🗊Презентация Магнитное поле в вакууме

Лекции 6. Магнитное поле в вакууме

Векторные характеристики магнитного поля Силовое взаимодействие электрических токов Эксперимент, проведенный Ампером в 1820 г., показал, что проводники с токами взаимодействуют между собой с силой (из расчета на единицу длины каждого из параллельных проводников) пропорцио-нальной величинам токов в них и обратно пропорциональной расстоянию между ними, т. е. где коэффициент пропорциональности в системе СИ а μ0 = 4π∙10-7 [Гн/м] – магнитная постоянная.

Векторные характеристики магнитного поля Силовое взаимодействие электрических токов Здесь речь идет об особой форме силового взаимодействия токов (или направленных потоков заряженных частиц), осуществляемого через особое поле, сосредоточенное в пространстве и названное магнитным полем. Название «магнитное поле» появилось в 1820 г. после того, как Эрстед экспериментально установил ориенти-рующее действие проводника с током на магнитную стрелку компаса. В опыте Эрстеда провод (с током) располагался над магнитной стрелкой, и при включении тока I – стрелка устанавливалась перпендикулярно к проводу с током (см. рис.).

Векторные характеристики магнитного поля Силовое взаимодействие электрических токов Логично было бы по аналогии с напряженностью электрического поля Е назвать основную силовую характеристику магнитного поля – напряженностью, однако по историческим причинам, ее назвали магнитной индукцией и обозначили через вектор В. Единицей измерения магнитной индукции в СИ является 1 [Тл]. Магнитное поле действует только на движущийся со скоростью v заряд q. Это действие проявляет себя в магнитной силе, которая обладает следующими особенностями (установлены экспериментально): 1) в любой точке пространства направление и модуль этой силы Fмаг зависят от скорости v заряда, в то же время можно говорить о постоянстве отношения 2) магнитная сила Fмаг всегда перпендикулярна скорости v заряженной частицы;

Векторные характеристики магнитного поля Силовое взаимодействие электрических токов 3) так как Fмаг  v, то работы над зарядом магнитная сила не совершает (по определению работа: δА = F∙dr). Из всего сказанного можно заключить, что магнитную силу можно представить в виде векторного произведения: Fмаг = q∙(v x B) = q∙v∙B∙sin(v, B) (2) Замечание: Когда движущийся заряд q находится одновременно под действием электрического и магнитного полей, то говорят, что на него действует электромагнитная сила Лоренца (или обобщенная сила Лоренца): F = q∙E + q∙(v x B) (3) где Fэл = q∙E – электрическая сила, Fмаг = q∙(v x B) – магнитная сила Лоренца.

Векторные характеристики магнитного поля Магнитное поле движущегося заряда Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами. В случае движения заряда со скоростью v в пространстве появляется выделенное направление – направление вектора v. Поэтому можно ожидать, что магнитное поле, создаваемое движущимся зарядом, обладает осевой симметрией. Здесь предполагается равномерное движение заряда q с постоянной нерелятивистской скоростью v. Экспериментально был получен закон, определяющий магнитное поле В точечного заряда q, движущегося со скоростью v (постоянной, нерелятивистской v << c):

Закон Био - Савара Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного поля, создаваемого произвольным проводом с током. Пусть малый элемент провода длиной dl с сечением dS определяет объем dV (см. рис.), заполненный носителями тока с малым зарядом dq = ∙dV, где  - объемная плотность заряда носителей. Известно, что плотность тока в данной точке сечения S определяется как: j=e∙n∙u= ∙u. Используя формулу (4) для В точечного заряда и полагая v = u (при этом j = ∙v), получаем выражение для элементарного магнитного поля dB в некоторой точке Р пространства, создаваемого движущимися носителями в объеме dV:

Закон Био - Савара В случае, когда ток I течет по тонкому проводу постоянного малого сечения ΔS, то тогда j∙dV = j∙ΔS∙dl = I∙dl. Введя вектор dl в направлении тока, можно записать в векторном виде j∙dV = I∙dl, где выражение справа принято называть линейным токовым элементом. Произведя в (5) замену согласно последнему равенству, получаем: Модуль вектора dB определяется как Формулы (5) и (6) выражают экспериментально установленный в 1820 г. французскими физиками Био и Саваром закон, названный впоследствии их именами – закон Био-Савара.

Принцип суперпозиции магнитных полей Опыт показывает, что для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции. Магнитное поле В, порождаемое несколькими движущимися зарядами (или несколькими токами), равно векторной сумме магнитных полей Вi, порождаемых каждым зарядом (или током) в отдельности: Французский математик Лаплас проанализировал экспериментальные данные Био и Савара, вывел формулу (6) и предложил вычислять магнитное поле любого тока как суперпозицию полей (согласно (7)), создаваемых отдельными элементарными участками токов. В зависимости от конфигурации тока расчет результирующего магнитного поля проводится интегрированием либо выражения (5) для объемного токового элемента, либо выражения (6) для линейного токового элемента:

Принцип суперпозиции магнитных полей Расчет по формулам (8) – сложен, однако, он значительно упрощается, если распределение тока имеет определенную симметрию. Далее рассмотрим ряд примеров по применению закона Био-Савара-Лапласа. Пример 1. Магнитное поле прямого тока (тока, текущего по тонкому проводу бесконечной длины).

Принцип суперпозиции магнитных полей Следовательно, результирующее поле определяем интегрированием: Силовые линии магнитной индукции прямого тока представляют собой систему охватывающих провод с током I концентрических окружностей, направление которых определяется по правилу «правого винта». Пример 2. Магнитное поле на оси z кругового тока (тока, текущего по тонкому проводу в форме кольца радиуса R).

Принцип суперпозиции магнитных полей Это значит, что для нахождения модуля В достаточно сложить все проекции векторов dB на ось z, т. е. – dBz = dB∙cosβ. С учетом, что в данном примере угол α = π/2, а sinα = 1, и используя формулу (6), получаем выражение проекции dBz = Заменяя cosβ = R / r и r2= =z2+R2, получаем результат интегрированием по всем dl: В частности, в центре витка с током (точка О с координатой z =0) имеем поле , а на очень большом расстоянии z >>R получаем

Теорема Гаусса для магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах Интегральная форма Поток вектора индукции магнитного поля сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю: Эта теорема является фундаментальным законом для магнитного поля (она выполняется для любых магнитных полей) и выражает собой в постулативной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца – они замкнуты сами на себе (где-то, вообще говоря, на бесконечности).

Теорема Гаусса для магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах Число линий В, входящих в объем V, ограниченный замкнутой поверхностью S, равно числу линий В, выходящих из этого объема. Следствием из этого является того, что магнитный поток не зависит от формы поверхности и определяется только ее размером S. Иначе говоря, магнитный поток не зависит от формы поверхности, «натянутой» на контур Г.

Теорема Гаусса для магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах Дифференциальная форма Используя теорему Остроградского-Гаусса (для перехода от интеграла по поверхности к интегралу по объему) и с учетом (9), приходим к дифференциальной форме теоремы Гаусса для В: Дивергенция вектора индукции магнитного поля всюду равна нулю, т.е. магнитное поле не имеет источников (в форме «сосредоточенных зарядов») и является вихревым (или соленоидальным) полем.

Циркуляция и ротор вектора индукции магнитного поля Магнитное поле, как и электрическое поле, обладает двумя важнейшими свойствами. Эти свойства связаны с понятиями «поток» и «циркуляция» вектора В и выражают основные законы магнитного поля. Вывод выражения для циркуляции вектора В Докажем, что: циркуляция вектора магнитной индук-ции по произвольному контуру L равна произведению алгебраической суммы токов, охватываемых контуром, на магнитную постоянную μ0, т. е.

Циркуляция и ротор вектора индукции магнитного поля Вывод выражения для циркуляции вектора В Выражение вида (11) получим исходя из закона Био-Савара для случая прямого тока. Пусть ток I направлен за плоскость рисунка. В каждой точке Р контура L вектор В направлен по касательной к окружности радиуса b, проходящей через эту точку. Заменим в выражении для циркуляции произведение B∙dl на B∙dlB (здесь dlB - проекция элемента контура dl на направление В). Из рисунка видно, что dlB ≈ b∙dα (так как dl, dα - малы); тогда, подставив выражение для магнитного поля прямого тока В = получаем B∙dl = B∙dlB = ∙b∙dα = а последующее интегрирование

Циркуляция и ротор вектора индукции магнитного поля Ротор вектора В Если ток I в формуле (11) распределен по объему, где расположен контур L, то его можно представить через плотность тока j как I = (интеграл по поверхности S, ограниченной контуром L). Тогда уравнение (11) прини-мает вид: Преобразовав левую часть (12) по теореме Стокса (связь циркуляции вектора В с потоком вектора-rot B, т.е. ), получаем равенство: которое должно выполняться при произвольном выборе поверхности S, а это возможно только тогда, когда подынтегральные функции в каждой точке имеют одинаковые значения. Таким образом, получаем: или в проекциях на нормаль

Циркуляция и ротор вектора индукции магнитного поля Ротор вектора В Из (11) видно, что rot B совпадает по направлению с вектором плотности тока j. Тот факт, что циркуляция В (или rot B), вообще говоря, не равны нулю, означает, что магнитное поле – не потенциально (в отличие от электростатического поля, для которого Такое векторное поле принято называть вихревым (или соленоидальным) полем.

Расчет магнитного поля соленоида и тороида Выражение для циркуляции вектора В (9) в магнитостатике играет примерно ту же роль, что и теорема Гаусса для вектора Е (или вектора D) в электростатике. Поле В определяется всеми действую-щими в пространстве токами, а циркуляция В – только теми токами, которые охватывает данный контур. Поэтому в ряде случаев (при наличии специальной симметрии у поля) выражение (9) оказывается весьма эффективным для расчета магнитной индукции. Это бывает оправдано, когда вычисление циркуляции В можно свести, выбрав разумно контур L, к простому произведению индукции В (или проекции Bl) на длину контура или его часть. Если же это не удается, то расчет В ведут по закону Био-Савара с применением принципа суперпозиции.

Расчет магнитного поля соленоида и тороида Магнитное поле соленоида

Расчет магнитного поля соленоида и тороида Магнитное поле соленоида

Расчет магнитного поля соленоида и тороида

Расчет магнитного поля соленоида и тороида