🗊Презентация Физико-математические основы РКТ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ» КАФЕДРА «МЕДИЦИНСКАЯ ФИЗИКА» Курс «ФИЗИКА ВИЗУАЛИЗАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ В МЕДИЦИНЕ» доцент каф. 35, к.ф.-м.н. Штоцкий Ю.В.

Содержание Закон Бера Основная задача РКТ Интегральное (прямое) преобразование Радона Методы обращения интегрального преобразования Радона: Метод двумерной фильтрации Метод Фурье-синтеза Метод одномерной фильтрации

Закон Бера Закон Бера

Преобразование Радона Преобразование Радона

Интегральное преобразование Радона Интегральное преобразование Радона

Основная задача РКТ Основная задача РКТ

Обратное преобразование Радона Обратное преобразование Радона

Недостатки обратного преобразования Радона Недостатки обратного преобразования Радона

Более эффективные алгоритмы обращения, используемые в практической рентгеновской вычислительной томографии Более эффективные алгоритмы обращения, используемые в практической рентгеновской вычислительной томографии

Состоит из двух этапов: Состоит из двух этапов: Получение суммарного изображения g(x,y) с помощью операции обратного проецирования; Двумерная фильтрация суммарного изображения, результатом которой является оценка исходного изображения Операция обратного проецирования: Для каждой проекции p(ξ,θ) находится обратная проекция b(x,y,θ): т.е. значение отсчета p(ξ,θ) приписываем всем точкам, лежащим на прямой ξ=x·cosθ + y·sinθ в неподвижной системе координат. Суммарное изображение g(x,y) получится суперпозицией всех обратных проекций:

Обратное проецирование

Обратное проецирование

Обратное проецирование Обратное проецирование

Двумерная фильтрация суммарного изображения Суммарное изображение g(x,y) связано с искомой функцией µ(x,y) уравнением свёртки: Можно показать, что ядро двумерной свёртки h2(x,y) имеет вид: Следовательно нужна дополнительная операция фильтрации, т.е. решение свёртки (1.21) с известным ядром h2(x,y). Для этого необходимо перейти в Фурье пространство и воспользоваться теоремой о двумерной свёртке: где F2{…}-двумерное преобразование Фурье Тогда двумерный Фурье-образ искомой функции µ(x,y) будет равен: А оценка исходного изображения где F2-1{…}- обратное двумерное преобразование Фурье

Двумерная фильтрация суммарного изображения

Двумерная фильтрация суммарного изображения В качестве аподизирующей функции («окна») часто используют: функцию в виде прямоугольного импульса, ограниченного по полосе частот; косинусную функцию; синусную функцию; обобщённую функцию Хемминга.

Аподизирующая функция в виде прямоугольного импульса, ограниченного по полосе частот. Аподизирующая функция в виде прямоугольного импульса, ограниченного по полосе частот.

2. Метод Фурье-синтеза Данный метод обращения преобразования Радона основан на так называемой теореме о центральном сечении, устанавливающей связь между одномерным фурье-образом проекции p(ξ,θ) по переменной ξ и двумерным фурье-образом искомого распределения µ(x,y). Одномерный фурье-образ проекции p(ξ,θ) по переменной ξ в полярной системе координат (r,φ) равен : [существует только в точках ξ = r·cos(θ - φ)] Двумерный фурье-образ искомого распределения µ(x,y) в полярной системе координат (ρ,ψ) равен : Очевидно, если заменить χ на ρ, а θ на ψ, то получим соотношение: т.е. одномерный фурье-образ проекции p(ξ,θ) , полученной при уголе θ, является сечением (фрагментом) двумерного фурье-образа искомого распределения µ(x,y) по линии, проходящей через начало координат (центральное сечение) и повернутой на угол θ.

Таким образом, из одномерных фурье-образов проекций Р(ρ, ψ) можно набрать (синтезировать) двумерный фурье-образ искомого изображения М(ρ, ψ), которое затем можно восстановить с помощью двумерного обратного преобразования Фурье. Таким образом, из одномерных фурье-образов проекций Р(ρ, ψ) можно набрать (синтезировать) двумерный фурье-образ искомого изображения М(ρ, ψ), которое затем можно восстановить с помощью двумерного обратного преобразования Фурье.

3. Метод одномерной фильтрации (метод фильтрованных обратных проекций) Последовательность действий в данном методе: Одномерная фильтрация каждой проекции; Операция обратного проецирования, результатом которой является оценка искомого изображения.