🗊Презентация Кинематика. Кинематика точки

1. КИНЕМАТИКА. Кинематика точки. Кинематика точки Кинематика – раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел. При этом не учитываются масса тел и силы, которые действуют на них. Все величины в кинематике рассматриваются как изменяющиеся с течением времени, т.е. как функции времени.

2. Кинематика. Векторный способ задания движения точки. Положение точки М задается ее радиусом-вектором , проведенным из начала координат О в точку М (рис.37). Рис.37. При движении точки М вектор рассматривается как переменный вектор (вектор-функция), зависящий от аргумента t: - уравнение движения или закон движения точки в векторной форме. В прямоугольных декартовых координатах проекции вектора на оси x, y, z (рис.37): .

3. Кинематика. Координатный способ задания движения точки. Положение точки можно задать ее координатами x, y, z, изменяющимися с течением времени. ; ; - уравнения движения точки или закон движения точки. Из этих уравнений, исключая время t, можно найти уравнения траектории движения точки.

4. Кинематика. Естественный способ задания движения. Траектория точки М – кривая АВ – известна (рис.38). Точку примем за начало отсчета. Определим положительное и отрицательное направление отсчета движения точки на кривой. s – криволинейная координата, равная расстоянию от точки до точки М ( ,…). Рис. 38. s=f(t) - закон движения точки М вдоль траектории.

5. Кинематика. Вектор скорости точки Векторная величина, характеризующая в данный момент быстроту и направление движения по траектории, называется скоростью. Рис.39. Перемещение точки за промежуток времени определяется вектором - вектором перемещения точки. , или . Средняя по модулю и направлению скорость точки за промежуток времени определяется : . Направление вектора совпадает с направлением

6. Кинематика. Вектор скорости точки. Если промежутки времени малы ( 0) средняя скорость становится равной истинной скорости в данный момент: Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени. Направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

7. Кинематика. Вектор ускорения точки Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки. Вектор направлен в сторону вогнутости траектории. Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой. Плоскость, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки. Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью этой кривой и является общей для всех точек.

8. Кинематика. Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения Воспользуемся теоремой: проекция производной от вектора на ось, неподвижную в данной системе отсчета, равна производной от проекций дифференцируемого вектора на ту же ось. 1. Скорость точки. Учитывая, что , найдем:   или , , Модуль и направление скорости (углы , которые вектор образует с координатными осями): , , .

9. Кинематика. 2. Ускорение точки. Вектор ускорения: Отсюда: , , , или , , . Проекции ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения ( - углы, которые вектор ускорения образует с координатными осями): ; ; ; .

10. Кинематика. Скорость и ускорение точки при естественном задания движения Даны траектория точки и закон движения точки вдоль траектории s=f(t). Значения векторов и определяют по их проекциям на подвижные оси , которые движутся вместе с точкой М и называются осями естественного трехгранника, или скоростными осями. Рис.41. Направление осей: ось - по касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s, ось Мn – по нормали к траектории, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории, ось Mb – перпендикулярно к осям и Mn так, чтобы она образовала с ними правую систему осей. Нормаль Mn - главная нормаль, нормаль Mb – бинормаль.

11. Кинематика. Скорость и ускорение точки при естественном задании движения. Поскольку вектор скорости точки совпадает с осью , то величина скорости определяется проекцией вектора на эту ось с учетом знака . Знак принято опускать и называть v числовым (алгебраическим) значением скорости. Числовое значение скорости точки в данный момент времени равно первой производной от расстояния (криволинейной координаты) s этой точки по времени. Величина v определяет и модуль скорости, и ее направление – по знаку модуля.

12. Кинематика. Касательное и нормальное ускорение точки Проекции вектора на оси , Mn, Mb: , , , где . Рис.42. Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине и всегда направлено по касательной к траектории; при ускорении движения тела направление совпадает с направлением вектора скорости, а при замедлении – противоположно направлению.

13. Кинематика. Касательное и нормальное ускорения точки Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и определяется: , где ᵨ - радиус кривизны траектории в данный момент времени. Нормальное ускорение всегда направлено перпендикулярно скорости к центру дуги. Значение полного ускорения :

14. Кинематика. Касательное и нормальное ускорения точки. Рис.43.  

15. Кинематика. Частные случаи движения точки. 1. Прямолинейное движение. , , . Касательное ускорение характеризует изменение числового значения скорости. 2.Равномерное криволинейное движение. V=сonst, , . Вектор направлен по нормали к траектории точки. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Закон равномерного криволинейного движения: , , , , . При s=vt, v=s/t.

16. Кинематика. Частные случаи движения точки. 3. Равномерное прямолинейное движение. , . Ускорение точки равно нулю только при равномерном прямолинейном движении. 4. Равнопеременное криволинейное движение. . При t=0 , . , . Интегрируем: . Или . Интегрируем: - закон равнопеременного криволинейного движения точки.

17. Кинематика. Поступательное движение. Кинематика твердого тела Поступательное движение Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. Теорема. При поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории и в каждый данный момент имеют одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

18. Кинематика. Поступательное движение Поскольку поступательное движение твердого тела определяется движением какой-либо его точки, его движение сводится к кинематике точки. Обычно рассматривают движение центра масс.

19. Кинематика. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Если твердое тело движется так, что две какие-нибудь его точки остаются неподвижными, то такое движение называются вращательным. Неподвижная прямая АВ - ось вращения тела. Каждая точка тела, не лежащая на оси вращения, описывает при таком вращении окружность, плоскость которой перпендикулярность к оси вращения и центр которой лежит на этой оси. Для описания вращательного движения тела вокруг неподвижной оси можно использовать только угловые параметры. Рис.48. Вдоль оси вращения направим ось Az и проведем две полуплоскости: неподвижную – I, и подвижную – II. - угол поворота тела. Считаем, что положителен, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси Az. [ ] = рад. Положение тела в любой момент времени определяется углом , закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси: .

20. Кинематика. Вращательное движение. Угловая скорость тела определяется: или . Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени. Размерность – 1/T, рад/сек=1/сек= . Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости тела с течением времени. или . Числовое значение углового ускорения тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени. Размерность – 1/ , 1/

21. Кинематика. Равномерное вращение Угловая скорость постоянна, т.е. = const . - закон равном. кривол. дв-я Равнопеременное вращение Угловое ускорение тела постоянно, т.е. = const . Если величины и имеют одинаковые знаки, то вращение будет равноускоренным, а если имеют разные знаки – равнозамедленным. - з-н равноперем. кривол. дв-я точки.

22. Кинематика. Определение скоростей и ускорений точек вращающегося тела 1. Скорость точек тела Рис.50. Рис. 51. За время dt точка М совершает поворот вокруг оси на элементарный угол , элементарное перемещение вдоль траектории . Числовое значение скорости точки: или .  

23. Кинематика. Скорость точек твердого тела при вращательном движении. Скорость точки v называют линейной или окружной скоростью точки М. Направлена скорость по касательной к описываемой окружности и перпендикулярна плоскости, проходящую через ось вращения и точку М. Поле скорости точек тела:   Рис. 52.

24. кинематика. Вращательное движение твердого тела. 2.Ускорение точек тела. Воспользуемся формулами: , , . Тогда, , . Или , . Полное ускорение или .

25. Кинематика. Ускорение точек тела. Рис.53. Рис.54. Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом ; . Или . Т.к. и в данный момент времени для всех точек тела имеют одно и то же значение, следовательно: а) скорость и ускорение всех точек вращающегося твердого тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения; б) угол для всех точек вращающегося тела в данный момент времени имеет одно и то же значение. Поле ускорения точек вращающегося тела показано на рис.54.

28. Кинематика. Плоскопараллельное движение. Плоскопараллельное движение твердого тела Плоскопараллельным движением твердого тела называется такое, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных данной неподвижной плоскости. Примеры: 1) движение конуса, основание которого скользит по данной неподвижной плоскости; 2) качение колеса по прямолинейному рельсу; 3) движение шатуна кривошипно-шатунного механизма; 4) вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Рис.56. Секущая плоскость Оxy параллельна плоскости П.Все точки сечения S тела движутся параллельно плоскости П. Поэтому достаточно рассмотреть движение сечения S тела – плоской фигуры S – в плоскости Oxy.

29. Кинематика. Плоскопараллельное движение твердого тела. На плоскости сечения S проведем отрезок АВ, который и будет определять положение плоской фигуры S. Положение отрезка определяется координатами , и углом (с осью x). Точку А назовем полюсом. Рис. 57. , , - уравнения плоскопараллельного движения твердого тела. Первые два уравнения – уравнения поступательного движения. Третье уравнение определяет движение, которое совершила бы фигура S при неподвижном полюсе А. Следовательно , Движение плоской фигуры в общем случае можно разложить на два движения: 1) поступательное движение со скоростью, равной скорости произвольно выбранной точки фигуры (полюса); 2) вращательное движение вокруг этой точки.

30. Кинематика. Плоскопараллельное движение. Основные кинематические характеристики этого движения являются: 1) скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса ( , ), и 2) угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса. Вращательная часть движения не зависит от выбора полюса.

31. Кинематика. Скорости точек плоской фигуры Скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь точки А, принятый за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. где - скорость полюса А; - скорость вращения фигуры относительно полюса А. При этом , где - угловая скорость фигуры.

32. Кинематика. Ускорение точек плоской фигуры Ускорение каждой точки движущейся плоской фигуры равно геометрической сумме двух ускорений: 1) ускорения в поступательном (переносном) движении полюса и 2) ускорения во вращательном движении вокруг полюса (в относительном движении).

33. Кинематика. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела: Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны между собой. Рассмотрим точки А и В плоской фигуры, где точка А – полюс. Рис.61. . Проецируя и ( ) на ось, проведенную по линии АВ, находим , что и требовалось доказать.

34. Кинематика. Мгновенный центр скоростей (МЦС) Изучая движение плоской фигуры в ее поступательном и вращательном движении, приходим к логическому выводу о существовании в каждый момент времени точки, в которой скорость равна нулю. Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Рис.62. Пусть в момент времени t точки А и В плоской фигуры имеют скорости и , не параллельные друг другу. Точка Р лежит на пересечении перпендикуляров Aa и Вb к этим векторам. Докажем, что т. Р - МЦС. Если допустить, что скорость не равняется нулю , тогда вектор скорости точки Р должен быть перпендикулярен и АР и ВР – согласно теореме о проекциях скоростей двух точек тела, что невозможно. Более того, никакая другая точка в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю.

35. Кинематика. МЦС. Если Р - полюс, то скорость, например, точки А в момент времени t: , т.к. . Следовательно, скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг МЦС. Покажем, что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от МЦС. ; ; следовательно, .

36. Кинематика. МЦС. Выводы: 1. Для определения МЦС надо знать только направления скоростей и двух точек А и В плоской фигуры. 2. МЦС лежит в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных в двух точках фигуры к скоростям этих точек. 3. Для определения скорости любой точки плоской фигуры надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В. 4. Угловая скорость плоской фигуры равна в каждый данный момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к ее расстоянию от МЦС (т. Р): .

37. Кинематика. Частные случаи определения МЦС: 1. При качении без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого неподвижного, точка касания Р является МЦС (рис.63). Рис.63. Рис. 64. 2. Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны, причем линия АВ не перпендикулярна скоростям (рис. 63, а), то движение является поступательным (назыв. мгновенно поступательным). МЦС лежит в бесконечности. Из теоремы о проекции скоростей: , т.е. - для любой точки фигуры, т.е. фигура имеет мгновенное поступательное распределение скоростей. .

38. Кинематика. Частные случаи определения МСЦ. Рис.64. Рис. 65. 3. Если и параллельны, а линия АВ перпендикулярна направлению скоростей (рис. 64, б), то МЦС определяется геометрически (рис.64). В этом случае надо знать направление и модули скоростей и . 4. Если известны какой-нибудь точки В фигуры и ее угловая скорость , то положение МЦС (ц. Р), лежащего на перпендикуляре к , можно найти из : . .