🗊Презентация Законы сохранения в механике

Законы сохранения в механике

План ЗСИ, реактивная сила Упругие столкновения, решение в СЦМ Подвижные/неподвижные горки Нецентральный удар. Векторные диаграммы Упругие/неупругие столкновения: приведённая масса Бозон Хиггса

Задача 1 Качение трубы по плоскости с перегибом Тонкостенная труба радиуса r катится по горизонтальной поверхности, которая переходит в наклонную плоскость, составляющую угол θ с горизонтом. Найти максимальную скорость цилиндра v0, при которой он перейдёт на наклонную плоскость без скачка. При каком угле θкр переход без скачка невозможен? Скольжения нет. Решение. План решения: моделируем переход дугой радиуса R с центральным углом θ, Делаем предельный переход R → 0. Энергию отсчитываем от положения ЦТ в момент выхода на наклонную плоскость, тогда вначале h = (R + r)(1 – cosθ). ЗСЭ: E = mgh + mv02 = mv2 Условие движения без отрыва (N зануляется в конце дуги): mgcosθ = mv2/(R+r) → v02 = g(R + r)(2cosθ – 1) → gr(2cosθ – 1) V0 = 0 при cosθ = ½ → θкр = 600

Задача 2 Сила тяги реактивного самолёта Двигатель реактивного самолёта, летящего со скоростью v = 720 км/час, за 1 с засасывает воздух массой μв = 100 кг/c, расходует топливо μг = 4 кг/c и выбрасывает продукты сгорания массой μв + μг = 104 кг/с со скоростью u = 500 м/с относительно самолёта. Какова сила тяги и полезная мощность двигательной установки самолёта. Решение При засасывании воздух приобретает скорость самолёта - на самолёт действует «тормозящая» реактивная сила F1 = μв(-v) = - μвv - знак «-» означает, что эта сила действует против движения самолёта, тормозит самолёт. При выбросе продуктов сгорания на самолёт реактивная сила, действующая в направлении его движения, F2 = (μв + μг)u. Результирующая сила тяги F = F1 + F2 = (μв + μг)u - μвv = 32 кН. Мощность P = Fv = 6,4 МВт ≈ 9000 л.с. (1 л.с. ≈ 735,5 Вт)

Задача 3 Задача о рыбаке и лодке-1 Рыбак массы m = 80 кг переходит с кормы на нос лодки длиной L = 5 м и массой M = 320 кг. На какое расстояние относительно земли при этом сместятся лодка и рыбак? Считайте, что вода не оказывает сопротивление движению лодки. Решение Центр масс системы рыбак-лодка остаются на месте: mxр + Mxл = const → mΔxр + MΔxл = 0 Относительное перемещение: Δxр - Δxл = L Δxр = LM/(m + M) = 4/5 L = 4 м Δxл = -Lm/(m + M) = -1/5 L = -1 м

Задача 4 Задача о рыбаке и лодке-2 + небольшое вязком трении. Рыбак массы m = 80 кг переходит с кормы на нос лодки длиной L = 5 м и массой M = 320 кг. При этом на лодку со стороны воды действует небольшая сила вязкого сопротивления, пропорциональная скорости лодки u. На какое расстояние относительно земли сместятся лодка и рыбак к моменту прекращения их движения? Решение mΔvi + MΔui = Fвнешн i Δti = -βuiΔti = -βΔxi → mΔvр + MΔuл = -βΔxл = 0 – лодка осталась на месте! → Рыбак переместился на Δxр = L = 5 м

Упругий удар. Решение в СЦМ В СЦМ скорость не изменяется по величине; изменяется только её направление относительная скорость тел при упругом столкновении изменяется только по направлению

Упругое лобовое столкновение: СЦМ В СЦМ ответ пишем сразу: V01’ = V01 - VC → V1’ = -V01’ → V1 = -V01 + 2Vc = [V01(m1 – m2) + 2m2V02]/(m1 + m2) V2 = [V02(m2 – m1) + 2m1V01]/(m1 + m2) предельные и частные случаи: 1) v02 = 0 → V1 = [V01(m1 – m2)]/(m1 + m2) V2 = 2m1V01/(m1 + m2) 2) m2 >> m1 V1 = -V01 + 2V02 V2 = V02 + [(2V01 – 2V02)m1]/(m1 + m2)

Задача 5 Упругое столкновение шарика с пробиркой По гладкой горизонтальной поверхности со скоростью u0 движется пробирка длиной L и массы M (u0 направлена вдоль оси пробирки). На встречу к пробирке вдоль её оси со скоростью v0 движется шарик массы m. Через какое время после «влёта» шарик выскочит из пробирки? Решение относительная скорость при упругом ударе не изменяется → t1 = t2 = L/v0тн → t = 2t1 = 2L/vотн = 2L/(v0 + u0)

Задача 6 Шарик в прямоугольной рамке На горизонтальной гладкой поверхности находится прямоугольная рамка массы M, длина большей стороны которой равна ℓ. Внутри рамки находится небольшой шарик массы m. В некоторый момент шарику и рамке сообщают скорости v0 и u0, соответственно, так, что они движутся навстречу друг другу. Скорости параллельны длинной стороне рамки. Найти время между ударами шарика об одну и ту же короткую сторону. Рещение Ответ: τ = 2ℓ/(v0 + u0)

Задача 7 Нить в трубке Внури U-образной трубки массой M, находящейся на горизонтальном столе движется нерастяжимая нить массой m. В начальный момент в каждом колене находилось по половине нити, а сама трубка двигалась. При этом скорость одного конца нити A равнялась v0, а другой конец B покоился. С какой скоростью будет двигаться трубка, когда нить вылетит из неё? Считайте радиус кривизны трубки небольшой, а нить движется только вдоль прямолинейных участков. Трения нет. Решение (В системе, в которой трубка вначале покоится: полный импульс = 0! → ЗСИ: 0 = mv’ + Mu’ Энергия: каждая половинка вначале движется со скоростью v0/2 → E0 = ½ m(v0/2)2 → ЗСЭ: mv02/8 = ½ mv’2 + ½ Mu’2 → u’ = -m/(m(M + m))1/2 v0/2 → u = v0/2 + u’ = v0/2 (1 - m/(m(M + m))1/2).

Задача 8 Монета в тарелке На гладком горизонтальном столе покоится глубокая тарелка массы M, на дне которой покоится монета массы m = 1/5 M. Тарелку резко толкают в горизонтальном направлении так, что монета сразу после удара ещё не движется. В процессе дальнейшего движения монета поднимается по стенке тарелки на максимальную высоту h. Найдите максимальное и минимальное значение скорости тарелки при движении. Трения в системе нет, монета при движении от от внутренней поверхности тарелки не отрыватся. Решение μv02/2 = mgh → Vmax = v0 = (12gh/5)1/2, vmin = (M – m)v0 /(M + m)= 2/3 v0 = (16gh/15)1/2

Задача 9 Тяжёлая тележка на лёгком клине На лёгком клине массы m c углом наклона α = 450 при основании находится приклеенная к нему на высоте h тяжёлая тележка массы M = 10m. Тележка отклеивается и съезжает. Найдите скорость клина перед тем, как тележка его покинет. Решение ЗСЭ: Mv2/2 + mu2/2 = Mgh ЗСИ: mu = Mvcosφ Кинематика: vcosφ + u = v’cosα vsinφ = v’sinα → tgφ = (1 + M/m)tgα = 11 → cos2φ = 1/122 → u = (50gh/33)1/2; v = (61/66)1/2 (2gh)1/2

Задача 10 Снаряд вылетает из пушки Из орудия массой М, отскакивающее при отдаче без трения, производят выстрел снарядом массой m. Снаряд вылетел под углом α к горизонту. Под каким углом β установлен ствол орудия? Ответ: tgβ = tgα/(1 + m/M)

Максимальный угол рассеяния. Метод векторных диаграмм Максимальный угол рассеяния. Каков максимальный угол θ рассеяния α-частицы и дейтрона при упругом рассеянии на покоящемся атоме водорода? Решение Из векторной диаграммы: sinθmax = m/M = ¼ - для α-частицы sinθmax = m/M = ½ - для дейтрона

Задача 11 Рассеяние движущихся частиц. Обе частицы движутся Две частицы с массами m и M (M > m) движутся навстречу друг другу вдоль одной прямой с одинаковыми скоростями. После упругого столкновения тяжёлая частица отклоняется от своего первоначального направления движения на угол α = 300 в лабораторной системе или на угол β = 600 в СЦМ. Найти отношение M/m. Решение скорость ЦМ: Vc = (M – m)Vo/(M + m) относительная скорость тяжёлой частицы: v0M’ = v0 – Vc = 2mv0/(M + m) из векторной диаграммы: Vc = v0M → (M – m)Vo/(M + m) = 2mv0/(M + m) → M/m = 3

Задача 12 Максимальный угол рассеяния. Обе частицы движутся Два шарика с массами m и M = 4m движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. После упругого столкновения тяжёлый шарик отклоняется на максимально возможный угол при таком столкновении. Найти это угол. Решение скорость ЦМ: Vc = (M – m)Vo/(M + m) = 3/5 V0 относительная скорость тяжёлой частицы: v0M’ = v0 – Vc = 2/5 V0 из векторной диаграммы: sinθmax = 2/3 → θmax ≈ 41,80

Задача 13 Рассеяние одинаковых частиц Две одинаковые частицы, одна из которых неподвижная, испытывают упругое столкновение. Налетающая частица рассеивается на угол θ к направлению своего первоначального движения. Найти угол рассеяния γ этой частицы в СЦМ. Решение Для одинаковых частиц Vc = v0’ (v02 = 0) Из вектоной диаграммы: γ = 2θ

Задача 13 C какой скоростью и куда полетит легкая частица? Тяжёлая частица налетает со скоростью v0 на лёгкую покоящуюся частицу и в результате упругого удара отклоняется на максимально возможный угол α: sinα = 1/4. С какой скоростью и под каким углом к v0 полетела лёгкая частица? Решение Скорость тяжёлой частицы: v = (3/5)1/2v0 Скорость лёгкой частицы: u = (v2 + v02)1/2 = 4/√10 v0; cosθ = (5/8)1/2 (tgθ = (3/5)1/2)

Задача 14 Моноэнергетичные лёгкие(тяжёлые) частицы При многократном проведении эксперимента по упругому рассеянию тяжёлой частицы с кинетической энергией K0 на более лёгкой покоящейся частице было установлено, что при рассеянии тяжёлой частицы в некотором направлении лёгкие частицы регистрируются с единственным значением энергии T = K0/15. Найти отношение масс тяжёлой и лёгкой частиц. Удар не центральный Решение Скорость тяжёлой частицы: v2 = v02(M – m)/(M + m) Кинетическая энергия: K = Mv2/2 = K0(M – m)/(M + m) = K0 – T → M/m = 2K/T – 1 = 29

Неупругий удар. Приведённая масса Задача 1 Шары массами 1 кг и 2 кг движутся навстречу друг другу со скоростями 1 м/с и 2 м/с соответственно. Найдите, сколько теплоты выделится при неупругом ударе этих шаров? Ответ: Q = m1m2(v1 + v2)2/2(m1 + m2) = 3 Дж Задача 2 Два куска пластилина массами m1 и m2, летящие со скоростями v1 и v2, слипаются. Какое количество теплоты Q выделится в результате абсолютно неупругого соударения, если скорости кусков взаимно перпендикулярны? Ответ: Q = μ(v12 + v22)/2 Задача 3 Вагон массой m1, движущийся по горизонтальному пути, догоняет другой вагон массой m2 и сцепляется с ним. В результате неупругого столкновения механическая энергия вагонов уменьшается на ΔK. С какой скоростью сокращалось расстояние между вагонами перед сцепкой? Ответ: vотн = v2 – v1 = (2(m1 + m2)ΔK/m1m2))1/2

Задача 15 Доска с упором На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска длиной 1 м, на одном конце которой закреплён вертикальный упор. Какую минимальную скорость надо сообщить маленькому бруску, лежащему на другом конце доски, чтобы после абсолютно упругого удара об упор брусок вернулся назад и упал с доски? Масса доски в 8 раз больше, чем масса бруска, а коэффициент трения между ними 0,2. Ответ: v0 = (4μgl(1 + m/M))1/2 = 3 м/с

Задача 16 Пороговая энергия Может ли произойти ионизация атома цезия 133Cs ударом атома кислорода 16O с энергией E0 = 4 эВ? Энергия ионизации Ei = 3,9 эВ Решение Q = Ei = P2/2m – P2/2(m + M) = Kпорог M/(m + M) → Минимальная энергия, при которой пройдёт ионизация: Kпорог = Q(1 + m/M) = 3,9 (1 + 16/133) = 4,37 эВ > 4 эВ – ионизация не произойдёт

Бонус Бозон Хиггса (Higgs decay) В экспериментах 2011 – 2012 гг. на Большом адроном коллайдере (ЦЕРН, Женева) в протон-протонных столкновениях была открыта частица, напоминающая по своим свойствам на Бозон Хиггса, предсказанный в 1964 году. В соответствии с выводами Стандартной модели был обнаружен распад бозона Хиггса на два фотона, причём энергии этих фотонов оказались равными E1 = 70 ГэВ и E2 = 92 ГэВ. Угол разлёта фотонов составил α = 1030. Найти массу бозона Хиггса. Решение ЗСЭ: EH = E1 + E2; ЗСИ: p = p1 + p2 → E0 = EH2 – p2c2 = 2E1E2(1 – cosθ))1/2 = 125,6 ГэВ