🗊Презентация Частотные характеристики дискретных систем

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ Цифровые системы автоматического управления

Амплитудно-фазовая частотная характеристика импульсной системы – отношение выходного сигнала к входному сигналу в комплексной форме Амплитудно-фазовая частотная характеристика импульсной системы – отношение выходного сигнала к входному сигналу в комплексной форме т.е.функция W*(j) = W(ejT), получающаяся из Z-ПФ W(z) в результате подстановки z=ejT Амплитудно – частотная характеристика (АЧХ) импульсной системы - функция A*() = W(ejT)  Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) импульсной системы - функция *()=argW(ejT)

Логарифмические частотные характеристики

Псевдочастотные характеристики Переход к псевдочастоте  осуществляется на основе билинейного преобразования Введем комплексную величину , связанную с комплексной величиной z билинейным преобразованием:

Псевдочастотные характеристики Сделав подстановку z=ejT где относительная псевдочастота Абсолютная псевдочастота – на малых частотах  можно заменить псевдочастоту действительной круговой частотой

необходимо выполнить подстановку в W(z) необходимо выполнить подстановку в W(z) Заменить Получим - частотная характеристика W*(j) в функции псевдочастоты  - псевдочастотная характеристика (ПЧХ) В области псевдочастот частотные характеристики дискретных систем имеют те же свойства, что и у непрерывных систем

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ Цифровые системы автоматического управления

Линейная ИС устойчива тогда и только тогда, когда ее реакция на любое ограниченное воздействие ограничена Линейная ИС устойчива тогда и только тогда, когда ее реакция на любое ограниченное воздействие ограничена Система устойчива «в малом», если определён факт наличия устойчивости, но не определены её границы. Система устойчива «в большом», когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы. Постановка задачи исследования систем на устойчивость 1) устойчива ли система при заданном значении её параметров; 2) в каких диапазонах можно изменять параметры системы, не нарушая её устойчивости.

Общее условие устойчивости Импульсная система устойчива если все корни лежат в круге единичного радиуса. Если хотя бы один корень |zi| > 1, система будет неустойчивой. Если хотя бы один корень |zi| = 1 при всех остальных |zn-i| < 1, в системе будут наблюдаться незатухающие колебания (граница устойчивости).  устойчивость обеспечивается, если полюсы |zi|=1 представляют собой полюсы первого порядка ПФ W(z)

Алгебраические критерии устойчивости импульсных систем Рассмотрим характеристическое уравнение системы: B(z)=b0zn + b1zn-1 +…+ bn-1z + bn=0 Применим к нему билинейное преобразование: коэффициенты ai i=0..n выражаются через коэффициенты bi i=0..n К уравнению можно применить критерии устойчивости непрерывных систем (Рауса, Гурвица, Михайлова и т д)

Критерий Гурвица Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы были положительными n – главных определителей матрицы Гурвица, составленной из коэффициентов характеристического уравнения

Алгебраический критерий Шур-Кона Рассмотрим характеристическое уравнение системы: B(z)=b0zn + b1zn-1 +…+ bn-1z + bn=0 Корни характеристического уравнения будут лежать внутри единичной окружности, если коэффициенты уравнения удовлетворяют следующим условиям: Δk <0 для нечетных k Δk >0 для четных k, где Δk - определитель Шур-Кона

Частотные критерии устойчивости импульсных систем Аналог критерия Михайлова для ИС Рассмотрим характеристическое уравнение системы: B(z)=b0zn + b1zn-1 +…+ bn-1z + bn=0 Проведем замену переменной z=ejT  Число m корней многочлена B(z), лежащих внутри единичной окружности, равно r/2 , где r – число квадрантов, обходимых последовательно в положительном направлении годографом B(ejT) при изменении  от 0 до /T Для устойчивости системы необходимо, чтобы n=r/2

Необходимые условия критерия Михайлова для нечетного n для четного n

Критерий Найквиста Пусть характеристическое уравнение разомкнутой ИС имеет l корней вне единичного круга плоскости Z Для того, чтобы замкнутая ИС была устойчива необходимо и достаточно, чтобы годограф W(ejT) при изменении 0≤≤/T охватывал точку (-1, j0) на комплексной плоскости Z l /2 раз

Анализ устойчивости импульсных систем методом ЛПЧХ Если разомкнутая ИС устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы в интервале псевдочастот, где ЛАПЧХ дискретной системы положительна, разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛФПЧХ через линию - была равна нулю: П+ - П- =0 Положительным переходом считается переход в сторону возрастания ЛФПЧХ, отрицательным – в сторону убывания ЛФПЧХ

Если ПФ разомкнутой системы имеет полюсы, лежащие на единичной окружности Полюсу z=1 соответствует ==0  Так как при =0 учитывается не вся величина скачка ФХ, а только его половина, то при исследовании устойчивости для =0 следует дополнить ФХ скачком на -r/2 , где r – порядок полюса z=1

Запасы устойчивости по амплитуде ΔA и по фазе Δφ Запас устойчивости по амплитуде показывает, во сколько раз можно увеличить коэффициент передачи разомкнутой системы без потери устойчивости Запас по фазе показывает величину дополнительного допустимого фазового запаздывания, при котором система еще устойчива

Устойчивость дискретных систем в моменты квантования и между ними. Система, устойчивая в дискретные моменты времени, может оказаться неустойчивой в моменты квантования и между ними Это явление называется скрытым раскачиванием Для получения информации о процессах в моменты времени между моментами квантования используют ПФ, полученные на основе модифицированного z – преобразования ПФ замкнутой системы для смещенных моментов времени

Пусть Пусть а модифицированная Z – ПФ –

Если нули многочленов B1(z) и B2(z) не совпадают, то модифицированная Z – ПФ может иметь полюсы, не входящие в число особых точек ПФ Wзамк(z) Если нули многочленов B1(z) и B2(z) не совпадают, то модифицированная Z – ПФ может иметь полюсы, не входящие в число особых точек ПФ Wзамк(z) При этом возможны следующие варианты Если корни полиномов A(z)+B(z) и B1(z) удовлетворяют условиям устойчивости, т е имеют модули, меньше единицы, то система устойчива как в тактовые моменты времени, так и между ними Если имеются корни B1(z), такие, что |z|>1, а корни полинома A(z)+B(z) удовлетворяют условиям устойчивости, то система устойчива в тактовые моменты времени и неустойчива в промежутках между тактами Это соответствует скрытым колебаниям