🗊Презентация Элементы квантовой механики. (Лекция 12)

Лекция 12 (2 сем). Элементы квантовой механики Курс физики для студентов 1-2 курса БГТУ Кафедра физики БГТУ доцент Крылов Андрей Борисович

1. Корпускулярно-волновой дуализм При распространении света в пространстве проявляются его волновые свойства (интерференция, дифракция, поляризация), При взаимодействии с веществом – корпускулярные свойства (фотоэффект, эффект Комптона). Корпускула - частица Эта двойственная природа света получила название корпускулярно-волнового дуализма. Позже двойственная природа была открыта у электронов и других элементарных частиц.

Гипотеза де Бройля Квантовые свойства света все более отчетливо проявляются с уменьшением длины волны λ, а при увеличении длины волны основную роль играют волновые свойства. Корпускулярные свойства обусловлены тем, что свет испускается фотонами, имеющими: где h=6,63∙10-34 Дж∙с – постоянная Планка. Луи де Бройль в 1924 г. высказал гипотезу о том, что поскольку свет обладает двойственной природой, то и материальная частица должна обладать волновыми свойствами. Эта идея и получила название корпускулярно-волнового дуализма (в узком смысле). Каждой частице, обладающей импульсом р, должна соответствовать длина волны λ, связанная с импульсом р тем же соотношением, что и для фотона:

Длина волны де Бройля λ Если частица имеет кинетическую энергию Wк , то ее импульс р через энергию выражается как: Вывод: длина волны де Бройля тем меньше, чем больше масса и скорость частиц. Так, для пылинки массой m=10–3 г: v=1 м/с, ~10–28 м. При таких условиях волновые свойства проявиться не могут. А вот для микрочастиц с массой m~10–27 кг длина волны де Бройля оказывает сравнимой с расстоянием между атомами в твердых телах ~10–10 м, которое можно измерить современной аппаратурой. Вывод 2: волновые свойства заметно проявляются: для микрочастиц, которые обладают малой массой m, или в случае, если длина волны де Бройля  становится соизмеримой с размерами области пространства, в которой может двигаться частица.

2. Принцип неопределенностей Гейзенберга Согласно квантовой механике состояние частицы в каждый момент времени нельзя характеризовать точными значениями ее координаты и импульса в этот момент времени. Если в каком-либо состоянии координата известна с неопределенностью х, а импульс − с неопределенностью δр, то обе эти величины одновременно не могут быть сколь угодно малыми. Они связаны соотношением: где h − постоянной Планка, а − приведённая постоянной Планка: Для объема неопределенности в значениях этих величин удовлетворяют условию:

3. Волновая функция микрочастиц (x, t) Выше установлено, что распространение микрочастиц происходит так, как если бы их движение описывалось волнами. Известно, что распространение фотонов (как распространение монохроматической плоской световой волны с циклической частотой  и волновым числом k) описывается уравнением синусоидальной волны:  (x, t) = Acos(t – kx)

Волновая функция микрочастиц (x, t) и ее физический смысл Волны де Бройля распространяются, интерферируют (складываются) и дифрагируют (отклоняются на препятствиях) по обычным оптическим законам. Функция ψ используется для того, чтобы описать распределение вероятности нахождения частицы в данный момент времени в некоторой области пространства. Эту функцию называют волновой функцией (пси-функцией) и определяют следующим образом: вероятность dp того, что частица находится в элементе объема dV, пропорциональна ||2 и элементу объема dV: dp = ||2dV В этом уравнении волновая функция зависит от координат и времени: = (x,y,z,t) Физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции: ||2, которая имеет смысл плотности вероятности: т. е. определяет вероятность пребывания частицы в данной точке пространства. Другими словами, величина ||2 определяет интенсивность волн де Бройля.

Условие нормировки Из определения волновой функции следует, что она должна удовлетворять следующему условию, называемому условием нормировки вероятностей: где интеграл вычисляется по всему бесконечному пространству. Это условие означает, что пребывание частицы где-либо в пространстве есть достоверное событие и его вероятность равна единице. Квантовая механика не позволяет определить точное местоположение частицы в пространстве или траекторию частицы. С помощью волновой функции можно лишь предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в различных точках пространства. Движение по определенной траектории несовместимо с волновыми свойствами.

Временное (нестационарное) уравнение Шредингера Описания поведения микрочастиц дается в квантовой механике. Для решения этой задачи в квантовой механике нужно учесть двойственность свойств частиц. Основное уравнение квантовой механики должно быть уравнением относительно функции (x, y, z). Это уравнение должно быть волновым уравнением, так как из него должны получить свое объяснение эксперименты по дифракции микрочастиц, указывающие на их волновые свойства. Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики было найдено в 1926 г. Э. Шредингером и имеет следующий вид:

Стационарное уравнение Шредингера Волновая функция (x, y, z) в соответствии с ее физическим смыслом должна быть однозначной, конечной и непрерывной во всей области изменения переменных x, y, z. Вывод: при указанных выше свойствах функции (x, y, z), значение полной энергии Е может принимать определенные дискретные значения. Эти значения называются собственными значениями энергии, а соответствующие им решения уравнения ‑ собственными функциями.

4. Уравнение Шредингера для свободной частицы При свободном движении частицы ее потенциальная энергия U = 0, а скорость движения постоянна (v=const) . Направим ось х вдоль вектора v, а при соответствующем выборе начала отсчета потенциальной энергии положим U = 0. Тогда стационарное уравнение Шредингера примет вид: Оно имеет решение в комплексном виде: где А и В – некоторые действительные постоянные. Решение нестационарного уравнения Шредингера в этом случае имеет вид: Полученное решение представляет собой суперпозицию двух плоских монохроматических волн с циклической частотой ω, равной: Одна из этих волн распространяется в положительном направлении оси х с амплитудой А, другая  в противоположном направлении с амплитудой В.

Уравнение Шредингера для свободной частицы

5. Решение стационарного уравнения Шредингера для частицы в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме Рассмотрим движение частицы вдоль направления х, при этом движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками: х = 0 и х = l. Потенциальная энергия U в этом случае равна:

Решение стационарного уравнения Шредингера для частицы в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме-2 Решение такого уравнения, как известно, имеет вид: (x) = Asin(x + ).

Квантование энергии Из соотношения вытекает, что решение уравнения имеет физический смысл не при всех значениях энергии Е, а только при значениях, удовлетворяющих условию:

Уточним формулу для волновой функции ψ Для определения коэффициента А воспользуемся условием нормировки волновой функции:

Графики для волновой функции ψ Например: для потенциальной ямы с наноскопическими размерами, сопоставимыми с размерами атома (l ~ 10–8 м), собственные значения энергии электрона En образуют последовательность энергетических уровней, расстояние между которыми ΔE = En+1 – En  1 эВ. В потенциальной яме макроскопическими размеров (l~1 см) соседние энергетические уровни отличаются друг от друга на величину ΔE ~10–14 эВ.

6. Гармонический осциллятор Классический гармонический осциллятор представляет собой шарик с массой m, подвешенный на пружине. Если мы направим ось x вдоль оси пружины и за начало отсчета примем положение равновесия шарика, то сила F, действующая на шарик, будет связана с координатой х известной формулой F = –kx, где k – жесткость пружины. Потенциальная энергия шарика имеет вид U = kх2/2 Если такой шарик вывести из состояния равновесия, то он будет совершать гармонические колебания с частотой  = (k/m)1/2.

Квантово- механический осциллятор Для решения задачи о квантово- механическом осцилляторе необходимо найти конечное, однозначное, непрерывное и гладкое решение уравнения Шредингера при U = –kх2/2:

Нулевая энергия Минимальное значение  Е0  (энергия нулевых колебаний) является следствием состояния неопределенности так же, как и в случае частицы в “потенциальной яме”. Наличие нулевых колебаний означает, что частицы не могут упасть на дно ямы, т.к. в этом случае был бы точно определен ее импульс p = 0

Квантово-механическая частица находится на квантованных уровнях энергии Квантово- механическая частица не может «лежать» на дне параболической потенциальной ямы. точно так же как она не может лежать на дне прямоугольной, или какой бы то ни было другой потенциальной ямы конечной ширины.

Графики распределения плотности вероятности волновой функции квантово-механической частицы На нижних рисунках сплошными кривыми изображены кривые распределения плотности вероятности |(x)|2 для тех же состояний квантового осциллятора, а пунктиром – плотность вероятности классического осциллятора в окрестности точки х.

Выводы из графиков Видно, что при малых квантовых числах n квантово- механический осциллятор ведет себя совершенно иначе, чем классический. Вероятность найти классический осциллятор всегда является наибольшей для точек поворота, так как в этих точках его скорость равна нулю, а для квантово- механического осциллятора вероятность оказывается максимальной в точках, соответствующих «пучностям» -функции. Но при больших n усредненная кривая для распределения плотности вероятности квантово-механического осциллятора хорошо согласуется с кривой для классического осциллятора. Следует отметить еще одну особенность квантово- механического осциллятора: квадрат функции |(x)|2 не равен нулю за точками поворота (т. е. вне пределов, ограничивающих движение классического осциллятора).

7. Туннельный эффект Если же высота ямы конечная, то в силу «размытости» волновой функции частицы («выход за границы ямы») существует не равная нулю вероятность того, что частица может находиться за пределами потенциальной ямы. Рассмотрим потенциальную яму, в которой потенциальная энергия отлична от нуля в узком интервале от а до b. Область а < х < b называют потенциальным барьером. Просачивание частиц сквозь потенциальный барьер носит название туннельного эффекта. Будет наблюдаться затухание колебаний -функции. Для описания туннельного эффекта вводится понятие прозрачности потенциального барьера D как отношение вероятности нахождения частицы за барьером к вероятности нахождения частицы перед барьером. Вспомним, что вероятность нахождения частицы определяется квадратом волновой функции. Поэтому, прозрачность потенциального барьера D равна отношению квадратов соответствующих волновых функций:

Туннельный эффект-2 Решение уравнения Шредингера для прямоугольного потенциального барьера конечной высоты U показывает, что прозрачность барьера шириной (b-a) выражается формулой:

Спасибо за внимание! Курс физики для студентов 1-2 курса БГТУ Кафедра физики БГТУ доцент Крылов Андрей Борисович