🗊Презентация Электричество и магнетизм. Теорема Гаусса в дифференциальной форме. (Лекция 3)

Электричество и магнетизм Лекция 3.

ТЕОРЕМА ГАУССА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ Замечательное свойство электрического поля, которое выражает собой теорема Гаусса, побуждает представить эту теорему в иной форме, расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета. В отличие от формы (2.05) —ее называют интегральной — мы будем искать дифференциальную форму теоремы Гаусса, в которой устанавливается связь между объемной плотностью заряда  и изменениями напряженности Е в окрестности данной точки пространства.

Рассмотрим пространство Рассмотрим пространство

Возьмем в пространстве бесконечно малый прямоугольный па­раллелепипед со сторонами dx, dy, dz, параллельными координатным осям прямоугольной системы координат (рис. 3.015). На грани 1 внешняя нормаль направлена в отрицательную сторону оси X. Поэтому поток вектора Е через эту грань будет Возьмем в пространстве бесконечно малый прямоугольный па­раллелепипед со сторонами dx, dy, dz, параллельными координатным осям прямоугольной системы координат (рис. 3.015). На грани 1 внешняя нормаль направлена в отрицательную сторону оси X. Поэтому поток вектора Е через эту грань будет

Сумма обоих потоков будет Сумма обоих потоков будет

Полный поток через всю поверхность параллелепипеда: Полный поток через всю поверхность параллелепипеда:

По теореме Гаусса тот же поток равен По теореме Гаусса тот же поток равен

Часто для описания вводят так называемы оператор набла , который в Декартовой системе координат имеет вид Часто для описания вводят так называемы оператор набла , который в Декартовой системе координат имеет вид

Теорема Гаусса в дифференциальной форме является следствием той же теоремы в интегральной форме. Обращая порядок рассуждений, легко убедиться, что из дифференциальной формы теоремы Гаусса можно получить интегральную. Теорема Гаусса в дифференциальной форме является следствием той же теоремы в интегральной форме. Обращая порядок рассуждений, легко убедиться, что из дифференциальной формы теоремы Гаусса можно получить интегральную. Обе формы математически эквивалентны, но дифференциальная форма имеет смысл лишь в том случае, когда электричество распределено в пространстве с конечной плотностью . Если  обращается в бесконечность в отдельных точках, на линиях или поверхностях, то дифференциальная форма становится неприменимой, тогда как интегральная форма применима и в таких случаях. В этом смысле интегральная форма обладает большей математической общностью, чем дифференциальная. Однако разрывные распределения электричества с бесконечно большими значениями  являются математическими абстракциями и в физике должны рассматриваться как предельные случаи непрерывных распределений с всюду конечными значениями . Если это иметь в виду, то можно утверждать, что интегральная и дифференциальная формы теоремы Гаусса полностью эквивалентны.

Работа сил электрического поля. Работа, совершаемая силой по перемещению тел, определяется следующим образом

Рассмотрим работу по перемещению заряда q в поле заряда Q Рассмотрим работу по перемещению заряда q в поле заряда Q

Таким образом Таким образом

ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА Е. ПОТЕНЦИАЛ Рассмотрим работу электрического поля E над зарядом q при перемещении из точки 1 в точку 2 по траектории l. Выделим на траектории короткий прямолинейный участок dl.

Потенциал.

Связь между потенциалом и вектором Е

Эквипотенциальные поверхности.

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ

Сила, действующая на диполь.

Момент сил, действующих на диполь.

Энергия диполя в поле.