🗊Презентация Электрический ток

Лекция 5. Электрический ток

Носители тока в средах Электрический ток, как известно, представляет собой перенос заряда q через ту или иную поверхность S, например, через сечение проводника. Ток может течь в твердых телах (металлы и полупроводники), в жидкостях (электролиты) и в газах (газовый разряд). Для протекания тока необходимо наличие в данной среде свободных заряженных частиц, которые принято называть носителями тока. Носителями тока в проводящей среде могут быть электроны, ионы, либо макрочастицы, несущие на себе избыточный заряд (например, заряженные пылинки и капельки). При отсутствии электрического поля носители совершают хаотические (тепловые) движения со скоростью v и через любую поверхность S проходит в обе стороны в среднем одинаковое число носителей того и другого знака, так что ток через эту поверхность равен нулю.

Носители тока в средах При включении же электрического поля на хаотическое движение носителей накладывается упорядоченное движение со скоростью u (скорость дрейфа), и через поверхность появляется ток. В этом случае скорость носителей будет (v + u), но так как средний вектор тепловой скорости < v > = 0, то получается, что их средняя скорость <v + u> = <u>. Определение: Электрический ток – это направленное упорядоченное движение электрических зарядов.

Сила и плотность тока Количественной характеристикой электрического тока является сила тока I, т. е. величина заряда, пере-носимого через рассматриваемую поверхность S в единицу времени: Единицей измерения силы тока в системе СИ является 1[А]. Электрический ток может быть распределен по поверхности неравномерно. Поэтому для более детальной характеристики тока вводят вектор плотности тока j. Модуль этого вектора равен отношению: где dI – сила тока через элементарную площадку dS, расположенную в данной точке перпендикулярно направлению движения носителей. За направление вектора j принимают направление вектора скорости упорядоченного движения (дрейфа) положительных носителей.

Сила и плотность тока Перенос отрицательного заряда dq- в одном направлении (и-) эквивалентен переносу такого же по величине положительного заряда dq+ в противоположном направлении (и+). Поэтому, если ток создается носителями обоих знаков, то через данную поверхность S за время dt пройдет ток с силой: Или этот ток можно трактовать также через плотность тока: где е+, е- - элементарные положительные и отрицатель-ные заряды, п+, п- - концентрации положительных и отрицательных носителей, и+, и- - направленные ско-рости движения положительных и отрицательных носителей (эти вектора – противоположны), +, - - объемные плотности зарядов положительных и отрица-тельных носителей. Замечание: Из-за разных знаков у + и - оба слагаемых в (4) имеют одно направление, поэтому выражение (4) в скалярном виде выглядит также: j = +∙u+ + |-|∙u-.

Сила и плотность тока Поле вектора j можно изобразить графически с помощью линий тока (линий вектора j), которые проводятся так же, как и линии вектора Е.

Уравнение неразрывности Пусть в некоторой проводящей среде течет ток через замкнутую поверхность S, для которой определим положительную внешнюю нормаль п. Тогда интеграл определяет заряд, выходящий в единицу времени из объема V, ограниченного рассматриваемой поверхнос-тью. В силу закона сохранения заряда эта величина должна быть равна скорости убывания заряда, содержащегося в объеме V, т. е. имеет место: Выражение (6) – это интегральная форма уравнения непрерывности, является, по существу, аналитическим выражением закона сохранения заряда в изолированной системе.

Уравнение неразрывности Для преобразования уравнения (6) к дифференци-альной форме представим заряд как а поток согласно теореме Остроградского-Гаусса как тогда получаем: так как плотность заряда зависит от времени и от координат, а интеграл зависит только от времени. Последнее равенство должно выполняться при произвольном выборе объема dV, а это возможно лишь тогда, когда в каждой точке пространства будет выполняться условие: Это дифференциальная форма записи уравнения непрерывности.

Уравнение неразрывности Согласно (7) в точках, для которых дивергенция j имеет место (т. е. ≠ 0), существуют источники вектора j (источники тока) и происходит убывание заряда. В случае стационарного тока, когда ( = const), получаем: Последнее часто называют условием стационарности тока, т. е. в этом случае вектор j не имеет источников, а линии тока нигде не начинаются и нигде не заканчиваются (они – замкнуты сами на себя внешним образом) и, соответственно,

Электрическое поле в проводнике с током. Сторонние силы Если в проводнике создать электрическое поле и не принять мер для его поддержания, то перемещение носителей тока приведет очень быстро к тому, что поле внутри проводника исчезнет (потенциал – выравнится) и ток прекратится. Для того, чтобы поддерживать ток достаточно длительное время, нужно от конца проводника с меньшим потенциалом φ2 (сами носители – положительные) непрерывно отводить приносимые сюда током заряды, а к концу с большим потенциалом φ1 – непрерывно их подводить (см. рис.). Иными словами, необходимо осуществлять круговорот зарядов, при котором они двигались бы по замкнутому пути. Это согласуется с тем, что линии постоянного тока – замкнуты.

Электрическое поле в проводнике с током. Сторонние силы Циркуляция вектора Е электростатического поля равна 0, т. е. Поэтому в замкнутой цепи наряду с участками, на которых положительные носители движутся в направлении Е (т. е. в сторону убывания потенциала), должны быть участки, где перенос положительных зарядов происходит в направлении возрастания потенциала, т.е. против кулоновских сил электроста-тического поля. Перемещение зарядов на этих участках возможно лишь с помощью сил неэлектростатической природы, называемых сторонними силами. Сторонние силы могут иметь химическую, фотоэлектрическую, электромагнитную и прочую природу (эти силы реализуются в гальванических элементах, аккумуляторах, солнечных элементах, динамо-машине). Таким образом, для поддержания тока постоянным необходимы сторонние силы, действующие либо на всей цепи, либо на ее отдельных участках.

Электрическое поле в проводнике с током. Сторонние силы Сторонние силы принято характеризовать работой, которую они совершают над перемещающимися по цепи зарядами. Определение: Величина, равная работе сторонних сил над единичным положительным зарядом, называется электродвижущей силой (э. д. с.) действующей в цепи (или на ее участке): E = Размерность э. д. с. в СИ – [B], как у потенциала. По аналогии с электростатическим полем Е, проявляющим себя в кулоновском силовом взаимо-действии зарядов, вводят поле сторонних сил и его напряженность Е*, как: где F*- вектор сторонней силы, q – единичный положи-тельный заряд.

Электрическое поле в проводнике с током. Сторонние силы По определению работа сторонних сил над зарядом q на участке цепи 1-2: а разделив на q, получаем э. д. с., действующую на этом участке:

Электрическое поле в проводнике с током. Сторонние силы Работа, совершаемая этой силой над зарядом на участке цепи 1-2: Определение: Величина, численно равная работе, совершаемой кулоновскими и сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется падением напряжения ( или просто напряжением) на данном участке цепи 1-2: Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы, называется однородным, для такого участка: U12 = φ1 – φ2. Участок цепи, на котором на носители тока действуют сторонние силы, называется неоднородным, для него: U12 = (φ1 – φ2) + E12 .

Законы Ома и Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной формах Закон Ома в интегральной форме Немецкий физик Г. Ом в 1826 г. экспериментально установил закон, согласно которому: сила тока, протекающего по однородному проводнику (в смысле отсутствия сторонних сил), пропорциональна разности потенциалов на его концах, т. е. напряжению на проводнике: Здесь U = φ1 – φ2, R – электрическое сопротивление проводника. Выражение (16) принято рассматривать как интегральную форму закона Ома. Единицей измерения сопротивления в СИ является 1[Ом] = 1[B] / 1[A]. Сопротивление R зависит от формы и размеров проводника, свойств материала, температу-ры, распределения тока по объему проводника. Так для однородного цилиндрического проводника имеем: где  - удельное электрическое сопротивление материала проводника в [Ом.м], l – его длина, а S – сечение проводника.

Законы Ома и Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной формах Закон Ома в дифференциальной форме Рассмотрим изотропный проводник, в котором упорядоченное движение носителей тока происходит в направлении вектора Е или иначе: вектора j и E сонаправлены. Выделим мысленно в окрестности некоторой точки проводящей среды элементарный цилиндрический объем с образующими, параллельными векторам j и E, основанием dS и длиной dl.

Законы Ома и Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной формах Таким образом, получаем дифференциальную форму закона Ома в векторном виде: где σ = 1/ - электропроводность материала проводника (размерность σ в СИ: 1 [См/м]). Замечание: Если электроток обусловлен носителями одного знака, то можно записать j = e∙n∙u и, сравнивая с (17), заключаем: скорость дрейфа u пропорциональна напряжен-ности поля Е, т. е. силе, сообщающей носителям это движение. А из механики известно, что пропорциональность скорости приложенной к телу силе наблюдается в тех случаях, когда кроме силы, вызвавшей само движение, на тело также дейст-вует сила сопротивления среды. В нашем случае протекания тока в среде эта сила определяется взаимодействием носителей тока с частицами среды (проводника) и обусловливает электро-сопротивление проводника. В связи с этим дополнительно носители характеризуются подвижностью b, которая определяется как отношение b = u / E .

Законы Ома и Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной формах Закон Ома для неоднородного участка цепи На неоднородном участке электроцепи на носители тока действуют, кроме кулоновских сил Fкул = е∙Е, еще и сторонние силы F* = e∙E*, которые также вызывают направленное движение зарядов. Очевидно, что средняя скорость u в этом случае пропорциональна суммарной силе е∙(Е + Е*). Соответственно и плотность тока на таком участке будет пропорциональна сумме (Е + Е*): j = σ∙( Е + Е*) (18) Выражение (18) является дифференциальной формой закона Ома для неоднородной цепи. Для случая тонких проводников (или контура тока в объемном проводнике) и совпадения направления тока с осью проводника плотность тока j можно считать постоянной во всех точках сечения провода S. Разделив (18) на σ и умножив скалярно на элемент провода dl, взятый по направлению от сечения 1 к сечению 2, получаем при последующем интегрировании по длине 1-2:

Законы Ома и Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной формах Далее записав сумму двух интегралов в последнем выражении как (φ1 – φ2) + E12 и заменив σ = 1/, где jl = I / S, причем I = const (по условию); получаем левый интеграл где - полное сопротивление участка цепи между сечением 1 и сечением 2. Таким образом, интегральное уравнение преобразу-ется к виду: I∙R = (φ1 – φ2) + E12 (19) или [(φ1 – φ2) + E12] (20) Выражения (19) и (20) являются интегральными фор-мами закона Ома для неоднородного участка цепи.

Законы Ома и Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной формах Закон Джоуля-Ленца в интегральной форме В случае, когда проводник с током неподвижен в пространстве и в нем не происходит химических превращений, работа постоянного тока, определяется как: A = U∙I∙t (21) где I∙t = q – заряд, прошедший за время t через каждое сечение проводника, U – напряжение, приложенное к концам проводника. Причем для однородного участка цепи эта работа равна A = (φ1 – φ2)∙q , а для неоднородного участка цепи - A = (φ1 – φ2)∙q + E12∙q. Работа (21) затрачивается на увеличение внутренней энергии проводника, в результате чего он – нагревается. Принято говорить, что при протекании тока в проводнике выделяется тепло в количестве Q = U∙I∙t, а заменив по закону Ома напряжение U = I∙R, приходим к интегральной форме закона Джоуля-Ленца: Q = R∙I2∙t (22)

Законы Ома и Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной формах Закон Джоуля-Ленца в интегральной форме В случае переменной во времени силы тока джоулево тепло рассчитывается по формуле: Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме Для характеристики локального тепловыделения используется понятие удельной тепловой мощности тока ([Дж/м3.с]). Выделим в проводнике элементарный цилиндрический объем.

Законы Ома и Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной формах Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме Разделив последнее выражение на (dV∙dt), определим количество тепла, выделяющегося в единице объема в единицу времени: = ∙j2 или = j2/σ (24) Выражения (24) являются дифференциальной формой закона Джоуля-Ленца. Это наиболее общая форма записи данного закона – работает для любых проводников вне зависимости от их формы, однородности и природы сил, возбуждающих электрический ток.

Правила Кирхгофа для разветвленных цепей Определение. Узлом электрической цепи называется точка, в которой сходятся более чем два проводника. Правило № 1 Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю: ∑ Ii = 0 (25) Замечание. Правило вытекает из уравнения непрерывности. Правило № 2 Алгебраическая сумма произведений сил токов в отдель-ных участках произвольного замкнутого контура на их сопротивления равна алгебраической сумме э.д.с., дейст-вующих в этом контуре: ∑ Ii.Ri = ∑ Ei (26)