🗊Презентация Аналитический метод кинематического анализа. Функции положения. Аналоги скоростей и ускорений

Тема 4 4.5. Аналитический метод кинематического анализа. 4.5.1. Функции положения. Аналоги скоростей и ускорений. Графический и графоаналитический методы кинематического анализа обладают невысокой точностью и значительной трудоемкостью. Этих недостатков лишен аналитический метод кинематического анализа. Для кинематического анализа аналитическим методом должны быть известны аналитические зависимости, связывающие координаты ведомых звеньев с координатами ведущего или начального звена. Эти зависимости не будут являться явными функциями времени, поскольку будут зависеть от координаты ведущего или начального звена. Введем понятия функции положения и аналогов скоростей и ускорений.

Тема 4 Функцией положения называется аналитическая зависимость, определяющая положение или координаты ведомого звена механизма относительно ведущего звена. Для механизма, показанного на рис., будем иметь: К (1) – функция положения ведомого звена; XK (1); YK (1) – функции положения точки, принадлежащей звену, где К; XK и YK – угловая и линейные координаты, определяющие положение ведомого звена или K-той точки этого звена; угол 1 – угол, характеризующий положение ведущего звена. Для нашего механизма: – аналог угловой скорости ведомого звена; ; – аналоги проекций линейной скорости K-той точки звена.

Тема 4 С помощью аналогов скоростей можно определить истинные значения линейной или угловой скоростей ведомых звеньев. Например, истинное значение угловой скорости ведомого звена будет равно , где угловая скорость ведущего звена. Из последнего выражения можно установить физический смысл аналога угловой скорости . Аналог угловой скорости ведомого звена представляет собой угловую скорость ведомого звена при . Это – безразмерная величина. Аналогом ускорения ведомого звена называется вторая производная обобщенной координаты этого звена по обобщенной координате ведущего звена механизма.

Тема 4 Для нашего механизма: – аналог углового ускорения; – аналог проекции линейного ускорения К-той точки ведомого звена. Используя аналоги скоростей и ускорений, можно определить истинные значения линейных и угловых ускорений ведомых звеньев. Например, истинное значение углового ускорения ведомого звена будет равно  ɛk=()= + = ɛ1+ где ɛ1 – угловое ускорение ведущего звена. Аналогичным образом можно найти истинные значения проекций линейного ускорения К-той точки ведомого звена: ; .

Тема 4 4.5.2. Кинематический анализ механизмов аналитическим методом. Одной из основных проблем аналитического метода кинематического анализа является получение функций положения. Для нахождения этих функций применяются два метода: метод замкнутого векторного контура (метод Зиновьева) и метод преобразования координат (метод Морошкина). При использовании метода замкнутого векторного контура положение какого-либо звена механизма относительно ведущего определяется в виде замыкающей стороны векторного многоугольника, построенного на векторах, равных по модулю длинам соответствующих звеньев и совпадающих по направлению с ними относительно выбранной системы координат, с соблюдением единства отсчета углов, характеризующих эти направления. Функции положения находятся из уравнений проекций замкнутого векторного многоугольника на координатные оси. Метод преобразования координат заключается в нахождении аналитических зависимос­тей, связывающих координаты ведомых звеньев с координатами ведущего звена механизма, на основе использования соответствующих геометрических уравнений преобразования этих координат.

Тема 4 Путем дифференцирования полученных функций положения по обобщенной координате ведущего звена сначала находятся аналоги скоростей и ускорений ведомых звеньев, а затем, на основе вышеприведенных зависимостей и известном законе движения ведущего звена, - истинные значения скоростей и ускорений. Аналитический метод кинематического анализа механизмов позволяет получить практически любую точность вычисления положений, скоростей и ускорений звеньев. Однако, как показывает опыт его применения, выражения для функций положения, аналогов скоростей и ускорений имеют весьма громоздкий вид и требуют значительных затрат времени на их получение. Проведение подобных расчетов невозможно без широкого использования компьютерной техники. Рассмотрим примеры нахождения функций положения и кинематического анализа механизмов аналитическим методом.

Тема 4 4.5.3. Аналитическое исследование кривошипно-шатунного механизма методом замкнутого векторного контура Рассмотрим нецентральный кривошипно-шатунный механизм, в котором известны следующие параметры: длины кривошипа и шатуна , смещение осей a, положение ведущего звена угловая скорость . Требуется определить функции положения ползуна и шатуна, а также их скорости и ускорения. Для нахождения функций положения воспользуемся методом замкнутого векторного контура. Выбираем начало отсчета системы координат (т. O1), строим векторный контур O1OAB и составляем векторное уравнение Спроектируем это уравнение на оси координат: ; (1) (2) .

