🗊Презентация Эконометрика. Элементы теории вероятностей и математической статистики. (Тема 1)

Эконометрика Тема 1

Литература Эконометрика. Книга 1, Ч.1,2: учебник. / Носко В.П. — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2011. — 672 с. - [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.twirpx.com/file/716103/ Эконометрика. Книга 2, Ч.3,4: учебник. / Носко В.П. — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2011. — 576 с. - [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.twirpx.com/file/721946/ Эконометрика: учебник/ [К. В. Балдин и др.]; под ред. В. Б. Уткина. - 2-е изд. - М.: Дашков и К, 2011. - 562 с. Эконометрика: учеб. для вузов по специальности "Математические методы в экономике" / В. А. Валентинов. - 2-е изд. - М. : Дашков и К°, 2010. - 445 с. - [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://library.pgups.ru/ Эконометрика: Учебник. / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко — М.: ЮНИТИ-ДАНА — 3-е издание, перераб. и доп. — 2010. — 328 с. - [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.twirpx.com/file/1482079/ Эконометрика: учеб. для вузов по спец. 080601 "Статистика" и другим междисциплинар. спец.: учеб./ ред.: И. И. Елисеева [и др.]. - М.: Проспект, 2010. - 288 с. Гореева Н.М., Демидова Л.Н, Клизогуб Л.М. и др. Эконометрика в схемах и таблицах. Учебное пособие под ред. д-ра экон. наук, проф. С. А. Орехова. - М.: Эксмо, 2008 - 224с. - [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.twirpx.com/file/240925/  Эконометрика: учеб. пособие/ А. Н. Мардас; ПГУПС. - СПб.: ПГУПС, 2007. - 176 с.

Тема 1. Введение. Элементы теории вероятностей и математической статистики. Случайные величины и их числовые характеристики. Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины. Некоторые распределения случайных величин. Многомерные случайные величины. Условные законы распределения. Двумерный (n-мерный) нормальный закон распределения. Закон больших чисел и предельные теоремы. Точечные и интервальные оценки параметров. Проверка (тестирование) статистических гипотез

Вероятность события А: Вероятность события А: Р(А)= m/n, где m - число случаев, благоприятствующих событию А, n - общее число случаев. Статистическая вероятность Р*(А) - относительная частота (частость) W(А) появления события А в n произведенных испытаниях. Cлучайная величина (сл. в.) - переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно - заранее не известно). Дискретная сл. в.: множество возможных значений конечно или счетно (пример - число произведенных выстрелов до первого попадания). Непрерывная сл. в.: множество возможных значений бесконечно и несчетно (пример - дальность полета артиллерийского снаряда). Закон распределения сл. в. – всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями сл. в. xi и соответствующими им вероятностями pi. Две случайные величины независимые, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Закон распределения дискретной сл. в.: может быть задан в виде таблицы, аналитически и графически, пример – ряд распределения сл.в.: Закон распределения дискретной сл. в.: может быть задан в виде таблицы, аналитически и графически, пример – ряд распределения сл.в.: при этом: Числовые характеристики сл. в. - числа, в сжатой форме выражающие наиболее существенные черты распределения сл. в. (основные: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение). Математическое ожидание (среднее значение) М(Х) дискретной сл. в. Х:

Дисперсия D(X) сл. в. Х - характеризует отклонение (разброс, рассеяние, вариацию) значений сл. в. относительно среднего значения: Дисперсия D(X) сл. в. Х - характеризует отклонение (разброс, рассеяние, вариацию) значений сл. в. относительно среднего значения: Для дискретной сл. в. Х: Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение или стандарт) сл. в. Х:

Функция распределения сл. в. Х - функция F(x), выражающая для каждого x вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее x: Функция распределения сл. в. Х - функция F(x), выражающая для каждого x вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее x: Пример функции распределения сл. в. X: а) ряд распределения сл. в. X: б) аналитический закон распределения сл. в. X: в) график функции распределения сл. в. X:

Свойства функции распределения сл. в. X: Свойства функции распределения сл. в. X: неотрицательная функция, заключенная между 0 и 1: неубывающая функция на всей числовой оси: при Плотность вероятности (плотность распределения или просто плотность) непрерывной сл. в. X (существует только для непрерывных функций): Свойства плотности вероятности: , т.е.: 2) , т.е.:

3) неотрицательная функция: , также , т.е. график - кривая распределения - лежит не ниже Ox, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью Ox, равна 1. 3) неотрицательная функция: , также , т.е. график - кривая распределения - лежит не ниже Ox, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью Ox, равна 1. Для непрерывной сл. в. Х: (если интеграл абсолютно сходится); или (если интегралы сходятся) Квантиль уровня q (q-квантиль) – такое значение xq сл. в., при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, т. е.: и q%-ая точка – это квантиль х1–q Числовые характеристики сл. в.: начальные vk и центральные μk моменты k-го порядка для дискретных и непрерывных сл. в.: ( M(X) – начальный момент 1-го порядка, D(X) – центральный момент 2-го порядка )

1) Дискретная сл. в. Х имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2,…, m,…, n с вероятностями (формула Бернулли): 1) Дискретная сл. в. Х имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2,…, m,…, n с вероятностями (формула Бернулли): где Числовые характеристики: M(X) = np, D(X) = npq 2) Непрерывная сл. в. Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и , если ее плотность вероятности имеет вид: Числовые характеристики: M(X) = a, D(X) = . Нормальная (гауссовая) кривая: Стандартный (нормированный) нормальный закон распределения: параметры а = 0 и , т.е. N(0;1)

3) Непрерывная сл. в. Х имеет логарифмически нормальное (логнормальное) распределение, если ее логарифм подчинен нормальному закону. 3) Непрерывная сл. в. Х имеет логарифмически нормальное (логнормальное) распределение, если ее логарифм подчинен нормальному закону. 4) Распределение хи-квадрат с k степенями свободы - распределение суммы квадратов k независимых сл. в., распределенных по стандартному нормальному закону, т.е.: 5) Распределение Стьюдента (t-распределение) – распред-ие сл. в. t: При t-распределение приближается к нормальному. 6) Распределение Фишера-Снедекора (F-распред.) – распред. сл. в. F:

Многомерная (n-мерная) сл. величина (система случайных величин, n-мерный вектор) - упорядоченный набор сл. величин Многомерная (n-мерная) сл. величина (система случайных величин, n-мерный вектор) - упорядоченный набор сл. величин (пример: многомерная случайная величина, характеризующая погоду в данном месте в определенное время суток: X1 – температура, X2 – скорость ветра, X3 – влажность, X4 - давление и т.д.). Функция распределения n-мерной сл. величины (Х1,Х2,…, Xn) - функция F(x1,x2,…,xn), выражающая вероятность совместного выполнения n неравенств Х1<x1, X2<x2,…, Xn<xn, т.е.: Для n=2 (двумерный случай): Свойства F(x,y) аналогичны одномерному случаю F(x) Плотность вероятности непрерывной двумерной сл. величины (X,Y) – вторая смешанная производная от F(x,y): Свойства аналогичны свойствам одномерного случая

Условный закон распределения одной из одномерных составляющих двумерной сл. величины (X,Y) – закон распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая приняла определенное значение (или попала в какой-то интервал). Условный закон распределения одной из одномерных составляющих двумерной сл. величины (X,Y) – закон распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая приняла определенное значение (или попала в какой-то интервал). Условные плотности вероятности двумерной сл. величины (X, Y): или Числовые характеристики условных распределений: условные математические ожидания Мх(Y) и Му(Х) и условные дисперсии Dx(Y) и Dy(X) (находятся по обычным формулам математического ожидания и дисперсии, вместо вероятностей событий или плотностей вероятности используются условные вероятности или условные плотности вероятности). Условное математическое ожидание случайной величины Y при Х=х, т. е. Мх(Y), есть функция от х, называемая функцией регрессии или просто регрессией Y по Х. График Мх(Y) - линия регрессии (кривая регрессии) Y по Х (аналогично для Мy(X)) Если случайные величины X и Y независимы, то

Зависимость между 2 сл. величинами называется вероятностной (стохастической или статистической), если каждому значению одной из них соответствует определенное (условное) распределение другой (пример: зависимость между урожайностью и количеством внесенных удобрений) Зависимость между 2 сл. величинами называется вероятностной (стохастической или статистической), если каждому значению одной из них соответствует определенное (условное) распределение другой (пример: зависимость между урожайностью и количеством внесенных удобрений) Ковариация Cov(X,Y) сл. величин X и Y - математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий, т.е.: где Cov(X,Y) характеризует как степень зависимости сл. величин, так и их рассеяние вокруг точки (ax, ay). Коэффициент корреляции 2 сл. величин - отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин: характеризует тесноту линейной зависимости между случайными величинами Свойства коэффициента корреляции:

Сл. величина (сл. вектор) (Х, Y) называется распределенной по двумерному нормальному закону, если ее совместная плотность (плотность вероятности) имеет вид: Сл. величина (сл. вектор) (Х, Y) называется распределенной по двумерному нормальному закону, если ее совместная плотность (плотность вероятности) имеет вид: , числовые характеристики: при этом одномерные сл. величины X и Y распределены нормально с параметрами соответственно Условный закон распределения Y по Х - также нормальный с числовыми характеристиками (аналогично для My(X)): т.е. линия регрессии Mx(Y) нормально распределенных случайных величин - прямая линия (нормальная регрессия Y по Х всегда линейна) Понятие двумерного (n = 2) нормального закона обобщается для любого натурального n:

1) Закон больших чисел (в широком смысле) - общий принцип, согласно которому совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая (академик А.Н. Колмогоров). 1) Закон больших чисел (в широком смысле) - общий принцип, согласно которому совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая (академик А.Н. Колмогоров). (т.е., при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности). 2) Теорема Чебышева. Если дисперсии n независимых сл. величин X1,X2,…,Xn ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n средняя арифметическая сл. величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий a1, a2,…,an, т. е.: или

3) Теорема Бернулли. Частость события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к вероятности p этого события в отдельном испытании, т.е.: 3) Теорема Бернулли. Частость события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к вероятности p этого события в отдельном испытании, т.е.: или 4) Согласно теореме Ляпунова, если независимые сл. величины Х1,Х2,…,Xn имеют конечные математические ожидания и дисперсии, по своему значению ни одна из этих сл. величин резко не выделяется среди остальных, то при закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному. В частности, если Х1,Х2,…,Xn одинаково распределены, то закон распределения их суммы при неограниченно приближается к нормальному.

Оценкой параметра называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной Х (иначе - статистику), с помощью которой судят о значениях параметра (пример параметра – среднее значение случайной величины X) Оценкой параметра называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной Х (иначе - статистику), с помощью которой судят о значениях параметра (пример параметра – среднее значение случайной величины X) Оценка - величина случайная. «Наилучшая оценка» должна обладать наименьшим рассеянием относительно оцениваемого параметра, например, наименьшей величиной математического ожидания квадрата отклонения оценки от оцениваемого параметра:

Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т. е.: Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т. е.: В противном случае оценка называется смещенной (присутствует систематическая ошибка). Оценка параметра называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру: или Несмещенная оценка параметра называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра, вычисленных по выборкам одного и того же объема n. Для нахождения точечных и интервальных оценок параметров (характеристик) генеральной совокупности используется ряд основных методов: метод моментов; метод максимального правдоподобия.

Пример точечных оценок параметров распределения сл. в. X (ni – частоты значений xi): Пример точечных оценок параметров распределения сл. в. X (ni – частоты значений xi): - выборочная средняя - несмещенная, состоятельная и эффективная (для нормально распределенной генеральной совокупности) оценка математического ожидания а сл. в. X - выборочная дисперсия - смещенная, но состоятельная оценка дисперсии - исправленная выборочная дисперсия – несмещенная и состоятельная оценка дисперсии Интервальной оценкой параметра называется числовой интервал который с заданной вероятностью накрывает неизвестное значение параметра Интервал называется доверительным, а вероятность - доверительной вероятностью или надежностью оценки Пример интервальных оценок: доверительные интервалы для генеральной средней, для генеральной дисперсии на уровне значимости

Вопросы изученные в Теме 1: