🗊Презентация Динаміка твердого тіла. Лекція 3

ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА Лекція 3

Момент інерції тіла Будь-яке тверде тіло (ТТ) можна умовно поділити на таку кількість N малих частин, щоб розміри їх були малі порівняно з розмірами цього тіла. Тоді ТТ можна розглядати як систему з N матеріальних точок (МТ), а маса ТТ дорівнюватиме (маса – адитивна, тобто маса тіла дорівнює арифметичній сумі мас його окремих частин)

При вивченні обертального руху ТТ користуються поняттям моменту інерції. Воно базується на уявленні про масу як міру інертності. У випадку обертального руху не досить знати, якою є маса тіла. При вивченні обертального руху ТТ користуються поняттям моменту інерції. Воно базується на уявленні про масу як міру інертності. У випадку обертального руху не досить знати, якою є маса тіла. Необхідно також знати, як маса розподілена відносно осі обертання. Наприклад, у фігурному катанні, якщо спортсмен складає руки вздовж тіла, то швидкість його обертання збільшується, коли руки розводить - сповільнюється. Маса ж залишається однаковою в обох випадках. Змінюється розподіл маси відносно осі обертання. При цьому якраз і відбувається зміна моменту інерції.

Моментом інерції матеріальної точки масою mі відносно осі обертання z називається фізична величина, що дорівнює добутку маси МТ на квадрат її відстані до осі обертання Z Моментом інерції матеріальної точки масою mі відносно осі обертання z називається фізична величина, що дорівнює добутку маси МТ на квадрат її відстані до осі обертання Z Моментом інерції тіла (системи тіл) відносно осі обертання Z називається cкалярна ФВ рівна сумі добутків мас всіх МТ системи на квадрати їх відстаней до осі обертання Z

Моменти інерції тіл правильної форми

дозволяє знаючи момент інерції тіла відносно осі, яка проходить через його центр мас, визначити момент інерції відносно будь-якої іншої паралельної до неї осі: дозволяє знаючи момент інерції тіла відносно осі, яка проходить через його центр мас, визначити момент інерції відносно будь-якої іншої паралельної до неї осі: момент інерції тіла Ja відносно довільної осі обертання дорівнює сумі моменту інерції цього тіла Jс відносно паралельної їй осі , яка проходить через центр мас (С), та добутку маси m тіла на квадрат відстані d між осями

Кінетична енергія тіла, що обертається Нехай маємо ТТ, що обертається навколо осі z. Уявно розділимо його на n маленьких об’ємів з елементарними масами mi , які розташовані на відстані ri від осі обертання. При обертанні ТТ відносно нерухомої осі його елементарні об’єми будуть описувати кола різних радіусів ri і відповідно мати різні лінійні швидкості vi. Але оскільки ми розглядаємо абсолютно тверде тіло (АТТ), то кутова швидкість обертання цих об’ємів однакова, отже для усіх елементарних об'ємів (а їх можна вважати МТ) Кінетичну енергію елементарного об’єму масою mi визначають, як

Кінетична енергія тіла, що обертається Кінетична енергія тіла, що обертається

При порівнянні виразів для кінетичних енергій поступального і обертального рухів видно, що при обертальному русі момент інерції є аналогом маси при поступальному, тобто При порівнянні виразів для кінетичних енергій поступального і обертального рухів видно, що при обертальному русі момент інерції є аналогом маси при поступальному, тобто момент інерції є мірою інертності тіла при його обертальному русі! Якщо ж маємо складний рух, наприклад куля масою m котиться по похилій площині без ковзання, тобто приймає участь як в поступальному, так і у обертальному рухах одночасно, то повна кінетична енергія складається із суми відповідних енергій поступального руху та енергії обертання:

Момент сили Для характеристики зовнішньої механічної дії на тіло, яка призводить до зміни обертального руху тіла, вводять поняття моменту сили. Розрізняють момент сили відносно точки та відносно осі обертання. Момент сили відносно нерухомої точки (центру обертання) – це фізична величина, яка визнача- ється векторним добутком радіус-вектора, проведеного із т.О в точку прикладання сили, та цієї сили

Моментом сили відносно нерухомої осі OZ називається скалярна величина, рівна проекції на цю вісь вектора момента сили, визначеного відносно довільної точки О заданої осі Z. Значення його не залежить від вибору положення точки на осі Z. Моментом сили відносно нерухомої осі OZ називається скалярна величина, рівна проекції на цю вісь вектора момента сили, визначеного відносно довільної точки О заданої осі Z. Значення його не залежить від вибору положення точки на осі Z. Розмірність моменту сили в системі СІ 1 Н·м.

Векторна сума моментів всіх зовнішніх сил, які прикладені до тіла називається головним моментом зовнішніх сил відносно точки Векторна сума моментів всіх зовнішніх сил, які прикладені до тіла називається головним моментом зовнішніх сил відносно точки Головний (результуючий) момент відносно нерухомої осі ОZ системи характеризує здатність сили обертати систему (тіло) навколо цієї осі та дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх сил системи відносно цієї осі

Основне рівняння динаміки обертального руху ТТ Існують такі осі обертання тіл, які не змінюють своєї орієнтції без дії на них зовнішніх сил. Такі осі називаються вільними (або осями вільного обертання). В будь-якому тілі існують три взаємно перпендикулярні осі, які проходять через центр мас тіла і можуть бути вільними осями. Їх називають головними осями інерції. Якщо вісь обертання ТТ співпадає з головною віссю інерції, яка проходить через центр мас, має місце векторна рівність.

Основне рівняння динаміки обертального руху ТТ Рівність можна також записати наступним чином: () Кутове прискорення ТТ, яке обертається навколо нерухомої осі ОZ, прямо пропорційне результуючому моменту відносно цієї осі всіх зовнішніх сил, що діють на тіло і обернено пропорційне моменту інерції тіла відносно тієї ж осі. Обидва ці рівняння називають рівнянням динаміки обертального руху ТТ. (Індекс Z означає, що обертання і момент інерції твердого тіла розглядаються відносно осі Z)

Момент імпульсу Аналогом імпульсу як характеристики поступального руху є характеристика обертального руху, яка називається моментом імпульсу МТ (тіла). Моментом імпульсу МТ відносно нерухомої точки називається векторна ФВ, рівна векторному добутку радіус-вектора МТ, проведеного з даної точки, на імпульс цієї МТ або або

Моментом імпульсу МТ відносно нерухомої осі Z називається скалярна величина, яка дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту імпульсу відносно довільної точки на осі Z. Моментом імпульсу МТ відносно нерухомої осі Z називається скалярна величина, яка дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту імпульсу відносно довільної точки на осі Z. Момент імпульсу ТТ відносно точки - векторна величина рівна векторній сумі моментів імпульсу всіх МТ, з яких складається ТТ

Момент імпульсу Для обертального руху МТ по колу радіуса Ri момент імпульсу відносно осі задається формулою Для ТТ момент імпульсу відносно осі Z знаходиться як сума відповідних моментів імпульсу усіх його точок Отже,

Основний закон динаміки обертального руху Тобто момент інерції ТТ відносно осі дорівнює добутку моменту імпульсу та кутової швидкості. Візьмемо похідну від цього виразу за часом: У векторній формі отримаємо наступний запис: Це більш загальна форма основного закону динаміки обертального руху

Швидкість зміни моменту імпульсу дорівнює моменту обертальної сили (якщо діє кілька моментів сил, то результуючому моменту) Це рівняння іноді називають рівнянням моментів: похідна за часом від моменту імпульсу МТ відносно нерухомої точки - полюса дорівнює моменту рушійної сили, що діє відносно того ж полюсу. Також з цієї рівності випливає закон збереження моменту імпульсу

Закон збереження моменту імпульсу: момент імпульсу замкненої системи зберігається, тобто не змінюється із часом Дійсно, за відсутності моменту зовнішніх сил (система замкнена) результуючий момент , отже і похідна від моменту імпульсу дорівнює 0, а сам момент імпульсу є сталим Наслідком цього закону також є те, що кутову швидкість замкненої системи можна змінити за допомогою зміни її моменту інерції.

Аналогія між лінійними та кутовими характеристиками Запис основного закону динаміки обертального руху аналогічний загальній формі запису ІІ закону Ньютона