Тема 4 Определение функций положения Из (2) следует, что . Из последнего выражения получаем функцию положения шатуна: . (3) Функция положения для ползуна: (4)

Тема 4 2. Определение скоростей Продифференцируем уравнения (1) и (2) по : ; (5)  . (6) Найдём из (6) аналог скорости шатуна Тогда угловая скорость шатуна: . Из (5) найдем аналог скорости ползуна Определяем истинное значение скорости ползуна:  

Тема 4 3. Определение ускорений. Продифференцируем уравнение (5) и (6) по :   Из (8) находим аналог углового ускорения шатуна , а затем - истинное значение этого ускорения: Подставляя аналог углового ускорения шатуна в (7), получим аналог линейного ускорения ползуна , а затем - истинное значение этого ускорения:

Тема 4 4.5.4. Определение функции положения методом преобразования координат Метод преобразования координат заключается в нахождении математической зависимос­ти между координатами ведомого и ведущего звеньев механизма на основе геометрических соотношений. Покажем применение этого метода на примере центрального кривошипно-шатунного механизма. Пусть в качестве исходных данных известны: длины кривошипа l1 и шатуна l2, положение ведущего звена, частота вращения . Требуется определить функцию положения ползуна 3 – зависимость координаты точки В ползуна SB от угла поворота .

Тема 4 Опустив из точки А пер­пендикуляр на линию движения ползуна, отметим точку его пересечения D. Тогда SB = OD + DB = l1 cos(180 - ) + l2 cos = -l1 cos + l2 cos. (9) Выразим угол через угол С одной стороны, высота перпендикуляра AD равна AD = (10) а с другой AD = (11) Приравнивая (10) и (11), найдем l2). (12) Подставляя (12) в (9), определим функцию положения: SB = -l1 cos + l2 cos [l2)].

Тема 5. Кинетостатический (силовой) анализ механизмов 5.1. Задачи и методы силового анализа. Силовой анализ – это изучение влияния внешних сил на звенья механизмов, кинематические пары и неподвижные опоры. Исследование действия сил необходимо для расчета звеньев механизма на прочность, жесткость, вибростойкость, износоустойчивость, для расчетов подшипников на долговечность, а также для определения движущих сил и моментов сил, приложенных к начальным (ведущим) звеньям. В результате силового анализа можно также определить пути уменьшения динамических нагрузок, повышения динамической точности и виброустойчивости машин и механизмов, а также спроектировать машину или механизм с минимальными габаритными размерами и массой. Исходными данными при силовом анализе являются: – закон (законы) движения начального звена (звеньев); – внешние силы, действующие на механизм.

Тема 5 При силовом анализе решаются две прикладные задачи: – определение реакций в кинематических парах; – нахождение движущих сил или моментов сил, приложенных к начальному звену (звеньям). Для проведения силового анализа механизмов используются два метода: – статический – это метод силового анализа механизмов, базирующийся на уравнениях статического равновесия; – кинетостатический – метод силового анализа механизмов, основанный на использовании принципа Даламбера. Статический метод силового анализа применяется для анализа механизмов, находящихся в покое, работающих на установившихся режимах или движущихся с незначительными ускорениями. Уравнения статического равновесия: где Fi – внешние силы, приложенные к механизму или его звеньям, включая и реакции связей; Mi –  моменты внешних сил, приложенные к механизму или его звеньям; f – количество внешних сил; m – количество моментов сил.

Тема 5 Кинетостатический метод силового анализа применяется для исследования механизмов, работающих в так называемых старт-стопных режимах и движущихся со значительными ускорениями. Он основан на использовании известного из теоретической механики принципа Даламбера: если к действующим на тело внешним силам добавить силы инерции, то тело можно рассматривать находящимся в состоянии условного равновесия. Этот принцип позволяет применить к подвижным звеньям механизмов уравнения статического равновесия, используемые для силового анализа неподвижных тел: где Fui, Mui – сила инерции и моменты от пары сил инерции, действующие на i-е звено механизма; с – количество сил инерции; k – количество моментов пар сил инерции. Следует отметить, что силы инерции относятся к разряду внешних сил условно и входят в уравнения равновесия как чисто математические величины, посредством которых учитывается влияние ускоренного движения звеньев.