🗊Презентация Эконометрика. Методология VAR

Эконометрика Лекция 4

(1) экономика – это наука, (1) экономика – это наука, (2) в этой науке очень важен количественный аспект.

Комиссия Коулса: Период с 1943 г. – Джейкоб Маршак (Jacob Marschak) Методы исследования должны быть обусловлены следующими характеристиками экономических данных и экономической теории: Теория есть система одновременных уравнений, а не отдельное уравнение; некоторые из этих уравнений включают "случайные" составляющие, отражающие многочисленные неустойчивые причины, в дополнение к нескольким "систематическим. Многие данные выражены в виде временных рядов, причем последующие события зависят от предыдущих. Многие опубликованные данные относятся скорее к агрегатам, а не к отдельным субъектам.

Развитие соответствующих математических и статистических методов не менее важно, чем получение немедленных результатов. Развитие соответствующих математических и статистических методов не менее важно, чем получение немедленных результатов. Применение математических результатов в практических исследованиях сопровождается также и обратным движением : возникновение новых ситуаций в процессе практической работы ставит и новые задачи перед математиками.

Комиссия Коулса Значительное место в исследованиях под эгидой Комиссии заняла разработка моделей и методов анализа моделей систем одновременных уравнений. Цель –количественный анализ влияния изменений в переменных, контролируемых неким монетарным "полисмейкером“, на макроэкономические переменные, представляющие конечные цели этого полисмейкера. Такой анализ предусматривает: спецификацию и идентификацию теоретической модели, оценивание параметров, расчет динамических свойств модели с особым акцентом на долговременные свойства, симуляцию динамической модели, анализ последствий различных политик.

Cпецификация модели производится с априорным разделением переменных на экзогенные и эндогенные. Cпецификация модели производится с априорным разделением переменных на экзогенные и эндогенные. Идентификация достигается как результат накладывания большого количества ограничений. При выявлении тех или иных отклонений от стандартных предположений метода наименьших квадратов модифицируется не модель, а метод оценивания. Базовая симуляция обычно производится на основе имеющейся выборки; результаты базовой симуляции сравниваются с результатами, полученными в альтернативной симуляции, основанной на модификации соответствующих экзогенных переменных. Анализ альтернативных политик базируется на динамических мультипликаторах.

Собственно эконометристы остаются отделенными от выбора модели, который является прерогативой экономистов, формулирующих теоретическую модель. Собственно эконометристы остаются отделенными от выбора модели, который является прерогативой экономистов, формулирующих теоретическую модель.

Методология Комиссии Коулса: критика Лукаса и Симса (Lucas (1978), Sims (1980) Лукас: Традиционные структурные макромодели бесполезны для целей симуляции политики, поскольку такие модели не принимают в расчет в явной форме ожидания экономических агентов. Симс: В моделях Комиссии идентификация достигается за счет произвольного объявления некоторых переменных экзогенными. Однако в мире агентов, поведение которых зависит от решения некоторых вперед-смотрящих межвременных оптимизационных моделей, никакая из переменных не может считаться экзогенной. Кроме того, в теоретическую априорную модель может быть включено недостаточное количество переменных (и тогда возникает эффект пропущенных переменных) и недостаточное количество запаздываний.

Для преодоления указанных недостатков методологии Комиссии были предложены: Для преодоления указанных недостатков методологии Комиссии были предложены: методология Лондонской Школы экономики (LSE), методология VAR (векторных авторегрессий).

Методология LSE (Sargan, Hendry) Акценты смещаются с методов оценивания (априорно заданной модели) на получение адекватной данным спецификации и на идентифицируемость модели. Строится достаточно широкая базовая модель в виде векторной ADL в приведенной форме с достаточно большим количеством переменных и достаточно большим количеством запаздываний (если, конечно, это позволяют данные). Эта модель редуцируется путем упрощения динамики (отбрасывания незначимых лагов) и уменьшения размерности (отбрасывания уравнений для тех переменных, для которых не отвергается гипотеза экзогенности). Накладываются ограничения на матрицу, определяющую долговременное равновесие, и производится идентификация коинтегрирующих векторов.

Методология LSE Это приводит к статистической модели для данных с возможным разделением краткосрочной динамики и долговременного равновесия; эта модель идентифицируется и оценивается. Если система идентифицируема точно, то на этом все заканчивается. Если система сверхидентифицирована, то проверяется выполнение "лишних" ограничений.

Методология VAR (Sims) Разделение изменений в монетарной политике на два типа: изменения, которые агенты экономики предвидят правильно; изменения, которые являются неожиданными для агентов экономики. Изменения первого типа должны производить нейтральные эффекты: пропорциональные изменения цен и других номинальных переменных и отсутствие влияния на реальные переменные. Неожиданные изменения второго типа, напротив, могут отражаться и на реальных переменных. В методологии Симса делается акцент на исследование откликов системы экономических показателей на неожиданные (шоковые) воздействия, которым подвергаются отдельные переменные.

Простая VAR(1) для двух рядов (k = 2, p = 1) Вычисляя эти изменения последовательно для значений s = 0, 1, … , получаем функции откликов на шоки инноваций.

Пример Эту VAR можно записать в виде: или

Однако: Из-за того, что общем случае , возникают затруднения с интерпретацией этих функций. Из-за перекрестной коррелированности инноваций в приведенной форме, невозможно полностью изолировать шок для u1t от шока для u2t , т.е., Нельзя произвольно изменять значение u1t , сохраняя при этом значения неизменными.

“Фундаментальные” инновации Для преодоления указанного затруднения предполагают, что система изменяется благодаря воздействию некоррелированных между собой “фундаментальных” инноваций . Обычно предполагается, что все они имеют единичные дисперсии, так что – i.i.d. с нулевым математическим ожиданием и единичной ковариационной матрицей Ik . При этом предполагается, что инновации являются линейными комбинациями фундаментальных инноваций, так что

В примере с двумерной VAR(1): Поскольку , то , Изменение u1t на одно стандартное отклонение складывается из изменений и , которые, в свою очередь, вызывают одновременное изменение u2t .

Импульсные функции отклика (impulse response function – IRF ) С экономической точки зрения, первоочередной интерес представляют реакции значений на единичные импульсные изменения отдельных фундаментальных инноваций при фиксированных значениях всех остальных фундаментальных инноваций во все моменты времени. Именно на построение таких импульсных функций отклика нацелены алгоритмы, реализуемые в пакетах статистических программ.

Проблема отыскания матрицы D Если матрица известна, то как найти матрицу D ?

упорядочивание инноваций в системе. Пусть фундаментальная инновация воздействует только на y2t , а фундаментальная инновация воздействует и на y1t и на y2t . Тогда фундаментальная инновация воздействует только на u2t , а фундаментальная инновация воздействует и на u1t и на u2t .

Пример двумерной VAR(1)

Тогда Тогда Обозначим Умножим обе части VAR(1) на матрицу A : Получаем структурную модель в которой

Изменим теперь упорядочение инноваций Пусть Тогда:

Структурная VAR имеет вид: Структурная VAR имеет вид:

Резюме: При первом упорядочении инноваций: При втором упорядочении инноваций: В обоих случаях выбранная форма матрицы A приводит к рекурсивной системе .

Рекурсивная система (первое упорядочение: Y1  Y2 ) В первое уравнение с текущим значением входит только одна переменная y1t , т.е., y1t объясняется только запаздывающими значениями переменных y1t , y2t , . . . , ykt . Во второе уравнение с текущими значениями входят обе переменные y1t и y2t , т.е. , y2t объясняется с помощью y1t и yt – 1 , yt – 2 , . . . , Такой порядок вхождения переменных интерпретируется как последовательное включение переменных в порядке возрастания их эндогенности, так что последней в систему включается наиболее эндогенная переменная.

Сравним функции отклика переменных y1t и y2t на импульсный шок фундаментальной инновации . Сравним функции отклика переменных y1t и y2t на импульсный шок фундаментальной инновации . При первом упорядочении: Пусть в момент t = 1 имеет место шок фундаментальной инновации для переменной y1t (в первом уравнении рекурсивной системы), так что а не изменяется ни при каком t

Поведение функций импульсного отклика

Поведение функций импульсного отклика При втором упорядочении:

Проблема: В примере функции импульсного отклика были построены, опираясь на известные коэффициенты приведенной формы и на известную ковариационную матрицу вектора инноваций в приведенной форме. Будем считать теперь эти параметры неизвестными и использовать для построения функций отклика их оценки, построенные по смоделированным реализациям длины 100.

В нашем примере:

При первом упорядочении Y1 Y2:

При первом упорядочении Y1 Y2:

Доверительные интервалы для (отдельных! ) значений импульсных откликов:

Замечание Столь существенное различие в поведении функций импульсного отклика при альтернативных упорядочениях связано с существенной перекрестной коррелированностью инноваций в приведенной форме VAR. В сгенерированных данных эта корреляция равна -0.628, а для остатков от оцененной VAR она равна -0.634.

k -мерная VAR(p) В общем случае предполагают, что структурная модель VAR имеет вид т.е. где – i.i.d. с нулевым математическим ожиданием и единичной ковариационной матрицей Ik , так что инновации в структуре являются линейными комбинациями "ортогонализованных" (“фундаментальных”) инноваций . Соответственно, в приведенной форме

Приведенная форма: Приведенная форма: Структурная форма: Здесь . Приведенную форму оцениваем OLS, получаем оценки матриц . Но по этим оценкам не всегда удается восстановить структурную форму, т.к. не известны матрицы A и B.

Проблема идентификации структурных уравнений по приведенной форме В рассматриваемой ситуации Оценив приведенную VAR, мы можем получить и оценку ковариационной матрицы . Замена на приводит к оценочному уравнению для A и B:

Матрица симметрична, и поэтому достаточно оценить Матрица симметрична, и поэтому достаточно оценить ее элементов. Общее количество неизвестных элементов в матрицах и равно . Поэтому идентификация возможна лишь при наложении на матрицы и достаточного количества ограничений.

Разложение Холецкого (Cholesky factorization) Методология Симса, которую мы применили выше, фактически основана на следующем результате (разложение Холецкого). Всякую положительно полуопределенную матрицу можно представить в виде произведения , где – верхняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами, причем такая матрица единственна. Обозначая , запишем указанное представление в виде: Здесь D – нижняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами.

Факторизация матрицы D

Резюме Если наложить на матрицы A и B ограничения: A – нижняя треугольная матрица с единицами на диагонали; B – диагональная матрица с положительными диагональными элементами, то уравнение имеет единственное решение, т.е. имеет место точная идентифицируемость матриц A и B . Диагональные элементы bjj матрицы B можно рассматривать как с.к.о. инновации в i-м уравнении структуры, а форма матрицы A соответствует рекурсивной системе .

Рекурсивная система В первое уравнение с текущим значением входит только одна переменная y1t , т.е., y1t объясняется только запаздывающими значениями переменных y1t , y2t , . . . , ykt . Во второе уравнение с текущими значениями входят только переменные y1t и y2t , т.е. , y2t объясняется с помощью y1t и yt – 1 , yt – 2 , . . . , . . . В последнее, k-е уравнение с текущими значениями входят все переменные y1t , y2t , . . . , ykt , т.е., ykt объясняется с помощью y2t , . . . , yk-1,t и yt – 1 , yt – 2 , . . . Такой порядок вхождения переменных интерпретируется как последовательное включение переменных в порядке возрастания их эндогенности, так что последней в систему включается наиболее эндогенная переменная. При выбранной нормализации (единицы на диагонали матрицы ), y1t – “наименее эндогенная” переменная, ykt – “наиболее эндогенная” переменная

Вернемся к k -мерной VAR(p) Приведенная форма: Запишем ее в виде: Если все корни уравнения лежат за пределами единичного круга, то VAR стабильна, и можно записать:

k -мерная VAR(p) Это есть векторное MA-представление k -мерного ряда y1t , основанное на инновационной последовательности ut . Если для некоторого k-мерного случайного вектора выполнено соотношение то

и если , то и если , то так что матрица D является корнем из матрицы и имеет левую нижне-треугольную форму: Ее элементы легко вычисляются рекуррентным образом по элементам ковариационной матрицы .

Разложение Холецкого (Cholesky factorization) P* – левая нижне-треугольная матрица с единицами на диагонали, B – диагональная матрица. Мы уже фактически использовали такую факторизацию ранее для матрицы где

Функция импульсных откликов Теперь мы можем возвратиться к векторному MA-представлению ряда yt , основанному на инновационной последовательности ut : и произвести подстановку . В результате получаем разложение основанное на инновационной последовательности Элемент матрицы с индексом ij равен изменению i-ой переменной в момент времени t+h в ответ на единичное изменение шока j-ой переменной в момент времени t при сохранении неизменными всех остальных шоков во все моменты времени.

Декомпозиция (разложение) дисперсии ошибок прогнозов (variance decomposition)

Ошибка прогноза по VAR на h шагов вперед вычисляется по формуле: Ошибка прогноза по VAR на h шагов вперед вычисляется по формуле: где dj – j-й столбец матрицы D.

Ошибка прогноза по VAR на h шагов вперед вычисляется по формуле: Ошибка прогноза по VAR на h шагов вперед вычисляется по формуле: Вкдад j-й ф.и. в дисперсию прогноза ряда ym равен m-у диагональному элементу матрицы, заключенной в скобки под знаком суммы.

Декомпозиция дисперсии ошибок прогнозов Обычно результат такой декомпозиции представляется как перечень долей каждого из слагаемых в общей сумме. В пакетах программ статистического анализа предлагаются также графики, показывающие динамику изменений каждой такой доли с изменением h, h =1, 2, . . .

Оценивание SVAR в EViews При первом упорядочении или И, так как  и А – нижняя треугольная матрица с единицами на диагонали, а B – диагональная матрица, то

Таким образом, при первом упорядочении SVAR (структурная VAR) принимает вид: Таким образом, при первом упорядочении SVAR (структурная VAR) принимает вид:

В рекурсивной структуре, полученной с использованием изложенного метода, случайные ошибки в разных уравнениях являются взаимно некоррелированными случайными величинами. Это означает, что соответствующую систему одновременных уравнений можно оценивать, используя обычный метод наименьших квадратов (OLS). В рекурсивной структуре, полученной с использованием изложенного метода, случайные ошибки в разных уравнениях являются взаимно некоррелированными случайными величинами. Это означает, что соответствующую систему одновременных уравнений можно оценивать, используя обычный метод наименьших квадратов (OLS). Статистическая модель:

y1=c(1)*y1(-1)+c(2)*y2(-1) y2=c(3)*y1+c(4)*y1(-1)+c(5)*y2(-1) Результаты оценивания:

EViews: Оценивание матриц A и B структурной формы Создав объект VAR и оценив коэффициенты приведенной VAR, можно получить в рамках этого объекта и оценки указанных матриц. Для этого заказываем: Proc  Estimate Structural Factorization В открывшемся окне указываем форму связи между ошибками в приведенной VAR и фундаментальными инновациями, соответствующую выбранному упорядочению в схеме Холецкого.

Model: Ae = Bu where E[uu']=I Restriction Type: short-run text form @e1 = C(1)*@u1 @e2 = C(2)*@e1 + C(3)*@u2 where @e1 represents Y1 residual @e2 represents Y2 residuals Coefficient C(2) -0.997582 C(1)  0.962944 C(3)  1.143882 Estimated A matrix:  1.000000  0.000000  0.997582  1.000000 Estimated B matrix:  0.962944  0.000000  0.000000  1.143882

Замечания Принимая различные порядки последовательного вхождения переменных, мы получаем и различное поведение импульсных функций отклика, что дает возможность сравнивать альтернативные теории. В рекурсивной структуре, полученной с использованием изложенного метода, случайные ошибки в разных уравнениях являются взаимно некоррелированными случайными величинами. Это означает, что соответствующую систему одновременных уравнений можно оценивать, используя обычный метод наименьших квадратов (OLS).

Пример. В модели двумерной VAR переменная y1t может представлять объем производства (output), а переменная y2t – “деньги” (money). Упорядочение y1t  y2t соответствует схеме В этой схеме шоки в объеме производства оказывают немедленное воздействие и на объем производства и на деньги, тогда как шоки в деньгах оказывают немедленное воздействие только на деньги. Такое упорядочение соответствует представлению, согласно которому денежная политика имеет только запаздывающее влияние на объем производства.

Пример (продолжение) Упорядочение y2t  y1t соответствует схеме В этой схеме шоки в объеме производства оказывают немедленное воздействие только на объем производства, тогда как шоки в деньгах оказывают немедленное воздействие и на деньги и на объем производства. Это соответствует представлению о том, что деньги поставляются центральным банком, а объем производства становится известным центральному банку лишь с опозданием. Поэтому деньги не могут немедленно реагировать на шоки в объеме производства.