описание слайда:
Норма комплекснозначного сигнала x(t) – это корень квадратный из скалярного произведения с сопряженным сигналом Норма комплекснозначного сигнала x(t) – это корень квадратный из скалярного произведения с сопряженным сигналом Сигналы x(t) и y(t) называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Слайд 20





Пример. Проверить ортогональность сигналов
Пример. Проверить ортогональность сигналов
с весовой функцией s(t) = 1 на отрезке  
t ϵ [-T/2,T/2] 

T=2π/ω, где m, n – целые числа.
Найдем скалярное произведение           .
Описание слайда:
Пример. Проверить ортогональность сигналов Пример. Проверить ортогональность сигналов с весовой функцией s(t) = 1 на отрезке t ϵ [-T/2,T/2] T=2π/ω, где m, n – целые числа. Найдем скалярное произведение .

Слайд 21





При n ≠ m
При n ≠ m
Описание слайда:
При n ≠ m При n ≠ m

Слайд 22





Сигнал x(t) не обязательно зависит от времени, аргумент t может быть любой природы. Можно обобщить понятие сигнала на многомерный случай. Так  изображение размерности a на b можно задать как сигнал x(u,v), где
Сигнал x(t) не обязательно зависит от времени, аргумент t может быть любой природы. Можно обобщить понятие сигнала на многомерный случай. Так  изображение размерности a на b можно задать как сигнал x(u,v), где
Описание слайда:
Сигнал x(t) не обязательно зависит от времени, аргумент t может быть любой природы. Можно обобщить понятие сигнала на многомерный случай. Так изображение размерности a на b можно задать как сигнал x(u,v), где Сигнал x(t) не обязательно зависит от времени, аргумент t может быть любой природы. Можно обобщить понятие сигнала на многомерный случай. Так изображение размерности a на b можно задать как сигнал x(u,v), где

Слайд 23





Для объяснения и обоснования понятий и результатов теории сигналов необходимо элементарное знание математики. 
Для объяснения и обоснования понятий и результатов теории сигналов необходимо элементарное знание математики. 
Тригонометрические функции.  
В радиоэлектронике в основном используются сигналы, происходящие от колебаний. Периодические колебания хорошо описываются функциями синус и косинус.
Функция sin(t) периодическая, ограниченная, определена для любого значения аргумента t. 
Периодом функции f(t)  называется минимальное неотрицательное число T, такое, что для любого t
Описание слайда:
Для объяснения и обоснования понятий и результатов теории сигналов необходимо элементарное знание математики. Для объяснения и обоснования понятий и результатов теории сигналов необходимо элементарное знание математики. Тригонометрические функции. В радиоэлектронике в основном используются сигналы, происходящие от колебаний. Периодические колебания хорошо описываются функциями синус и косинус. Функция sin(t) периодическая, ограниченная, определена для любого значения аргумента t. Периодом функции f(t) называется минимальное неотрицательное число T, такое, что для любого t

Слайд 24





Функция sin(t)  имеет период T = 2,  если аргумент t  - это время, выраженное в секундах, то через 2 секунд функция начнет повторять свои значение, начнется новое колебание. Тогда частота колебаний функции sin(t)  равна 
Функция sin(t)  имеет период T = 2,  если аргумент t  - это время, выраженное в секундах, то через 2 секунд функция начнет повторять свои значение, начнется новое колебание. Тогда частота колебаний функции sin(t)  равна
Описание слайда:
Функция sin(t) имеет период T = 2, если аргумент t - это время, выраженное в секундах, то через 2 секунд функция начнет повторять свои значение, начнется новое колебание. Тогда частота колебаний функции sin(t) равна Функция sin(t) имеет период T = 2, если аргумент t - это время, выраженное в секундах, то через 2 секунд функция начнет повторять свои значение, начнется новое колебание. Тогда частота колебаний функции sin(t) равна

Слайд 25





В математическом анализе выводится формула Эйлера, выражающая функции sin(t)  и cos(t)  через комплексные числа.
В математическом анализе выводится формула Эйлера, выражающая функции sin(t)  и cos(t)  через комплексные числа.
Формула Эйлера
Описание слайда:
В математическом анализе выводится формула Эйлера, выражающая функции sin(t) и cos(t) через комплексные числа. В математическом анализе выводится формула Эйлера, выражающая функции sin(t) и cos(t) через комплексные числа. Формула Эйлера

Слайд 26





В дальнейшем нам понадобится выражение для суммы 
В дальнейшем нам понадобится выражение для суммы
Описание слайда:
В дальнейшем нам понадобится выражение для суммы В дальнейшем нам понадобится выражение для суммы

Слайд 27





Понятие  спектра сигнала.  
Понятие  спектра сигнала.  
Электрический сигнал sin(t)  для передачи по проводам можно получить, равномерно вращая металлическую рамку в магнитном поле. При этом на концах рамки бу-дет наблюдаться периодический электрический сигнал.  Частота этого сигнала равна 1 (радиан в секунду) – это уг-ловая скорость вращения рамки. Если параллельно сое-динить две вращающиеся рамки, то выходной сигнал бу-дет получен смешиванием частот первого и второго сиг-нала.
Разумно предположить, что любой сигнал с некоторой погрешностью можно разложить в сумму функций sin(.) и cos(.) с некоторыми аргументами и амплитудами.
Описание слайда:
Понятие спектра сигнала. Понятие спектра сигнала. Электрический сигнал sin(t) для передачи по проводам можно получить, равномерно вращая металлическую рамку в магнитном поле. При этом на концах рамки бу-дет наблюдаться периодический электрический сигнал. Частота этого сигнала равна 1 (радиан в секунду) – это уг-ловая скорость вращения рамки. Если параллельно сое-динить две вращающиеся рамки, то выходной сигнал бу-дет получен смешиванием частот первого и второго сиг-нала. Разумно предположить, что любой сигнал с некоторой погрешностью можно разложить в сумму функций sin(.) и cos(.) с некоторыми аргументами и амплитудами.

Слайд 28





Генерация электрических сигналов cos(t) и sin(t)  в магнитном поле. В зависимости от скорости вращения рамки изменяется период и соответственно частота сигнала.
Генерация электрических сигналов cos(t) и sin(t)  в магнитном поле. В зависимости от скорости вращения рамки изменяется период и соответственно частота сигнала.
Описание слайда:
Генерация электрических сигналов cos(t) и sin(t) в магнитном поле. В зависимости от скорости вращения рамки изменяется период и соответственно частота сигнала. Генерация электрических сигналов cos(t) и sin(t) в магнитном поле. В зависимости от скорости вращения рамки изменяется период и соответственно частота сигнала.

Слайд 29


Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №29
Описание слайда:

Слайд 30





Понятие  спектра сигнала.  
Понятие  спектра сигнала.  
Электрический сигнал sin(t)  для передачи по проводам можно получить, равномерно вращая металлическую рамку в магнитном поле. При этом на концах рамки будет наблюдаться периодический электрический сигнал.  Частота этого сигнала равна 1 (радиан в секунду) – это угловая скорость вращения рамки. Если параллельно соединить две вращающиеся рамки, то выходной сигнал будет получен смешиванием частот первого и второго сигнала.
Описание слайда:
Понятие спектра сигнала. Понятие спектра сигнала. Электрический сигнал sin(t) для передачи по проводам можно получить, равномерно вращая металлическую рамку в магнитном поле. При этом на концах рамки будет наблюдаться периодический электрический сигнал. Частота этого сигнала равна 1 (радиан в секунду) – это угловая скорость вращения рамки. Если параллельно соединить две вращающиеся рамки, то выходной сигнал будет получен смешиванием частот первого и второго сигнала.

Слайд 31





 Разумно предположить, что любой сигнал с некоторой погрешностью можно разложить в сумму функций sin(.) и cos(.) с определенными аргументами и амплитудами 
 Разумно предположить, что любой сигнал с некоторой погрешностью можно разложить в сумму функций sin(.) и cos(.) с определенными аргументами и амплитудами 
(то есть коэффициентами перед этими функциями).
Описание слайда:
Разумно предположить, что любой сигнал с некоторой погрешностью можно разложить в сумму функций sin(.) и cos(.) с определенными аргументами и амплитудами Разумно предположить, что любой сигнал с некоторой погрешностью можно разложить в сумму функций sin(.) и cos(.) с определенными аргументами и амплитудами (то есть коэффициентами перед этими функциями).

Слайд 32





Ортогональность функций. Система линейно независимых функций {f0(t), f1(t), ..., fk(t), ...}, заданных на некотором отрезке [a, b] называется ортогональной системой функций, если все они попарно ортогональны на этом отрезке.
Ортогональность функций. Система линейно независимых функций {f0(t), f1(t), ..., fk(t), ...}, заданных на некотором отрезке [a, b] называется ортогональной системой функций, если все они попарно ортогональны на этом отрезке.
Если все функции системы имеют норму 1, то система называется ортонормированной.
Пример ортогональной системы функций : 
функции cos (kωt), k=0,1,... ортогональны на отрезке [-π/ω, π/ω], но система не ортонормирована.
Описание слайда:
Ортогональность функций. Система линейно независимых функций {f0(t), f1(t), ..., fk(t), ...}, заданных на некотором отрезке [a, b] называется ортогональной системой функций, если все они попарно ортогональны на этом отрезке. Ортогональность функций. Система линейно независимых функций {f0(t), f1(t), ..., fk(t), ...}, заданных на некотором отрезке [a, b] называется ортогональной системой функций, если все они попарно ортогональны на этом отрезке. Если все функции системы имеют норму 1, то система называется ортонормированной. Пример ортогональной системы функций : функции cos (kωt), k=0,1,... ортогональны на отрезке [-π/ω, π/ω], но система не ортонормирована.

Слайд 33





Функции Хаара. В 1909 г Альфред Хаар предложил систему кусочно-постоянных функций, которая стала широко применяться с 80-х годов прошлого века для построения вейвлетов – интегральных преобразований, учитывающих временнЫе интервалы передачи сигнала.
Функции Хаара. В 1909 г Альфред Хаар предложил систему кусочно-постоянных функций, которая стала широко применяться с 80-х годов прошлого века для построения вейвлетов – интегральных преобразований, учитывающих временнЫе интервалы передачи сигнала.
Для построения ортогональной системы Хаара вначале введем понятие диадических интервалов.
Для любой пары неотрицательных целых чисел j, k определим интервал I j,k
Описание слайда:
Функции Хаара. В 1909 г Альфред Хаар предложил систему кусочно-постоянных функций, которая стала широко применяться с 80-х годов прошлого века для построения вейвлетов – интегральных преобразований, учитывающих временнЫе интервалы передачи сигнала. Функции Хаара. В 1909 г Альфред Хаар предложил систему кусочно-постоянных функций, которая стала широко применяться с 80-х годов прошлого века для построения вейвлетов – интегральных преобразований, учитывающих временнЫе интервалы передачи сигнала. Для построения ортогональной системы Хаара вначале введем понятие диадических интервалов. Для любой пары неотрицательных целых чисел j, k определим интервал I j,k

Слайд 34


Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №34
Описание слайда:

Слайд 35





Семейство двоичных интервалов имеет важные для дальнейших построений свойства.
Семейство двоичных интервалов имеет важные для дальнейших построений свойства.
Взаимное положение интервалов. Пусть j0, k0, j1, k1 – неотрицательные целые. Если                       , тогда справедливо одно и только одно из соотношений:
Описание слайда:
Семейство двоичных интервалов имеет важные для дальнейших построений свойства. Семейство двоичных интервалов имеет важные для дальнейших построений свойства. Взаимное положение интервалов. Пусть j0, k0, j1, k1 – неотрицательные целые. Если , тогда справедливо одно и только одно из соотношений:

Слайд 36





Если интервал Ij+1, k0 входит в интервал Ij, k ,  то либо     k0=2k  (левая половина интервал Ij, k), либо k0=2k +1 (правая половина).
Если интервал Ij+1, k0 входит в интервал Ij, k ,  то либо     k0=2k  (левая половина интервал Ij, k), либо k0=2k +1 (правая половина).
Для операций на двоичных интервалах введем оператор растяжения Da и оператор переноса Tb
Описание слайда:
Если интервал Ij+1, k0 входит в интервал Ij, k , то либо k0=2k (левая половина интервал Ij, k), либо k0=2k +1 (правая половина). Если интервал Ij+1, k0 входит в интервал Ij, k , то либо k0=2k (левая половина интервал Ij, k), либо k0=2k +1 (правая половина). Для операций на двоичных интервалах введем оператор растяжения Da и оператор переноса Tb

Слайд 37





Если интервал Ij+1, k0 входит в интервал Ij, k ,  то либо     k0=2k  (левая половина интервал Ij, k), либо k0=2k +1 (правая половина).
Если интервал Ij+1, k0 входит в интервал Ij, k ,  то либо     k0=2k  (левая половина интервал Ij, k), либо k0=2k +1 (правая половина).
Для операций на двоичных интервалах введем оператор растяжения Da и оператор переноса Tb
Описание слайда:
Если интервал Ij+1, k0 входит в интервал Ij, k , то либо k0=2k (левая половина интервал Ij, k), либо k0=2k +1 (правая половина). Если интервал Ij+1, k0 входит в интервал Ij, k , то либо k0=2k (левая половина интервал Ij, k), либо k0=2k +1 (правая половина). Для операций на двоичных интервалах введем оператор растяжения Da и оператор переноса Tb

Слайд 38





Теперь определим вспомогательную функцию
Теперь определим вспомогательную функцию
Описание слайда:
Теперь определим вспомогательную функцию Теперь определим вспомогательную функцию

Слайд 39





Функции Хаара, которые являются целью построения, получаются делением интервала-носителя функций pj,k() на две равные части, левую и правую, на левом подинтервале функция Хаара равна +1, на правом -1.
Функции Хаара, которые являются целью построения, получаются делением интервала-носителя функций pj,k() на две равные части, левую и правую, на левом подинтервале функция Хаара равна +1, на правом -1.
Описание слайда:
Функции Хаара, которые являются целью построения, получаются делением интервала-носителя функций pj,k() на две равные части, левую и правую, на левом подинтервале функция Хаара равна +1, на правом -1. Функции Хаара, которые являются целью построения, получаются делением интервала-носителя функций pj,k() на две равные части, левую и правую, на левом подинтервале функция Хаара равна +1, на правом -1.

Слайд 40





Множество функций Хаара {h(t), hj,k() }, где j, k – пробе-гают все неотрицательные целые числа, называется ор-тогональной системой Хаара. Покажем, что функции, входящие в систему, попарно ортогональны. 
Множество функций Хаара {h(t), hj,k() }, где j, k – пробе-гают все неотрицательные целые числа, называется ор-тогональной системой Хаара. Покажем, что функции, входящие в систему, попарно ортогональны. 
Очевидно, что hj,k0(t)  и hj,k1(t) при различных k0 и k1 имеют непересекающиеся носители, поэтому их произ-ведение равно нулю и они ортогональны.
Если функции Хаара имеют разные индексы j, то поло-жим для определенности j0>j1. Возможны 3 случая Взаимномного расположения интервалов (слайд 32).
Случай                                      тогда носители функций не пересекаются и произведение равно нулю (то есть функ-ции ортогональны).
Описание слайда:
Множество функций Хаара {h(t), hj,k() }, где j, k – пробе-гают все неотрицательные целые числа, называется ор-тогональной системой Хаара. Покажем, что функции, входящие в систему, попарно ортогональны. Множество функций Хаара {h(t), hj,k() }, где j, k – пробе-гают все неотрицательные целые числа, называется ор-тогональной системой Хаара. Покажем, что функции, входящие в систему, попарно ортогональны. Очевидно, что hj,k0(t) и hj,k1(t) при различных k0 и k1 имеют непересекающиеся носители, поэтому их произ-ведение равно нулю и они ортогональны. Если функции Хаара имеют разные индексы j, то поло-жим для определенности j0>j1. Возможны 3 случая Взаимномного расположения интервалов (слайд 32). Случай тогда носители функций не пересекаются и произведение равно нулю (то есть функ-ции ортогональны).

Слайд 41





Случаи b)  и c)  - это когда один носитель входит в левую или правую половину другого, но и в той и в другой половине функция постоянна, то есть произведение сводится к интегралу на меньшем носителе, а он равен нулю (то есть и в этом случае функции ортогональны).
Случаи b)  и c)  - это когда один носитель входит в левую или правую половину другого, но и в той и в другой половине функция постоянна, то есть произведение сводится к интегралу на меньшем носителе, а он равен нулю (то есть и в этом случае функции ортогональны).
Таким образом, показано, что функции Хаара попарно ортогональны.
Функции Хаара широко применяются в приложениях, в частности, на основе этих функций построены вейвлеты Хаара.
Описание слайда:
Случаи b) и c) - это когда один носитель входит в левую или правую половину другого, но и в той и в другой половине функция постоянна, то есть произведение сводится к интегралу на меньшем носителе, а он равен нулю (то есть и в этом случае функции ортогональны). Случаи b) и c) - это когда один носитель входит в левую или правую половину другого, но и в той и в другой половине функция постоянна, то есть произведение сводится к интегралу на меньшем носителе, а он равен нулю (то есть и в этом случае функции ортогональны). Таким образом, показано, что функции Хаара попарно ортогональны. Функции Хаара широко применяются в приложениях, в частности, на основе этих функций построены вейвлеты Хаара.

Слайд 42





Ортогональное разложение. Одной из основных задач для ортогональных функций является задача разложения заданной функции в ряд по этому ортогональному базису. Такое разложение называется ортогональным разложением. 
Ортогональное разложение. Одной из основных задач для ортогональных функций является задача разложения заданной функции в ряд по этому ортогональному базису. Такое разложение называется ортогональным разложением. 
Пусть {P0(t), P1(t), … } – ортогональный базис в некото-ром пространстве функций.
Задача состоит в том, чтобы найти коэффициенты разложения функции y(t) в ряд
Описание слайда:
Ортогональное разложение. Одной из основных задач для ортогональных функций является задача разложения заданной функции в ряд по этому ортогональному базису. Такое разложение называется ортогональным разложением. Ортогональное разложение. Одной из основных задач для ортогональных функций является задача разложения заданной функции в ряд по этому ортогональному базису. Такое разложение называется ортогональным разложением. Пусть {P0(t), P1(t), … } – ортогональный базис в некото-ром пространстве функций. Задача состоит в том, чтобы найти коэффициенты разложения функции y(t) в ряд

Слайд 43





Для того, чтобы найти Ak0 для конкретного k0, умножим обе части равенства на Pk0(t) и на s(t)  и на интервале ортогональности [a, b] проинтегрируем по t.
Для того, чтобы найти Ak0 для конкретного k0, умножим обе части равенства на Pk0(t) и на s(t)  и на интервале ортогональности [a, b] проинтегрируем по t.
Описание слайда:
Для того, чтобы найти Ak0 для конкретного k0, умножим обе части равенства на Pk0(t) и на s(t) и на интервале ортогональности [a, b] проинтегрируем по t. Для того, чтобы найти Ak0 для конкретного k0, умножим обе части равенства на Pk0(t) и на s(t) и на интервале ортогональности [a, b] проинтегрируем по t.

Слайд 44





Ввиду ортогональности базисных функций Pk(t)  все интегралы в правой части, кроме слагаемого с индексом k0, обращаются в нули. Получаем:
Ввиду ортогональности базисных функций Pk(t)  все интегралы в правой части, кроме слагаемого с индексом k0, обращаются в нули. Получаем:
Описание слайда:
Ввиду ортогональности базисных функций Pk(t) все интегралы в правой части, кроме слагаемого с индексом k0, обращаются в нули. Получаем: Ввиду ортогональности базисных функций Pk(t) все интегралы в правой части, кроме слагаемого с индексом k0, обращаются в нули. Получаем:

Слайд 45





Записывая для простоты результат с индексом k, получаем формулу
Записывая для простоты результат с индексом k, получаем формулу
Так получаются и формулы разложения в ряд Фурье по базисным функциям sin(·) и cos(·) , и разложение по базисам Уолша и Хаара. 
 Мы не рассматриваем громоздкие вопросы о сходимос-ти функциональных рядов и об их абсолютной сходимос-ти. Эти важные вопросы рассматриваются в высшей мате-матике, однако многие признаки сходимости основаны на сходимости геометрической прогрессии и не представляет большого труда досконально разобраться в них.
Описание слайда:
Записывая для простоты результат с индексом k, получаем формулу Записывая для простоты результат с индексом k, получаем формулу Так получаются и формулы разложения в ряд Фурье по базисным функциям sin(·) и cos(·) , и разложение по базисам Уолша и Хаара. Мы не рассматриваем громоздкие вопросы о сходимос-ти функциональных рядов и об их абсолютной сходимос-ти. Эти важные вопросы рассматриваются в высшей мате-матике, однако многие признаки сходимости основаны на сходимости геометрической прогрессии и не представляет большого труда досконально разобраться в них.

Слайд 46





Исходная составляющая один период на кольце (время, за которое тепло проходит полный круг), была названа главной гармоникой, а составляющие с меньшими  периодами — соответственно второй, третьей и т.д. гармоникой. Так был построен ряд Фурье.
Исходная составляющая один период на кольце (время, за которое тепло проходит полный круг), была названа главной гармоникой, а составляющие с меньшими  периодами — соответственно второй, третьей и т.д. гармоникой. Так был построен ряд Фурье.
Фурье свёл функцию распределения тепла, трудно поддающуюся математическому описанию, к удобным для анализа суммам синусов и косинусов, оказалось, что эти суммы очень точно описывают распределение тепла в твердом теле.
Описание слайда:
Исходная составляющая один период на кольце (время, за которое тепло проходит полный круг), была названа главной гармоникой, а составляющие с меньшими периодами — соответственно второй, третьей и т.д. гармоникой. Так был построен ряд Фурье. Исходная составляющая один период на кольце (время, за которое тепло проходит полный круг), была названа главной гармоникой, а составляющие с меньшими периодами — соответственно второй, третьей и т.д. гармоникой. Так был построен ряд Фурье. Фурье свёл функцию распределения тепла, трудно поддающуюся математическому описанию, к удобным для анализа суммам синусов и косинусов, оказалось, что эти суммы очень точно описывают распределение тепла в твердом теле.

Слайд 47





2. Ортогональные функции
В основе ряда Фурье лежат тригонометрические ортогональные функции. 
Это базисные функции ряда Фурье. Главная гармоника имеет период T, соответственно ω = 2π/T – частота (угловая скорость). Весовая функция s(t) = 1.
Ортогональность базисных функций разложения означает, что
Описание слайда:
2. Ортогональные функции В основе ряда Фурье лежат тригонометрические ортогональные функции. Это базисные функции ряда Фурье. Главная гармоника имеет период T, соответственно ω = 2π/T – частота (угловая скорость). Весовая функция s(t) = 1. Ортогональность базисных функций разложения означает, что

Слайд 48





 2. Ортогональные функции
Проверим ортогональность сигналов
с весовой функцией s(t) = 1 на отрезке  t € [-T/2,+T/2] 
T=2π/ω, где m, n – целые числа.
Найдем скалярное произведение
Описание слайда:
2. Ортогональные функции Проверим ортогональность сигналов с весовой функцией s(t) = 1 на отрезке t € [-T/2,+T/2] T=2π/ω, где m, n – целые числа. Найдем скалярное произведение

Слайд 49





 2. Ортогональные функции
Если m ≠ n (при интегрировании нужно будет  делить на m - n), то
Описание слайда:
2. Ортогональные функции Если m ≠ n (при интегрировании нужно будет делить на m - n), то

Слайд 50





 2. Ортогональные функции
То есть, для любых целых параметров m ≠ n сигналы ортогональны. При m=n=0 получаем
Описание слайда:
2. Ортогональные функции То есть, для любых целых параметров m ≠ n сигналы ортогональны. При m=n=0 получаем

Слайд 51





 2. Ортогональные функции
То есть, норма сигнала sin nωt равна
Описание слайда:
2. Ортогональные функции То есть, норма сигнала sin nωt равна

Слайд 52





 2. Ортогональные функции
Окончательно получаем:
 1) норма сигнала sin nωt при n=1,2,… равна
при n=0 норма sin nωt равна 0.
 2) норма сигнала cos nωt при n=1,2,… также равна
при n=0 норма cos nωt равна
Ввиду отличия норм нулевой базисной функции F0 коэффициенты разложения при этой функции имеют особый вид, не соответствующий общей формуле коэффициентов.
Описание слайда:
2. Ортогональные функции Окончательно получаем: 1) норма сигнала sin nωt при n=1,2,… равна при n=0 норма sin nωt равна 0. 2) норма сигнала cos nωt при n=1,2,… также равна при n=0 норма cos nωt равна Ввиду отличия норм нулевой базисной функции F0 коэффициенты разложения при этой функции имеют особый вид, не соответствующий общей формуле коэффициентов.

Слайд 53





 2. Ортогональные функции
3) Сигнала sin nωt и sin mωt при n≠m для всех целых n и m ортогональны.
4) Сигнала cos nωt и cos mωt при n≠m для всех целых n и m ортогональны (доказать).
5) Сигнала sin nωt и cos mωt для всех целых n и m ортогональны (доказано в п. 2.2).
Исходя их этих результатов легко получить коэффициенты разложения сигнала в ряд Фурье, используя общую формулу коэффициентов разложения в ортогональный ряд.
Описание слайда:
2. Ортогональные функции 3) Сигнала sin nωt и sin mωt при n≠m для всех целых n и m ортогональны. 4) Сигнала cos nωt и cos mωt при n≠m для всех целых n и m ортогональны (доказать). 5) Сигнала sin nωt и cos mωt для всех целых n и m ортогональны (доказано в п. 2.2). Исходя их этих результатов легко получить коэффициенты разложения сигнала в ряд Фурье, используя общую формулу коэффициентов разложения в ортогональный ряд.

Слайд 54





Упражнение. Проверить ортогональность сигналов
Упражнение. Проверить ортогональность сигналов
Описание слайда:
Упражнение. Проверить ортогональность сигналов Упражнение. Проверить ортогональность сигналов

Слайд 55





Коэффициенты Ak, Bk ряда Фурье вычисляются с применением свойства ортогональности базисных функций. Общий вид разложения
Коэффициенты Ak, Bk ряда Фурье вычисляются с применением свойства ортогональности базисных функций. Общий вид разложения
Описание слайда:
Коэффициенты Ak, Bk ряда Фурье вычисляются с применением свойства ортогональности базисных функций. Общий вид разложения Коэффициенты Ak, Bk ряда Фурье вычисляются с применением свойства ортогональности базисных функций. Общий вид разложения

Слайд 56





Так как sin0 =0, то B0 – любое число, для определенности положим его равным нулю, B0 =0.
Так как sin0 =0, то B0 – любое число, для определенности положим его равным нулю, B0 =0.
Коэффициент A0 вычислим, умножив обе части (*) на 
cos 0 и интегрируя обе части равенства
Описание слайда:
Так как sin0 =0, то B0 – любое число, для определенности положим его равным нулю, B0 =0. Так как sin0 =0, то B0 – любое число, для определенности положим его равным нулю, B0 =0. Коэффициент A0 вычислим, умножив обе части (*) на cos 0 и интегрируя обе части равенства

Слайд 57





Так как по результатам п 3.1. сигналы cos nωt и cos mωt при n≠m для всех целых n и m ортогональны и сигналы sin nωt и cos mωt для всех целых n и m также ортогональны, то все интегралы, кроме выражения левой части и первого слагаемого правой части обращаются в нуль. Тогда получаем
Так как по результатам п 3.1. сигналы cos nωt и cos mωt при n≠m для всех целых n и m ортогональны и сигналы sin nωt и cos mωt для всех целых n и m также ортогональны, то все интегралы, кроме выражения левой части и первого слагаемого правой части обращаются в нуль. Тогда получаем
Описание слайда:
Так как по результатам п 3.1. сигналы cos nωt и cos mωt при n≠m для всех целых n и m ортогональны и сигналы sin nωt и cos mωt для всех целых n и m также ортогональны, то все интегралы, кроме выражения левой части и первого слагаемого правой части обращаются в нуль. Тогда получаем Так как по результатам п 3.1. сигналы cos nωt и cos mωt при n≠m для всех целых n и m ортогональны и сигналы sin nωt и cos mωt для всех целых n и m также ортогональны, то все интегралы, кроме выражения левой части и первого слагаемого правой части обращаются в нуль. Тогда получаем

Слайд 58





Коэффициенты Ak, Bk вычисляем аналогично, для построения Ak умножаем обе части (*) на cos kωt и проинтегрируем обе части выражения
Коэффициенты Ak, Bk вычисляем аналогично, для построения Ak умножаем обе части (*) на cos kωt и проинтегрируем обе части выражения
Описание слайда:
Коэффициенты Ak, Bk вычисляем аналогично, для построения Ak умножаем обе части (*) на cos kωt и проинтегрируем обе части выражения Коэффициенты Ak, Bk вычисляем аналогично, для построения Ak умножаем обе части (*) на cos kωt и проинтегрируем обе части выражения

Слайд 59





Ввиду ортогональности все интегралы обращаются в нуль, кроме интеграла с коэффициентом Ak, и с учетом нормы cos kωt получаем выражение
Ввиду ортогональности все интегралы обращаются в нуль, кроме интеграла с коэффициентом Ak, и с учетом нормы cos kωt получаем выражение
Описание слайда:
Ввиду ортогональности все интегралы обращаются в нуль, кроме интеграла с коэффициентом Ak, и с учетом нормы cos kωt получаем выражение Ввиду ортогональности все интегралы обращаются в нуль, кроме интеграла с коэффициентом Ak, и с учетом нормы cos kωt получаем выражение

Слайд 60





Отсюда коэффициент Ak для k=1,2,… равен
Отсюда коэффициент Ak для k=1,2,… равен
Описание слайда:
Отсюда коэффициент Ak для k=1,2,… равен Отсюда коэффициент Ak для k=1,2,… равен

Слайд 61





3. Коэффициенты разложения в ряд Фурье
	Если разложение в ряд Фурье функции x(t) записать в виде
Описание слайда:
3. Коэффициенты разложения в ряд Фурье Если разложение в ряд Фурье функции x(t) записать в виде

Слайд 62






Легко показать, что при разложении нечетной функции коэффициенты ряда Фурье при базисных функциях cos(·)  равны нулю, то есть разложение разложения нечетной функции не содержит базисных функций cos(·). 
При разложения четной функции ряд Фурье не содержит базисных функций sin(·). 
Ряд Фурье хорошо приближает периодические функции. Можно рассматривать любую (в том числе непериодическую) функцию на отрезке и разлагать ее в ряд Фурье только на отрезке, для непериодической функции удобно считать длину этого отрезка ее периодом.
Описание слайда:
Легко показать, что при разложении нечетной функции коэффициенты ряда Фурье при базисных функциях cos(·) равны нулю, то есть разложение разложения нечетной функции не содержит базисных функций cos(·). При разложения четной функции ряд Фурье не содержит базисных функций sin(·). Ряд Фурье хорошо приближает периодические функции. Можно рассматривать любую (в том числе непериодическую) функцию на отрезке и разлагать ее в ряд Фурье только на отрезке, для непериодической функции удобно считать длину этого отрезка ее периодом.

Слайд 63





Прямоугольная функция четная. Ряд Фурье для прямоугольной функции содержит только cos(•): Коэффициенты Bk будут равны нулю.
Прямоугольная функция четная. Ряд Фурье для прямоугольной функции содержит только cos(•): Коэффициенты Bk будут равны нулю.
Описание слайда:
Прямоугольная функция четная. Ряд Фурье для прямоугольной функции содержит только cos(•): Коэффициенты Bk будут равны нулю. Прямоугольная функция четная. Ряд Фурье для прямоугольной функции содержит только cos(•): Коэффициенты Bk будут равны нулю.

Слайд 64





Ряд Фурье для нечетной функции:
Ряд Фурье для нечетной функции:
Эта функция разлагается в ряд синусов, T=2, ω=π (здесь разложение до k = 4).
Описание слайда:
Ряд Фурье для нечетной функции: Ряд Фурье для нечетной функции: Эта функция разлагается в ряд синусов, T=2, ω=π (здесь разложение до k = 4).

Слайд 65


Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №65
Описание слайда:

Слайд 66


Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №66
Описание слайда:

Слайд 67





Разложим x(t) = t2 на отрезке [-1, 1], принимаем T=2. Функция четная, поэтому ряд содержит только cos(·).
Разложим x(t) = t2 на отрезке [-1, 1], принимаем T=2. Функция четная, поэтому ряд содержит только cos(·).
Описание слайда:
Разложим x(t) = t2 на отрезке [-1, 1], принимаем T=2. Функция четная, поэтому ряд содержит только cos(·). Разложим x(t) = t2 на отрезке [-1, 1], принимаем T=2. Функция четная, поэтому ряд содержит только cos(·).

Слайд 68





   Ряд Фурье для четной функции x(t) = t2  
   Ряд Фурье для четной функции x(t) = t2  
на отрезке [-1,+1] (то есть, Т=2) :
Описание слайда:
Ряд Фурье для четной функции x(t) = t2 Ряд Фурье для четной функции x(t) = t2 на отрезке [-1,+1] (то есть, Т=2) :

Слайд 69





Ряд Фурье для четной функции x(t) = t2 :
Ряд Фурье для четной функции x(t) = t2 :
Описание слайда:
Ряд Фурье для четной функции x(t) = t2 : Ряд Фурье для четной функции x(t) = t2 :

Слайд 70





Следует заметить, что для некоторых функций ряд Фурье расходится, для некоторых ряд Фурье не сходится к разлагаемой функции, в обоих случаях говорят, что функция не разлагается в ряд Фурье.
Следует заметить, что для некоторых функций ряд Фурье расходится, для некоторых ряд Фурье не сходится к разлагаемой функции, в обоих случаях говорят, что функция не разлагается в ряд Фурье.
Описание слайда:
Следует заметить, что для некоторых функций ряд Фурье расходится, для некоторых ряд Фурье не сходится к разлагаемой функции, в обоих случаях говорят, что функция не разлагается в ряд Фурье. Следует заметить, что для некоторых функций ряд Фурье расходится, для некоторых ряд Фурье не сходится к разлагаемой функции, в обоих случаях говорят, что функция не разлагается в ряд Фурье.

Слайд 71





Сигнал моделируется в виде функции x(t), зависящей от времени t. Говорят, что сигнал моделируется во временной области. При разложении в ряд Фурье с периодом T сигнал представляется в виде ряда от sin(·) и cos(·) от аргументов ω, 2ω, 3ω, . . ., где частота
Сигнал моделируется в виде функции x(t), зависящей от времени t. Говорят, что сигнал моделируется во временной области. При разложении в ряд Фурье с периодом T сигнал представляется в виде ряда от sin(·) и cos(·) от аргументов ω, 2ω, 3ω, . . ., где частота
ω = 2π/T. 
Таким образом, сигнал разлагается по функциям с аргументами, содержащими частоты kω. Коэффициенты Ак и Вк называются частотными коэффициентами. Такое представление сигнала называется представлением в частотной области. 
Из представления x(t) во временной области разложением в ряд Фурье можно получить представление в частотной области и наоборот (если существует разложение функции x(t)  в ряд Фурье).
Описание слайда:
Сигнал моделируется в виде функции x(t), зависящей от времени t. Говорят, что сигнал моделируется во временной области. При разложении в ряд Фурье с периодом T сигнал представляется в виде ряда от sin(·) и cos(·) от аргументов ω, 2ω, 3ω, . . ., где частота Сигнал моделируется в виде функции x(t), зависящей от времени t. Говорят, что сигнал моделируется во временной области. При разложении в ряд Фурье с периодом T сигнал представляется в виде ряда от sin(·) и cos(·) от аргументов ω, 2ω, 3ω, . . ., где частота ω = 2π/T. Таким образом, сигнал разлагается по функциям с аргументами, содержащими частоты kω. Коэффициенты Ак и Вк называются частотными коэффициентами. Такое представление сигнала называется представлением в частотной области. Из представления x(t) во временной области разложением в ряд Фурье можно получить представление в частотной области и наоборот (если существует разложение функции x(t) в ряд Фурье).

Слайд 72


Цифровая обработка сигналов и изображений, слайд №72
Описание слайда:

Слайд 73





Если увеличить период T, то частота ω уменьшится и на график коэффициентов (частотный график) изменится. точки (или отрезки в зависимости от того, как представлены коэффициенты на графике):
Если увеличить период T, то частота ω уменьшится и на график коэффициентов (частотный график) изменится. точки (или отрезки в зависимости от того, как представлены коэффициенты на графике):
Для разложения «пилы» предыдущего слайда с удвоенным параметром ω график частот станет такой:
Описание слайда:
Если увеличить период T, то частота ω уменьшится и на график коэффициентов (частотный график) изменится. точки (или отрезки в зависимости от того, как представлены коэффициенты на графике): Если увеличить период T, то частота ω уменьшится и на график коэффициентов (частотный график) изменится. точки (или отрезки в зависимости от того, как представлены коэффициенты на графике): Для разложения «пилы» предыдущего слайда с удвоенным параметром ω график частот станет такой:

Слайд 74





Можно и дальше увеличивать период T, при                 график частот приближается к некоторой кривой. 
Можно и дальше увеличивать период T, при                 график частот приближается к некоторой кривой. 
Ряд приближается к интегральному преобразованию, это преобразование сигнал в некоторую функцию (частотную функцию):
Описание слайда:
Можно и дальше увеличивать период T, при график частот приближается к некоторой кривой. Можно и дальше увеличивать период T, при график частот приближается к некоторой кривой. Ряд приближается к интегральному преобразованию, это преобразование сигнал в некоторую функцию (частотную функцию):

Слайд 75





Известна формула Эйлера, связывающая экспоненту с тригонометрическими функциями.
Известна формула Эйлера, связывающая экспоненту с тригонометрическими функциями.
Описание слайда:
Известна формула Эйлера, связывающая экспоненту с тригонометрическими функциями. Известна формула Эйлера, связывающая экспоненту с тригонометрическими функциями.

Слайд 76





Введем новые обозначения
Введем новые обозначения
где Ck и C-k комплексные числа. Запишем ряд Фурье в комплексной форме:
Описание слайда:
Введем новые обозначения Введем новые обозначения где Ck и C-k комплексные числа. Запишем ряд Фурье в комплексной форме:

Слайд 77





Множество вещественных чисел
Множество вещественных чисел
   называется спектром амплитуд сигнала.
Описание слайда:
Множество вещественных чисел Множество вещественных чисел называется спектром амплитуд сигнала.



Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию