🗊Презентация Электрическое поле в вакууме

ЛЕКЦИЯ 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Электростатика – раздел учения об электричестве, изучающий взаимодействие неподвижных электрических зарядов и свойства постоянного электрического поля. Электростатика – раздел учения об электричестве, изучающий взаимодействие неподвижных электрических зарядов и свойства постоянного электрического поля. Электрический заряд – это внутреннее, индивидуальное свойство тел или частиц, характеризующее их способность к электромагнитному взаимодействию. Электрический заряд q – физическая величина, которая определяет интенсивность электромагнитного взаимодействия. Единица электрического заряда – кулон (Кл) – электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А (ампер) за 1 с.

1. Носители электрического заряда – заряженные элементарные частицы: 1. Носители электрического заряда – заряженные элементарные частицы: протон и электрон; их античастицы – антипротон и позитрон; нестабильные частицы - -мезоны, -мезоны и т.д. Заряженные частицы взаимодействуют друг с другом с силами, которые убывают с расстоянием так же медленно, как гравитационные, но во много раз превышающими их по величине.

2. Электрический заряд аддитивен: заряд любой системы тел (частиц) равен сумме зарядов тел (частиц), входящих в систему: 2. Электрический заряд аддитивен: заряд любой системы тел (частиц) равен сумме зарядов тел (частиц), входящих в систему: Здесь i-номер заряда (тела или частицы); N – количество тел (частиц) в системе.

3. Электрический заряд дискретен: заряд q любого тела кратен элементарному заряду e: 3. Электрический заряд дискретен: заряд q любого тела кратен элементарному заряду e: Элементарный заряд: e = 1,602  10-19 Кл. Поскольку тело не может приобрести или потерять долю электрона, суммарный заряд тела должен быть целым кратным элементарного заряда. Говорят, что заряд квантуется (т.е. может принимать лишь дискретные значения). Однако, поскольку заряд электрона очень мал, мы обычно не замечаем дискретности макроскопических зарядов (заряду 1 мкКл соответствуют примерно 1013 электронов) и считаем заряд непрерывным.

4. Электрический заряд существует в двух видах – положительный и отрицательный. Одноименные заряды отталкиваются, разноименные заряды притягиваются. 4. Электрический заряд существует в двух видах – положительный и отрицательный. Одноименные заряды отталкиваются, разноименные заряды притягиваются. За положительный заряд принят заряд протона (+e). Заряд электрона – отрицательный ( –e). Если в состав макроскопического тела входит различное количество протонов Np и электронов Ne, то оно оказывается заряженным. Заряд тела:

5. Электрический заряд инвариантен: его величина не зависит от системы отсчета, т.е. от того, движется он или покоится: 5. Электрический заряд инвариантен: его величина не зависит от системы отсчета, т.е. от того, движется он или покоится:

6. Электрический заряд подчиняется закону сохранения электрического заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов замкнутой системы остается неизменной, какие бы процессы не происходили внутри данной системы 6. Электрический заряд подчиняется закону сохранения электрического заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов замкнутой системы остается неизменной, какие бы процессы не происходили внутри данной системы (под замкнутой системой понимается система, которая не обменивается зарядами с внешними телами)

Точечные электрические заряды – элементарные частицы или заряженные тела, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Точечные электрические заряды – элементарные частицы или заряженные тела, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Закон Кулона. Сила взаимодействия F между двумя точечными зарядами q1 и q2, находящимися в вакууме, прямо пропорциональна произведению этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними: Величина 0 = 8,85  10-12 Ф/м – электрическая постоянная, относящаяся к числу фундаментальных физических констант.

Когда к шарику на конце стержня, подвешенного на нити, подносят заряд, стержень слегка отклоняется, нить закручивается, и угол закручивания нити пропорционален действующей между зарядами силе (крутильные весы). Когда к шарику на конце стержня, подвешенного на нити, подносят заряд, стержень слегка отклоняется, нить закручивается, и угол закручивания нити пропорционален действующей между зарядами силе (крутильные весы). С помощью этого прибора Кулон определил зависимость силы от величины зарядов и расстояния между ними.

Сила F направлена вдоль прямой, соединяющей заряды q1 и q2, т.е. является центральной силой, и соответствует притяжению, если q1q2 < 0 (заряды разноименные) и отталкиванию, если q1q2 > 0 (заряды одного знака). Сила F направлена вдоль прямой, соединяющей заряды q1 и q2, т.е. является центральной силой, и соответствует притяжению, если q1q2 < 0 (заряды разноименные) и отталкиванию, если q1q2 > 0 (заряды одного знака).

Формула, выражающая закон Кулона, в векторной форме: сила F12 , действующая на заряд q1 со стороны заряда q2: Формула, выражающая закон Кулона, в векторной форме: сила F12 , действующая на заряд q1 со стороны заряда q2: Здесь r – радиус-вектор, проведенный из заряда q2 к заряду q1.

К кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип суперпозиции сил: результирующая сила, действующая со стороны нескольких точечных зарядов q1, q2, …, qi, …, qN, на точечный заряд q, равна векторной сумме сил, приложенных к нему со стороны каждого из зарядов в отдельности: К кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип суперпозиции сил: результирующая сила, действующая со стороны нескольких точечных зарядов q1, q2, …, qi, …, qN, на точечный заряд q, равна векторной сумме сил, приложенных к нему со стороны каждого из зарядов в отдельности: Здесь ri – радиус-вектор, проведенный из заряда q к заряду qi; ri – расстояние между зарядами q и qi.

Часто бывает значительно удобнее считать, что заряды распределены в заряженном теле непрерывно: Часто бывает значительно удобнее считать, что заряды распределены в заряженном теле непрерывно: вдоль некоторой линии (например, в случае заряженного тонкого стержня, нити); по поверхности (например, в случае заряженной пластины, сферы);\ в объеме (например, в случае заряженного шара).

ЛЕКЦИЯ 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Электромагнитное поле – особый вид материи, посредством которого осуществляется взаимодействие заряженных частиц. Это означает, что: Электромагнитное поле – особый вид материи, посредством которого осуществляется взаимодействие заряженных частиц. Это означает, что: заряженные частицы создают в окружающем пространстве электромагнитное поле; на заряженную частицу действует электромагнитное поле, существующее в данной точке пространства и в данный момент времени. Поле, создаваемое точечным источником, пропорционально его заряду; воздействие поля на заряженную частицу пропорционально заряду этой частицы.

Для определения характеристик электромагнитного поля используется понятие пробного заряда, внесение которого в исследуемое поле его не искажает (т.е. не приводит к смещению источников поля). Для этого величина пробного заряда должна быть достаточно малой. Для определения характеристик электромагнитного поля используется понятие пробного заряда, внесение которого в исследуемое поле его не искажает (т.е. не приводит к смещению источников поля). Для этого величина пробного заряда должна быть достаточно малой. Сила, действующая на неподвижный пробный заряд q0, пропорциональна его величине и определяется только электрическим полем:

Напряженность электрического поля E – векторная физическая величина, определяемая силой, действующей на единичный положительный заряд q0, помещенный в данную точку поля: Напряженность электрического поля E – векторная физическая величина, определяемая силой, действующей на единичный положительный заряд q0, помещенный в данную точку поля: Единица напряженности электростатического поля – вольт на метр (В/м), или ньютон на кулон (Н/Кл).

Напряженность электростатического поля точечного заряда q в вакууме в скалярной и векторной формах соответственно: Напряженность электростатического поля точечного заряда q в вакууме в скалярной и векторной формах соответственно: Здесь r – радиус-вектор, проведенный в данную точку поля из заряда q, создающего поле; r – расстояние между зарядом q и точкой, в которой определяется вектор E.

Направление вектора E совпадает с направлением вектора силы F, действующей на положительный заряд. Направление вектора E совпадает с направлением вектора силы F, действующей на положительный заряд. Если поле создано положительным зарядом, то вектор E направлен вдоль радиуса-вектора r от заряда q во внешнее пространство (отталкивание пробного положительного заряда q0). Если поле создается отрицательным зарядом, то вектор E направлен к заряду (притяжение пробного положительного заряда q0).

Принцип суперпозиции электрических полей: напряженность результирующего поля, создаваемого системой зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности: Принцип суперпозиции электрических полей: напряженность результирующего поля, создаваемого системой зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

Из принципа суперпозиции электрических полей следует, что напряженность электростатического поля системы точечных зарядов q1, q2, …, qi, …, qN: Из принципа суперпозиции электрических полей следует, что напряженность электростатического поля системы точечных зарядов q1, q2, …, qi, …, qN: где Ei – напряженность электрического поля, создаваемая зарядом qi в точке с радиусом-вектором ri, проведенным из заряда qi; ri – расстояние между зарядом qi и точкой пространства, в которой вычисляется напряженность Ei поля.

Если заряд q распределен в пространстве непрерывно, то напряженность E электрического поля в данной точке пространства с радиусом вектором r можно определить следующим образом: Если заряд q распределен в пространстве непрерывно, то напряженность E электрического поля в данной точке пространства с радиусом вектором r можно определить следующим образом: Т.е. заряженное тело разбивается на части объемом dV, имеющие заряд dq; далее находится напряженность dE электрического поля точечного заряда dq в данной точке; затем с помощью принципа суперпозиции электрических полей вычисляется напряженность E.

Аналогично, для зарядов, распределенных по поверхности S или длине L заряженных тел: Аналогично, для зарядов, распределенных по поверхности S или длине L заряженных тел:

Графически электростатическое поле изображают с помощью линий напряженности (силовых линий) – линий, касательная к которым в каждой точке совпадает с направлением вектора E. Графически электростатическое поле изображают с помощью линий напряженности (силовых линий) – линий, касательная к которым в каждой точке совпадает с направлением вектора E. Линиям напряженности приписывается направление, совпадающее с направлением вектора E. Густота этих линий пропорциональная модулю E вектора напряженности. Так как в данной точке пространства вектор E имеет лишь одно направление, то линии вектора напряженности никогда не пересекаются.

1. Силовые линии указывают направление напряженности электрического поля: в любой точке вектор напряженности E электрического поля направлена по касательной к силовой линии. 1. Силовые линии указывают направление напряженности электрического поля: в любой точке вектор напряженности E электрического поля направлена по касательной к силовой линии. 2. Силовые линии проводятся так, чтобы модуль вектора напряженности электрического поля Е был пропорционален числу линий, проходящих через единичную площадку, перпендикулярную линиям. 3. Силовые линии начинаются только на положительных зарядах и заканчиваются только на отрицательных зарядах; число линий, выходящих из заряда или входящих в него, пропорционально величине заряда.

ЛЕКЦИЯ 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Как и любое центральное поле, электростатическое поле является консервативным (потенциальным). Как и любое центральное поле, электростатическое поле является консервативным (потенциальным). Это означает, что работа сил поля при перемещении пробного заряда из точки 1 в точку 2 не зависит от вида траектории и характера движения заряда.

Пусть, например, точечный (пробный) заряд q0 перемещается в электрическом поле, созданном неподвижным точечным зарядом q. Пусть, например, точечный (пробный) заряд q0 перемещается в электрическом поле, созданном неподвижным точечным зарядом q. Обозначим: r1 и r2 – радиусы-векторы точек 1 и 2, r – радиус-вектор заряда q0 (все радиусы-векторы имеют начало в заряде q); er – единичный вектор, сонаправленный с r.

В консервативном поле работа по перемещению электрического заряда вдоль замкнутой траектории равна нулю:

Пусть единичный положительный заряд q0 переносится под действием силы F = q0E поля из точки 1 в точку 2. Пусть единичный положительный заряд q0 переносится под действием силы F = q0E поля из точки 1 в точку 2. Элементарная работа: Здесь – проекция вектора E на вектор элементарного перемещения dl

Предположим теперь, что точки 1 и 2 траектории заряда совпадают, т.е. траектория представляет собой замкнутую линию L (замкнутый контур). Предположим теперь, что точки 1 и 2 траектории заряда совпадают, т.е. траектория представляет собой замкнутую линию L (замкнутый контур). Тогда работа сил поля по перемещению единичного положительного заряда по замкнутому контуру, называется циркуляцией вектора E вдоль этого контура:

Из свойства консервативности электростатического поля следует теорема о циркуляции вектора E: циркуляция вектора напряженности E электростатического поля вдоль любого замкнутого контура L равна нулю: Из свойства консервативности электростатического поля следует теорема о циркуляции вектора E: циркуляция вектора напряженности E электростатического поля вдоль любого замкнутого контура L равна нулю: Силовое поле, обладающее таким свойством, называется потенциальным. Последняя формула справедлива только для полей, созданных неподвижными электрическими зарядами, т.е. для электростатических полей.

В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работа консервативных сил совершает за счет убыли потенциальной энергии тел. В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работа консервативных сил совершает за счет убыли потенциальной энергии тел. Работу консервативной силы Кулона при перемещении точечного заряда q0 из точки 1 в точку 2 можно представить в виде разности потенциальных энергий заряда q0 в начальной и конечной точках: A = –d (для элементарного перемещения), С другой стороны, известно, что

Таким образом, потенциальная энергия  заряда q0 во внешнем электростатическим поле точечного заряда q равна Таким образом, потенциальная энергия  заряда q0 во внешнем электростатическим поле точечного заряда q равна Считая, что при удалении заряда q0 на бесконечность потенциальная энергия  обращается в ноль, получаем: const = 0, т.е. Для одноименных зарядов, что соответствует отталкиванию,  > 0 (если q0q > 0), для разноименных зарядов (притяжение) (q0q < 0)  < 0.

Если поле создается системой N точечных зарядов, то потенциальная энергия заряда q0, находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий, создаваемых каждым из зарядов системы в отдельности в той точке пространства, где находится заряд q0: Если поле создается системой N точечных зарядов, то потенциальная энергия заряда q0, находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий, создаваемых каждым из зарядов системы в отдельности в той точке пространства, где находится заряд q0: Здесь ri – расстояние между зарядом qi системы и зарядом q0.

ЛЕКЦИЯ 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Потенциалом  электростатического поля в данной точке пространства называется скалярная физическая величина, численно равная потенциальной энергии  единичного пробного заряда q0, помещенного в данную точку поля: Потенциалом  электростатического поля в данной точке пространства называется скалярная физическая величина, численно равная потенциальной энергии  единичного пробного заряда q0, помещенного в данную точку поля: Например, потенциал  поля, созданного точечным зарядом q в вакууме на расстоянии r от него, равен

Из приведенного примера видно, что отношение /q0 не зависит от выбора пробного заряда, а характеризуется только зарядом, создающим поле. Из приведенного примера видно, что отношение /q0 не зависит от выбора пробного заряда, а характеризуется только зарядом, создающим поле. Таким образом, потенциал  является скалярной (энергетической) характеристикой электростатического поля (напряженность E – векторная (силовая) характеристика поля). Единица потенциала – вольт (В). Один вольт (1 В) есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1 В = 1Дж/Кл).

Работа A12, совершаемая силами электрического поля при перемещении заряда q0 из точки 1 в точку 2 может быть представлена как Работа A12, совершаемая силами электрического поля при перемещении заряда q0 из точки 1 в точку 2 может быть представлена как т.е. она равна произведению перемещаемого заряда q0 на разность потенциалов  в начальной и конечной точках.

Разность потенциалов  двух точек 1 и 2 электростатического поля определяется работой, совершаемой силами поля, при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2: Разность потенциалов  двух точек 1 и 2 электростатического поля определяется работой, совершаемой силами поля, при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2:

Пользуясь определением напряженности электростатического поля, выражение для работы можно переписать в виде: Пользуясь определением напряженности электростатического поля, выражение для работы можно переписать в виде: откуда

Если перемещать заряд q0 из произвольной точки поля за пределы поля (на бесконечность), где потенциальная энергия  = 0, а значит и потенциал  = /q0 = 0, то работа сил электростатического поля Если перемещать заряд q0 из произвольной точки поля за пределы поля (на бесконечность), где потенциальная энергия  = 0, а значит и потенциал  = /q0 = 0, то работа сил электростатического поля откуда Потенциал  данной точки поля – физическая величина, определяемая работой сил электростатического поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

1. Потенциал электростатического поля  в данной точке пространства является функцией только координат x, y, z этой точки: 1. Потенциал электростатического поля  в данной точке пространства является функцией только координат x, y, z этой точки:

2. Работа сил поля по перемещению единичного положительного заряда из произвольного начального положения 1 в произвольное конечное положение 2, равна убыли потенциала: 2. Работа сил поля по перемещению единичного положительного заряда из произвольного начального положения 1 в произвольное конечное положение 2, равна убыли потенциала: Если при этом точки 1 и 2 расположены достаточно близко друг от друга, то напряженность E электрического поля можно считать приблизительно одинаковой между точками 1 и 2 и тогда

3. Потенциал  электростатического поля определен с точностью до аддитивной постоянной величины. 3. Потенциал  электростатического поля определен с точностью до аддитивной постоянной величины. Это означает, что при замене точки O – начала отсчета потенциала, на некоторую другую точку O потенциал  во всех точках пространства изменится на одну и ту же величину C, равную работе сил поля при перемещении единичного положительного заряда из точки O в точку O:

Принцип суперпозиции потенциалов электростатических полей: если электрическое поле создано несколькими зарядами, то потенциал электрического поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов электрических полей всех этих зарядов: Принцип суперпозиции потенциалов электростатических полей: если электрическое поле создано несколькими зарядами, то потенциал электрического поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов электрических полей всех этих зарядов:

Например, потенциал  точки электрического поля, созданного системой N точечных зарядов q1, q2, …, qi, …, qN равен: Например, потенциал  точки электрического поля, созданного системой N точечных зарядов q1, q2, …, qi, …, qN равен: Здесь ri – расстояние от данной точки поля до заряда qi системы.

Если заряд q распределен в пространстве с объемной плотностью , то: Если заряд q распределен в пространстве с объемной плотностью , то: мысленно разделим заряженное тело на элементарные части объемами dV и зарядами dq; находим потенциал d электрического поля, созданного в данной точке зарядом dq по формуле потенциала точечного заряда; с помощью принципа суперпозиции потенциалов находим потенциал  в данной точке поля: Здесь r – расстояние между данной точкой поля и элементарным объемом dV, несущим заряд dq.

Аналогично, для зарядов, распределенных по поверхности S или длине L заряженных тел потенциал в точке с радиусом-вектором r равен соответственно: Аналогично, для зарядов, распределенных по поверхности S или длине L заряженных тел потенциал в точке с радиусом-вектором r равен соответственно:

Для консервативного поля связь между консервативной силой F и потенциальной энергией  имеет вид: Для консервативного поля связь между консервативной силой F и потенциальной энергией  имеет вид: Здесь – оператор градиента Поскольку F = qE и  = q, то Знак минус показывает, что вектор напряженности электростатического поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала используются эквипотенциальные поверхности – поверхности, во всех точках которых потенциал  (и потенциальная энергия  заряда, помещенного в данную точку) имеет одно и то же значение. Для графического изображения распределения потенциала используются эквипотенциальные поверхности – поверхности, во всех точках которых потенциал  (и потенциальная энергия  заряда, помещенного в данную точку) имеет одно и то же значение.

Для точечного заряда Для точечного заряда поэтому эквипотенциальные поверхности представляют собой концентрические сферы r = const. С другой стороны, линии напряженности E – радиальные прямые.

Докажем, что линии напряженности всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Докажем, что линии напряженности всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Работа Aед по перемещению единичного положительного заряда вдоль эквипотенциальной поверхности: А так как E, dl  0, то их скалярное произведение равно нулю только тогда, когда Edl.

На рисунке приведена картина силовых линий и эквипотенциальных поверхностей (обозначены пунктиром) для системы из двух одинаковых по модулю и противоположных по знаку точечных зарядов. На рисунке приведена картина силовых линий и эквипотенциальных поверхностей (обозначены пунктиром) для системы из двух одинаковых по модулю и противоположных по знаку точечных зарядов.

ЛЕКЦИЯ 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПЛЕ В ВАКУУМЕ

Пусть в пространстве имеется некоторая поверхность S произвольной формы. Рассмотрим участок этой поверхности, площадь dS которого бесконечно мала. Тогда сам участок можно считать плоским. Пусть в пространстве имеется некоторая поверхность S произвольной формы. Рассмотрим участок этой поверхности, площадь dS которого бесконечно мала. Тогда сам участок можно считать плоским. Пусть n – вектор единичной длины, перпендикулярный к данной площадке (единичный вектор нормали к поверхности S).

Рассмотрим произвольную элементарную площадку dS в области пространства, где имеется электрическое поле. Рассмотрим произвольную элементарную площадку dS в области пространства, где имеется электрическое поле. Ввиду малости dS считаем, что в любое ее точке E = const. Выберем единичный вектор нормали n к площадке. Обозначим  – угол между векторами E и n (dS). Потоком d вектора напряженности электрического поля E через элементарную площадку называется скалярное произведение векторов E и dS.

Для нахождения потока вектора E через произвольную поверхность конечных размеров: Для нахождения потока вектора E через произвольную поверхность конечных размеров: разбиваем мысленно поверхность S на элементарные площадки dSi так, чтобы в пределах каждого участка вектор напряженности Ei был постоянен; каждому участку сопоставим вектор нормали n и вектор элементарной площадки dSi.

Поток  вектора напряженности E электрического поля через поверхность S конечных размеров равен пределу при N   суммы потоков через все элементарные площадки, на которые мысленно разбита рассматриваемая поверхность: Поток  вектора напряженности E электрического поля через поверхность S конечных размеров равен пределу при N   суммы потоков через все элементарные площадки, на которые мысленно разбита рассматриваемая поверхность: N – число элементарных площадок

Аналогично можно определить и поток вектора напряженности через замкнутую поверхность S. Аналогично можно определить и поток вектора напряженности через замкнутую поверхность S. При этом принято выбирать внешнюю нормаль к поверхности:

Из определения потока  следует, что он пропорционален модулю вектора напряженности электрического поля E, т.е. при увеличении модуля E во всех точках пространства в k раз поток  тоже возрастет в k раз. Из определения потока  следует, что он пропорционален модулю вектора напряженности электрического поля E, т.е. при увеличении модуля E во всех точках пространства в k раз поток  тоже возрастет в k раз. Таким образом, можно утверждать, что поток  вектора напряженности электрического поля E пропорционален числу силовых линий, пронизывающих эту поверхность.

Знак потока d определяется углом  между нормалью n к элементарной площадке и вектором напряженности E электрического поля в этой же точке. Знак потока d определяется углом  между нормалью n к элементарной площадке и вектором напряженности E электрического поля в этой же точке. Из рисунка видно, что поток, входящий в замкнутый объем, отрицателен ( < 0), выходящий из него – положителен ( > 0).

Телесный угол – это область пространства, ограниченная конической поверхностью с замкнутой направляющей (бесконечная воронка). Телесный угол – это область пространства, ограниченная конической поверхностью с замкнутой направляющей (бесконечная воронка). Единица измерения телесного угла – стерадиан (ср). Телесный угол  в стерадианах равен отношению площади S, вырезаемой телесным углом на поверхности шара произвольного радиуса R, описанного из вершины телесного угла, к квадрату радиуса R2 этого шара.

Поскольку площадь поверхности шара составляет 4R2, где R – радиус шара, то полный телесный угол  в стерадианах равен Поскольку площадь поверхности шара составляет 4R2, где R – радиус шара, то полный телесный угол  в стерадианах равен

Элементарный (бесконечно малый) телесный угол d – телесный угол, вырезающий на поверхности шара, описанного произвольным радиусом R из его вершины, бесконечно малый участок площади dS, величина которого приблизительно равна площади основания шарового сегмента dS, кривая поверхность которого совпадает с участком, вырезанным телесным углом. Элементарный (бесконечно малый) телесный угол d – телесный угол, вырезающий на поверхности шара, описанного произвольным радиусом R из его вершины, бесконечно малый участок площади dS, величина которого приблизительно равна площади основания шарового сегмента dS, кривая поверхность которого совпадает с участком, вырезанным телесным углом.

Если элементарный угол d вырезает на некоторой произвольной поверхности S элементарную площадку dS, вектор нормали n к которой образует угол  с осью телесного угла, то величина d в стерадианах находится через площадь проекции dS на плоскость, перпендикулярную к оси телесного угла: Если элементарный угол d вырезает на некоторой произвольной поверхности S элементарную площадку dS, вектор нормали n к которой образует угол  с осью телесного угла, то величина d в стерадианах находится через площадь проекции dS на плоскость, перпендикулярную к оси телесного угла:

Теорема Гаусса является важнейшей теоремой электростатики и формулируется следующим образом Теорема Гаусса является важнейшей теоремой электростатики и формулируется следующим образом Теорема Гаусса: поток  вектора напряженности электрического поля E через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на 0: Докажем ее.

Случай 1. Пусть внутри поверхности S расположен точечный заряд q. Случай 1. Пусть внутри поверхности S расположен точечный заряд q. Элементарный поток вектора E через площадку dS:

Случай 2. Пусть внутри поверхности S расположены точечные заряды или заряд, непрерывно распределенный в пространстве. Случай 2. Пусть внутри поверхности S расположены точечные заряды или заряд, непрерывно распределенный в пространстве. Для потока вектора Ei каждого из зарядов qi через поверхность S справедлива теорема Гаусса (см. случай 1): Сложим подобные равенства для всех зарядов системы и применим принцип суперпозиции:

Случай 3. Пусть заряд q расположен вне замкнутой поверхности S (снаружи). Случай 3. Пусть заряд q расположен вне замкнутой поверхности S (снаружи). Разделим мысленно поверхность S на элементарные участки dSi с помощью телесных углов d, причем каждый из d, вырезает на поверхности S две элементарные площадки dS1 и dS2.

Элементарный поток вектора E через эти площадки: Элементарный поток вектора E через эти площадки:

ЛЕКЦИЯ 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Основные затруднения при использовании теоремы Гаусса связаны с выбором замкнутой поверхности S. Чтобы их избежать, необходимо придерживаться следующих рекомендаций: Основные затруднения при использовании теоремы Гаусса связаны с выбором замкнутой поверхности S. Чтобы их избежать, необходимо придерживаться следующих рекомендаций: Из соображений симметрии находят направление вектора E в пространстве, окружающем заряженное тело. Точка, в которой определяют вектор напряженности E, должна принадлежать замкнутой поверхности интегрирования S. Поверхность S выбирают симметричной расположению зарядов, а ее составные части должны быть либо перпендикулярны, либо касательные к вектору напряженности. В этом случае поток вектора напряженности представляется в виде суммы потоков, один из которых равен нулю в силу перпендикулярности векторов E и dS , а другой – равен 0 (т.к. в любой точке поверхности En = const) в зависимости от взаимного направления нормали к поверхности и вектора .

1.6.1 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОЙ СФЕРЫ 1.6.1 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОЙ СФЕРЫ

Рассмотрим сферическую поверхность радиусом R, по которой равномерно распределен положительный заряд q = S, где  – поверхностная плотность заряда, S = 4R2 – площадь сферы. Рассмотрим сферическую поверхность радиусом R, по которой равномерно распределен положительный заряд q = S, где  – поверхностная плотность заряда, S = 4R2 – площадь сферы. Определим с помощью теоремы Гаусса напряженность E и потенциал  электрического поля в точках, расположенных снаружи, внутри и на поверхности сферы.

Найдем с помощью теоремы Гаусса напряженность электрического поля в точках, находящихся на расстоянии r > R. Найдем с помощью теоремы Гаусса напряженность электрического поля в точках, находящихся на расстоянии r > R. Для этого выберем в качестве поверхности Sr интегрирования сферическую поверхность радиуса r, концентрическую к сфере:

Найдем с помощью теоремы Гаусса напряженность электрического поля в точках, находящихся на расстоянии r < R (внутри сферы). Найдем с помощью теоремы Гаусса напряженность электрического поля в точках, находящихся на расстоянии r < R (внутри сферы). Для этого снова выберем в качестве поверхности Sr интегрирования сферическую поверхность радиуса r, концентрическую к сфере: (т.к. выбранная поверхность не охватывает заряда).

Таким образом, напряженность электрического поля заряженной сферы: Таким образом, напряженность электрического поля заряженной сферы:

Разность потенциалов между двумя точками, находящихся на расстояниях r1 и r2 от центра сферы (r1, r2 > R) вне ее, равна Разность потенциалов между двумя точками, находящихся на расстояниях r1 и r2 от центра сферы (r1, r2 > R) вне ее, равна Если r1 = r > R, r2 = , то получаем, что потенциал (r > R) заряженной сферы в точке, находящейся на расстоянии r от ее центра:

Внутри заряженной сферы поля нет и потенциал в любой точке внутри ее равен потенциалу на ее поверхности (r < R) = const = (R): Внутри заряженной сферы поля нет и потенциал в любой точке внутри ее равен потенциалу на ее поверхности (r < R) = const = (R):

Таким образом, потенциал электрического поля равномерно заряженной сферы: Таким образом, потенциал электрического поля равномерно заряженной сферы:

1.6.2 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОГО ШАРА 1.6.2 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОГО ШАРА

Пусть заряд q равномерно распределен по объему шара радиуса R с объемной плотностью Пусть заряд q равномерно распределен по объему шара радиуса R с объемной плотностью где Центр шара является центром симметрии поля.

Найдем поле E вне шара (r > R). Найдем поле E вне шара (r > R). Окружим шар сферической поверхностью Sr радиуса r. Поток вектора напряженности E через эту поверхность, согласно теореме Гаусса: Тогда

Теперь найдем поле E внутри шара (r < R). Проведем сферическую поверхность Sr радиуса r. Заряд внутри этой поверхности: Теперь найдем поле E внутри шара (r < R). Проведем сферическую поверхность Sr радиуса r. Заряд внутри этой поверхности: Тогда, по теореме Гаусса:

Таким образом, электрическое поле заряженного шара: Таким образом, электрическое поле заряженного шара:

Разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстояниях r1 и r2 от центра шара (обе точки находятся вне шара: r1, r2 > R): Разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстояниях r1 и r2 от центра шара (обе точки находятся вне шара: r1, r2 > R): Если положить r1 = r и r2 = , то получаем, что потенциал  в точке на расстоянии r от центра шара (вне его) равен

Для точек, лежащих на расстоянии r внутри шара (r < R) имеем: Для точек, лежащих на расстоянии r внутри шара (r < R) имеем: Если, например, r2 = R, r1 = r < R, то Таким образом, потенциал электрического поля внутри шара

Потенциал электрического поля равномерно заряженного шара: Потенциал электрического поля равномерно заряженного шара:

1.6.3 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОЙ НИТИ (ТОНКОГО ЦИЛИНДРА) 1.6.3 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОЙ НИТИ (ТОНКОГО ЦИЛИНДРА)

Пусть бесконечный цилиндр радиуса R заряжен равномерно с линейной плотностью заряда  > 0. Пусть бесконечный цилиндр радиуса R заряжен равномерно с линейной плотностью заряда  > 0. Линии напряженности электрического поля E будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра.

В качестве гауссовой поверхности выберем цилиндр радиуса r и высотой h, коаксиальный с заряженной нитью. В качестве гауссовой поверхности выберем цилиндр радиуса r и высотой h, коаксиальный с заряженной нитью. Поток вектора E через поверхность S выбранного цилиндра равен только потоку через его боковую поверхность Sбок (т.к. на основаниях цилиндра EdS):

Разность потенциалов между двумя точками поля, находящимися на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра (нити): Разность потенциалов между двумя точками поля, находящимися на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра (нити): Если r1 = R (радиус цилиндра), r2 = r, то И если принять потенциал на поверхности цилиндра (на оси нити) равным нулю: (R) = 0, потенциал электростатического поля на расстоянии r от оси цилиндра вне его пределов:

1.6.4 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОГО ПО ОБЪЕМУ ЦИЛИНДРА 1.6.4 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОГО ПО ОБЪЕМУ ЦИЛИНДРА

Пусть длинный цилиндр радиуса R (длина h цилиндра намного больше его радиуса) заряжен равномерно с объемной плотностью заряда  > 0. Пусть длинный цилиндр радиуса R (длина h цилиндра намного больше его радиуса) заряжен равномерно с объемной плотностью заряда  > 0. Как и в предыдущем случае, линии напряженности электрического поля E будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра во все стороны относительно оси цилиндра.

Выбирая гауссову поверхность так же, как и в предыдущем случае, в виде коаксиального цилиндра с радиусом основания r и зарядом q получим, что в области поля, где r > R: Выбирая гауссову поверхность так же, как и в предыдущем случае, в виде коаксиального цилиндра с радиусом основания r и зарядом q получим, что в области поля, где r > R:

Выбираем гауссову поверхность так же в виде коаксиального цилиндра с радиусом основания r < R и зарядом q. Получим, что в области поля внутри цилиндра: Выбираем гауссову поверхность так же в виде коаксиального цилиндра с радиусом основания r < R и зарядом q. Получим, что в области поля внутри цилиндра:

Пусть потенциал на оси цилиндра равен нулю: (r = 0) = 0. Тогда разность потенциалов между осью цилиндра и точной, находящейся от оси на расстоянии r < R: Пусть потенциал на оси цилиндра равен нулю: (r = 0) = 0. Тогда разность потенциалов между осью цилиндра и точной, находящейся от оси на расстоянии r < R: Тогда потенциал внутри цилиндра на расстоянии r от его оси: Потенциал на поверхности цилиндра:

Теперь найдем потенциал в точке, находящейся на расстоянии r > R от оси цилиндра (снаружи цилиндра). Для этого найдем разность потенциалов между этой точной и точкой на поверхности цилиндра: Теперь найдем потенциал в точке, находящейся на расстоянии r > R от оси цилиндра (снаружи цилиндра). Для этого найдем разность потенциалов между этой точной и точкой на поверхности цилиндра:

1.6.4 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОЙ БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛОСКОСТИ 1.6.4 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОЙ БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛОСКОСТИ

Пусть бесконечно большая плоскость x = 0 равномерно заряжена с поверхностной плотностью . Пусть бесконечно большая плоскость x = 0 равномерно заряжена с поверхностной плотностью . Линии вектора напряженности электрического поля E направлены перпендикулярной к ней от нее (если  > 0) или к ней (если  < 0). Найдем поле заряженной плоскости.

За гауссову поверхность удобно принять поверхность цилиндра, образующие которого перпендикулярны плоскости, а основания площадью S параллельны ей и лежат по разные стороны от нее на одинаковых расстояниях. За гауссову поверхность удобно принять поверхность цилиндра, образующие которого перпендикулярны плоскости, а основания площадью S параллельны ей и лежат по разные стороны от нее на одинаковых расстояниях. как векторы E направлены вдоль оси X: E = Exi и Ex(x) = –Ex(–x), то

Таким образом, напряженность электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости: Таким образом, напряженность электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости: Или, в проекции на ось X

Так как Ex = –d/dx, то полагая потенциал  = 0 во всех точках заряженной плоскости, т.е. (x = 0) = 0, получаем: Так как Ex = –d/dx, то полагая потенциал  = 0 во всех точках заряженной плоскости, т.е. (x = 0) = 0, получаем: при x > 0: при x < 0: Или

1.6.5 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ДВУЗ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННЫХ БЕСКОНЕЧНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ 1.6.5 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ДВУЗ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННЫХ БЕСКОНЕЧНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

С помощью предыдущего примера найдем напряженность и потенциал электрического поля двух параллельных однородно и разноименно заряженных зарядами q = S бесконечных плоскостей, расстояние между которыми обозначим d. С помощью предыдущего примера найдем напряженность и потенциал электрического поля двух параллельных однородно и разноименно заряженных зарядами q = S бесконечных плоскостей, расстояние между которыми обозначим d.

Из предыдущего примера следует, что модули векторов E1 и E2 напряженностей полей первой и второй плоскостей равны по модулю: Из предыдущего примера следует, что модули векторов E1 и E2 напряженностей полей первой и второй плоскостей равны по модулю: и всюду направлены параллельно оси X, перпендикулярной плоскостям.

Согласно принципу суперпозиции полей, Согласно принципу суперпозиции полей, тогда, слева от первой плоскости (x < 0) и справа от второй плоскости (x > d) поле отсутствует: E = 0 В области между плоскостями:

Потенциал второй плоскости 2 найдем из второго равенства системы: Потенциал второй плоскости 2 найдем из второго равенства системы: Таким образом, разность потенциалов между плоскостями: