🗊Презентация Вероятностные модели управления запасами

Вероятностные модели управления запасами

1. Модель с непрерывным контролем уровня запаса Рассмотрим две модели управления запасами: ▪ обобщение модели Уилсона на вероятностный случай, в которой используется страховой запас, отвечающий за случайный спрос; ▪ вероятностная модель, учитывающая вероятностный характер спроса непосредственно в постановке задачи.

1.1 «Рандомизированная» модель Уилсона Адаптируем модель Уилсона для вероятностного спроса, предполагая существование постоянного страхового запаса на протяжении всего планового периода. Его размер устанавливается так, чтобы вероятность истощения запаса в течение срока выполнения заказа (интервала между моментом размещения заказа и его поставкой) не превышала наперед заданной величины Основным предположением при построении модели является то, что случайная величина ХТ, представляющая величину спроса на протяжении срока выполнения заказа T (время от момента размещения заказа до его поставки) является нормально распределенной случайной величиной со средним νТ и стандартным отклонением σТ т.е. имеет распределение N(νТ,σТ)

Величина спроса на протяжении срока выполнения заказа Т обычно описывается плотностью распределения вероятностей, отнесенной к единице времени (например, к дню или неделе), из которой можно определить распределение спроса на протяжении периода Т. В частности, если спрос за единицу времени является нормально распределенной случайной величиной со средним ν и стандартным отклонением σ, то общий спрос на протяжении срока выполнения заказа Т будет иметь распределение N(νТ, σТ), где νТ= νТ и σТ= . Формула для σТ получена на основании того, что значение Т является целым числом (или же округлено до целого числа).

Введем следующие обозначения. ▪ В — размер страхового запаса; ▪ α — максимально возможное значение вероятности истощения запаса на протяжении срока выполнения заказа. На рис. 1 показана зависимость между В и параметрами модели Уилсона, которая включает T, νТ и оптимальный размер заказа Q*. T Время Рис. 1

Вероятностное условие, которое определяет размер страхового запаса В, имеет вид: По определению случайная величина является нормированной нормально распределенной случайной величиной, т.е. имеет распределение N(0, 1). Следовательно, и размер страхового запаса должен удовлетворять неравенству B≥σТKα. где величина Kα определяется из табл. стандартного нормального распреде- ления, так что

Формула Феттера

1.2. Стохастическая модель Уилсона "Рандомизированная" модель Уилсона не дает оптимальную политику управления запасами. Информация, имеющая отношение к вероятностной природе спроса первоначально не учитывается, а используется лишь независимо на последнем этапе вычислений. Рассмотрим более точную модель, в которой вероятностная природа спроса учитывается непосредственно в постановке задачи.

В новой модели допускается неудовлетворенный спрос (рис. 2). Заказ размером Q размещается тогда, когда объем запаса достигает уровня Q0. Как и в детерминированном случае, уровень Q0, при котором снова размещается заказ, является функцией периода времени между размещением заказа и его выполнением. Оптимальные значения Q* и Q0* определяются минимизацией ожидаемых затрат системы управления запасами, отнесенных к единице времени; они включают расходы на размещение заказа, на хранение, и потери, связанные с неудовлетворенным спросом. Рис. 2

В рассматриваемой модели приняты три допущения. 1. Неудовлетворенный в течение срока выполнения заказа спрос накапливается. 2. Разрешается не более одного невыполненного заказа. 3. Распределение спроса в течение срока выполнения заказа является стационарным (неизменным) во времени. Обозначения: ▪ f(x) — плотность распределения спроса х в течение срока выполнения заказа.

Основываясь на этих определениях, вычислим компоненты функции затрат. 1. Стоимость размещения заказов. Приближенное число заказов в единицу времени равно ν/Q, так что стоимость размещения заказов в единицу времени равна Kν/Q. 2. Ожидаемые затраты на хранение. Средний уровень запаса равен Следовательно, ожидаемые затраты на хранение за единицу времени равны hǬ. Приведенная формула получена в результате усреднения ожидаемых запасов в начале и конце временного цикла, т.е. величин Q + M(Q0-х) и M(Q0-х) соответственно. При этом игнорируется случай, когда величина Q0-М(х) может быть отрицательной, что является одним из упрощающих допущений рассматриваемой модели.

3. Ожидаемые потери, связанные с неудовлетворенным спросом. Дефицит возникает при х > Q0. Следовательно, ожидаемый дефицит за цикл равен Тогда ожидаемые потери, связанные с неудовлетворенным спросом, за один цикл равны yp. Поскольку единица времени содержит ν/Q циклов, то ожидаемые потери, обусловленные дефицитом, составляют νyp/Q за единицу времени. Результирующая функция общих потерь за единицу времени L имеет следующий вид.

Оптимальные значения Q* и Q0* определяются из уравнений. Для нахождения производной от интеграла функции двух переменных воспользуемся формулой Лейбница:

Для определения Q* и Q0* получаем: Следовательно, имеем (1), (2) Так как из уравнений (1) и (2) Q* и Q0* нельзя определить в явном виде, для их нахождения используется численный алгоритм, предложенный Хедли и Уайтин (Hadley, Whitin). Доказано, что алгоритм сходится за конечное число итераций при условии, что допустимое решение существует.

При Q0 = 0 последние два уравнения соответственно дают следующее. Если , тогда существуют единственные оптимальные значения для Q и Q0. Вычислительная процедура определяет, что наименьшим значением Q* является , которое достигается при y = 0. Алгоритм состоит из следующих шагов. Шаг 0. Принимаем начальное решение и считаем (Q0)0 = 0. Полагаем i = 1 и переходим к шагу i. Шаг i. Используем значение Qi для определения (Q0)i, из уравнения (2). Если (Q0)i≈ (Q0)i-1, вычисления заканчиваются; оптимальным решением считаем Q* = Qi и (Q0)* = (Q0)i. Иначе используем значение (Q0)i в уравнении (1) для вычисления Qi+1. Полагаем i = i+1 и повторяем шаг i.

2. Одноэтапные модели Одноэтапные модели управления запасами отражают ситуацию, когда для удовлетворения спроса в течение определенного периода продукция заказывается только один раз. Например, модный сезонный товар устаревает к концу сезона, и, следовательно, заказы на него могут не возобновляться. В данном разделе рассматривается два типа таких моделей: с учетом и без учета затрат на оформление заказов. Обозначим: с — стоимость закупки (или производства) единицы продукции, R — наличный запас продукта перед размещением заказа, А – ожидаемый спрос за период. f(А) — плотность вероятности спроса за рассматриваемый период, Модель определяет оптимальный объем заказа Q, который минимизирует суммарные ожидаемые затраты, связанные с закупкой (или производством), хранением и неудовлетворенным спросом. При известном оптимальном значении Q* оптимальное управление запасами состоит в размещении заказа объемом Q* - R, если R < Q*; в противном случае заказ не размещается.

2.1. Модель при отсутствии затрат на оформление заказа В этой модели принято следующее. 1. Спрос удовлетворяется мгновенно в начале периода непосредственно после получения заказа. 2. Затраты на размещение заказа отсутствуют. Рис. 3 иллюстрирует состояние запаса после удовлетворения спроса А. Если А <Q, запас Q—А хранится на протяжении периода. Если же А > Q, возникает дефицит объема А — Q. Рис. 3

Ожидаемые затраты М(L(Q)) на период выражаются следующей формулой. Можно показать, что функция М(L(Q)) является выпуклой по Q и, таким образом, имеет единственный минимум. Следовательно, вычисляя первую производную функции М(L(Q)) по Q и приравнивая ее к нулю, получим или Отсюда имеем Правая часть последней формулы известна как критическое отношение. Значение Q* определено только при условии, что критическое отношение неотрицательно, т.е. p ≥ c. Случай, когда p < c, является бессмысленным, так как это предполагает, что стоимость закупки единицы продукции выше потери от неудовлетворенного спроса.

Ранее предполагалось, что спрос A является непрерывной случайной величиной. Если же A является дискретной величиной, то плотность распределения вероятностей f(A) определена лишь в дискретных точках и функция затрат определяется в соответствии с формулой. Необходимыми условиями оптимальности являются неравенства М(L(Q - 1)) ≥ М(L(Q)) и М(L(Q + 1)) ≥ М(L(Q)). Эти условия в данном случае являются достаточными, так как функция М(L(Q)) выпукла. Применение этих условий после некоторых алгебраических преобразований приводит к следующим неравенствам для определения Q*.

2.2. Модель при наличии затрат на оформление заказа Данная модель отличается от выше представленной тем, что учитывается стоимость К размещения заказа. Используя обозначения, введенные выше, получаем следующее выражение для суммарной ожидаемой стоимости. Как показано в разделе 2.1, оптимальное значение Q* должно удовлетворять соотношению

Так как К является константой, минимум величины также должен достигаться при Q*, как показано на рис. 4. Заказывать Не заказывать Рис. 4 На рис. 4 S = Q* и величина s< S определяются из уравнения (Отметим, что это уравнение имеет и другое решение s1 > S, которое не рассматривается.)

Задача формулируется следующим образом. Какое количество продукции необходимо заказывать, если наличный запас перед размещением заказа составляет R единиц? Ответ на этот вопрос рассматривается по отдельности при выполнении следующих условий. 1. R<s. 2. s≤R≤S. 3. R>S. Случай 1 (R < s). Так как в наличии имеется R единиц продукции, соответствующие издержки содержания запаса составляют М(L(R)). Если заказывается любое дополнительное количество продукции (Q > R), то соответствующие затраты при заданной величине Q равны величине , которая учитывает стоимость К размещения заказа. Из рис. 4 следует, что Следовательно, оптимальной стратегией управления запасами в этом случае будет заказ в S - R единиц.

Случай 2 (s≤R≤S). Из рис. 4 видно, что Следовательно, в данном случае дополнительных затрат не возникает, если новый заказ не размещается. Поэтому Q* =R. Случай 3 (R> S). Из рис. 4 видно, что при Q > R Это неравенство показывает, что в данном случае экономнее будет не размещать заказ, т.е. Q*=R. Описанная стратегия управления запасами определяется следующим правилом. Если R < s, делать заказ объемом S - R, если R ≥ s, заказывать не следует. (Оптимальность стратегии (ее часто называют s-S-стратегией) следует из того, что соответствующая функция затрат является выпуклой. Если это свойство не выполняется, данная стратегия перестает быть оптимальной.)

3. Многоэтапные модели В многоэтапной модели учитывается приведенная стоимость денег. Если α< 1 – коэффициент дисконтирования (процент скидки) для одного этапа, то сумма С спустя n этапов будет эквивалентна сумме αnС в настоящий момент. Предположения: - горизонт планирования охватывает n этапов; - не учитывается стоимость размещения заказа; - предусматривается возможность задолженности; - нулевое время поставки; - спрос А в каждый период описывается стационарной (не зависящей от времени) плотностью вероятности f(А); - неудовлетворенный спрос может оставаться таковым лишь на протяжении одного этапа. Пусть Fi(Ri) — максимальная суммарная ожидаемая прибыль для этапов от i до n, определенная при условии, что Ri — уровень имеющегося запаса перед размещением заказа на i-м этапе.

Используя обозначения из раздела 2 и предполагая, что g — удельный доход от реализации единицы продукции, сформулируем задачу управления запасами в виде следующей задачи динамического программирования. где Fn+1(Qn- A) ≡ 0. Величина Ri может принимать отрицательные значения, так как неудовлетворенный спрос может накапливаться. Величина αg(A-Qi) включена во второй интеграл, поскольку A-Qi представляет собой неудовлетворенный спрос на i-м этапе, который должен быть удовлетворен на этапе i+1.

Задачу можно решить рекуррентно методами динамического программирования. Если число этапов является бесконечным (бесконечный горизонт планирования), приведенное выше рекуррентное уравнение сводится к следующему. где R и Q представляют собой уровни запаса на каждом этапе до и после получения заказа соответственно. Оптимальное значение Q можно определить из приведенного ниже необходимого условия, которое в данном случае является также достаточным, так как функция ожидаемой прибыли F(R) является вогнутой.

Величина определяется следующим образом. Если на начало следующего этапа уровень запаса еще составляет β > 0 единиц, то прибыль на этом этапе возрастает на величину cβ, так как объем последующего заказа уменьшается именно на эту величину. Это означает, что Следовательно, необходимое условие принимает вид Поэтому оптимальный уровень заказа Q* определяется из уравнения Оптимальная стратегия каждого этапа при заданном исходном запасе R выражается следующим правилом. Если R < Q*, делать заказ объемом Q* - R, если R ≥ Q*, заказа не делать.