🗊Презентация Эконометрика. Временные ряды и прогнозирование. (Тема 6)

Эконометрика Тема 6

Тема 6. Временные ряды и прогнозирование Общие сведения о временных рядах и задачах их анализа. Стационарные временные ряды и их характеристики. Автокорреляционная функция. Аналитическое выравнивание (сглаживание) временного ряда (выделение неслучайной компоненты). Прогнозирование на основе моделей временных рядов. Понятие об авторегрессионных моделях и моделях скользящей средней.

Под временным рядом (динамическим рядом или рядом динамики) в экономике подразумевается последовательность наблюдений некоторого признака (случайной величины) Y в последовательные моменты времени. Под временным рядом (динамическим рядом или рядом динамики) в экономике подразумевается последовательность наблюдений некоторого признака (случайной величины) Y в последовательные моменты времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда, обозначаемые yt (t = 1,2,…, n), где n - число уровней. Пример временного ряда (спрос на некоторый товар за восьмилетний период (усл. ед.)):

Экономический временной ряд yt (в общем виде) как сумма его составляющих: Экономический временной ряд yt (в общем виде) как сумма его составляющих: где ut - тренд, плавно меняющаяся компонента, описывающая чистое влияние долговременных факторов, (например, рост населения, экономическое развитие, изменение структуры потребления и т. п.); vt - сезонная компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение не очень длительного периода (года, иногда месяца, недели и т. д., например, объем продаж товаров или перевозок пассажиров в различные времена года); ct - циклическая компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение длительных периодов (например, влияние волн экономической активности Кондратьева, демографических «ям», циклов солнечной активности и т. п.); - случайная компонента, отражающая влияние не поддающихся учету и регистрации случайных факторов. Три компоненты ut, vt, ct являются закономерными, неслучайными!

Случайным процессом (или случайной функцией) Y(t) неслучайного аргумента t называется функция, которая при любом значении t является случайной величиной. Случайным процессом (или случайной функцией) Y(t) неслучайного аргумента t называется функция, которая при любом значении t является случайной величиной. Важнейшая классическая задача при исследовании экономических временных рядов - выявление и статистическая оценка основной тенденции развития изучаемого процесса и отклонений от нее. Если выборка y1, y2,…, yi,…, yn рассматривается как одна из реализаций случайной величины Y, временной ряд y1, y2,…, yi,…, yn рассматривается как одна из реализаций (траекторий) случайного процесса Y(t). Отличия временного ряда yt (t = 1,2,…, n) от последовательности наблюдений y1, y2,…, yn, образующих случайную выборку: в отличие от элементов случайной выборки члены временного ряда, как правило, не являются статистически независимыми; члены временного ряда не являются одинаково распределенными.

Основные этапы анализа временных рядов: Основные этапы анализа временных рядов: графическое представление и описание поведения временного ряда; выделение и удаление закономерных (неслучайных) составляющих временного ряда (тренда, сезонных и циклических составляющих); сглаживание и фильтрация (удаление низко- или высокочастотных составляющих временного ряда); исследование случайной составляющей временного ряда, построение и проверка адекватности математической модели для ее описания; прогнозирование развития изучаемого процесса на основе имеющегося временного ряда; исследование взаимосвязи между различными временными рядами.

Стационарные временные ряды - ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Стационарные временные ряды - ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Временной ряд yt (t = 1,2,…, n) называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей n наблюдений y1, y2,…, yn такое же, как и n наблюдений y1+h , y2+h ,…., yn+h при любых n, t и h. Т.о., свойства строго стационарных рядов yt не зависят от момента t, т. е. закон распределения и его числовые характеристики не зависят от t. Математическое ожидание ay(t) = a, среднее квадратическое отклонение могут быть оценены для yt (t = 1,2,…, n) по формулам:

Простейший пример стационарного временного ряда, у которого математическое ожидание равно нулю, а ошибки некоррелированы, является «белый шум». Следовательно, можно сказать, что возмущения (ошибки) в классической линейной регрессионной модели образуют белый шум, а в случае их нормального распределения — нормальный (гауссовский) белый шум. Простейший пример стационарного временного ряда, у которого математическое ожидание равно нулю, а ошибки некоррелированы, является «белый шум». Следовательно, можно сказать, что возмущения (ошибки) в классической линейной регрессионной модели образуют белый шум, а в случае их нормального распределения — нормальный (гауссовский) белый шум. Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда y1, y2,…, yn и y1+h , y2+h ,…, yn+h (сдвинутых относительно друг друга на h единиц, или, как говорят, с лагом h) может быть определена с помощью коэффициента автокорреляции (h= ): Зависимость - автокорреляционная функция

Статистической оценкой является выборочный коэффициент автокорреляции : Статистической оценкой является выборочный коэффициент автокорреляции : Функция - выборочная автокорреляционная функция, а ее график - коррелограмма. При расчете обычно принимают . Для стационарного временного ряда с увеличением лага h взаимосвязь членов временного ряда yt и yt+h ослабевает и автокорреляционная функция должна убывать (по абсолютной величине). Для это свойство может нарушаться. Также рассматриваются частная автокорреляционная функция и выборочная частная автокорреляционная функция

Для выделения неслучайной компоненты временного ряда наиболее часто используются следующие функции: Для выделения неслучайной компоненты временного ряда наиболее часто используются следующие функции: При выборе соответствующей функции f(t) используют содержательный анализ (который может установить характер динамики процесса), визуальные наблюдения (на основе графического изображения временного ряда). Из двух функций предпочтение обычно отдается той, при которой меньше сумма квадратов отклонений фактических данных от расчетных на основе этих функций. Но при прочих равных условиях предпочтение следует отдавать более простым функциям.

Для выявления основной тенденции чаще всего используется МНК. Значения временного ряда yt рассматриваются как зависимая переменная, а время t - как объясняющая: Для выявления основной тенденции чаще всего используется МНК. Значения временного ряда yt рассматриваются как зависимая переменная, а время t - как объясняющая: где - возмущения, удовлетворяющие основным предпосылкам регрессионного анализа: т. е. представляющие независимые и одинаково распределенные случайные величины, распределение которых предполагаем нормальным. Если функция f(t) нелинейная и не получается применить методы линеаризации модели, то параметры тренда находят из соответствующих систем нормальных уравнений для нелинейных функций f(t), либо с помощью специальных процедур оценивания.

Другой метод выравнивания (сглаживания) временного ряда - метод скользящих средних: основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. Другой метод выравнивания (сглаживания) временного ряда - метод скользящих средних: основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. Ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения отклонений ряда. Для усреднения могут быть использованы средняя арифметическая (простая и с некоторыми весами), медиана и др. Скользящие средние, рассчитываемые по формуле средней арифметической:

Если возмущения в модели временного ряда yt удовлетворяют предпосылкам регрессионного анализа, т. е. условиям нормальной классической регрессионной модели, то прогнозирование развития изучаемого процесса проводится аналогично моделям парной и множественной линейной регрессии (с определением точечных и интервальных оценок Y для значений объясняющих переменных Х, расположенных вне пределов обследованного диапазона значений X). Если возмущения в модели временного ряда yt удовлетворяют предпосылкам регрессионного анализа, т. е. условиям нормальной классической регрессионной модели, то прогнозирование развития изучаемого процесса проводится аналогично моделям парной и множественной линейной регрессии (с определением точечных и интервальных оценок Y для значений объясняющих переменных Х, расположенных вне пределов обследованного диапазона значений X). Прогноз развития изучаемого процесса на основе экстраполяции временных рядов может оказаться эффективным, в рамках краткосрочного, в крайнем случае, среднесрочного периода прогнозирования.

Не всегда удается подобрать адекватную модель, для которой ряд возмущений будет удовлетворять основным предпосылкам регрессионного анализа. Не всегда удается подобрать адекватную модель, для которой ряд возмущений будет удовлетворять основным предпосылкам регрессионного анализа.

Авторегрессионная модель р-го порядка (или модель AR (р)) имеет вид: Авторегрессионная модель р-го порядка (или модель AR (р)) имеет вид:

Модель скользящей средней q-го порядка (или модель МА (q)), имеет вид: Модель скользящей средней q-го порядка (или модель МА (q)), имеет вид:

Вопросы изученные в Теме 6: