🗊Презентация Классическая теория излучения

Классическая теория излучения Лекция 2

3. Реакция излучения, ширина линий Движущийся точечный заряд излучает. Излучаемая за единицу времени энергия: Эта энергия должна быть поставлена теми силами, которые поддерживают движение заряда. Поэтому кинетическая энергия частицы должна убывать со временем. Излучение также должно влиять на движение. Необходимо рассмотреть обратное действие испускаемого зарядом поля на его собственное движение (реакцию излучения).

3. Реакция излучения, ширина линий Рассмотрим два способа расчета обратного действия : Первый: в первом приближении движение частицы не меняется за счет излучения, которое определяется формулой: В качестве второго приближения к уравнению движения добавляется некоторый малый член (сила трения). Второй: вычисление силы, с которой создаваемое зарядом поле действует на этот заряд.

3. Реакция излучения, ширина линий 1. Первый путь: баланс энергии. Ограничимся случаем медленной частицы. Согласно (2.26) и (2.20): излучаемая ускоренной частицей в единицу времени энергия В первом приближении уравнением движения частицы будет где K — внешняя сила. К уравнению (3.2) добавим (собственную силу), который должен будет взять на себя потерю энергии (3.1):

3. Реакция излучения, ширина линий Для упрощения выражения баланса энергии принимается, что для двух моментов времени и состояние движения частицы одинаково. Тогда энергия поля в моменты и также будет одинаковой. Тогда работа, выполненная силой за этот промежуток времени, будет равняться полной излученной энергии  При сформулированных выше условиях это уравнение можно разрешить относительно . Интегрируя (3.4) по частям, получаем Условие (3.5) будет выполнено, если положить

3. Реакция излучения, ширина линий Cила реакции пропорциональна производной от ускорения по времени. Для частицы, совершающей гармоническое движение . Приведенный вывод справедлив только до тех пор, пока сила реакции (3.6) мала по сравнению с другими силами. Для гармонического осциллятора это всегда имеет место, если частота не слишком высока. Полагая , получаем для квазиупругой силы и условие: если ввести длину волны : Длина , является классическим радиусом электрона и . Условие (3.7) выполняется для всех волн, длина которых велика по сравнению с .

3. Реакция излучения, ширина линий 2. Второй путь: сила самодействия. Определим силу, действующую на заряд со стороны порождаемого им самим поля. Если распределение заряда задается функцией , а его собственное поле обозначить через , , то сила самодействия будет равна: Чтобы вычислить (3.8) рассмотрим два элемента заряда и на расстоянии друг от друга и определим силу, с которой создаваемое элементом поле действует на элемент . Полная сила самодействия получится интегрированием как по всем элементам , так и по всем элементам .

3. Реакция излучения, ширина линий Предположения: 1) Распределение заряда является жестким, все элементы заряда имеют одинаковые скорость и ускорение. 2) Распределение заряда сферически симметрично и простирается по радиусу на конечное расстояние порядка характеристической длины (радиус электрона). Используем формулу (2.10) для поля, создаваемого элементом заряда . Эта формула выражает поле точечного заряда в точке , которая удерживается в покое. Но элемент заряда , в котором рассчитывается поле, жестко связан с элементом заряда , создающим поле, и оба они имеют одну и ту же скорость. Поэтому формулу (2.10) можно использовать, если мы положим скорость v заряда в момент времени, для которого вычисляется сила самодействия, равной нулю, т. е. проведем вычисление для покоящейся частицы:

3. Реакция излучения, ширина линий Согласно (2.10), создаваемое элементом заряда электрическое поле будет равно в месте расположения заряда в момент времени : и относятся во всех точках к запаздывающему времени . 3) Движение частицы изменяется столь медленно, что изменение ее ускорения за время, необходимое свету, чтобы пересечь распределение заряда, мало по сравнению с самим ускорением: Если принять условие (3.11), то эффект запаздывания будет составлять в (3.10) малую поправку. Поэтому можно разложить любую функцию от t' [например, ] в ряд по степеням . Используя то обстоятельство, что , получаем:

3. Реакция излучения, ширина линий Во всех коэффициентах правой части стоит . Это „запаздывающее расстояние” не равно расстоянию между двумя элементами заряда в покоящейся частице. Даже если в момент времени t, то частица двигалась (и ускоренно) в момент . Чтобы выразить коэффициенты в (3.12) через возведем это равенство в квадрат и подставим полученный ряд в правую часть (3.12). Это даст выражение через величины, взятые в момент времени . Теперь можно записать вместо . Тогда Подставляя это разложение в ряд (3.12), получаем для :

3. Реакция излучения, ширина линий Аналогично получаются разложения для и а для входящей в (3.10) величины s   Все выражения являются степенными рядами по .

3. Реакция излучения, ширина линий В формуле для электрического поля, создаваемого элементом заряда (3.10), разложим до членов, не зависящих от ; все высшие члены обратятся в нуль при предельном переходе к точечной частице . Результат упрощается, если выполнить интегрирование по распределению заряда. Поскольку оно сферически симметрично, все члены, нечетные по отношению к вектору , при таком интегрировании выпадут: Интегрируя (3.14) по всем элементам заряда получаем силу самодействия:

3. Реакция излучения, ширина линий не зависит от распределения заряда и совпадает с выражением для силы самодействия выведенным из соображений баланса энергии. Итак, сила затухания (3.6), найденная из соображений баланса энергии представляет собой член второго приближения (обусловленный запаздыванием внутри частицы) в силе самодействия. Сравнивая (3.16б) с условием (3.11) , которое должно быть наложено на движение частицы, получаем В дальнейшем пологая 0, условия (3.11) или (3.17) будут выполнены автоматически.

3. Реакция излучения, ширина линий Если продолжить разложение (3.12), включая в него дальнейшие степени , то получим следующие члены для , первый из которых будет пропорционален Этот член зависит от внутренней структуры электрона (что справедливо и для всех дальнейших членов). Однако он пропорционален и поэтому исчезает для точечного электрона. Для медленно движущегося электрона является единственной составляющей силы обратного действия создаваемого электроном поля на электрон.

3. Реакция излучения, ширина линий 3. Собственная энергия. Первый член (3.16а) силы самодействия пропорционален ускорению. Поэтому он имеет такой же вид, как и сила инерции . Множитель представляет собой электростатическую собственную энергию, или энергию, содержащуюся в статическом поле частицы. Эта энергия для точечного заряда становится бесконечной, а для заряда, распространенного на область порядка Этот член никакими способами нельзя отличить от механического инерциального члена. Поскольку о природе инертной массе ничего не известно, то возможно объединить оба члена и считать, что сила самодействия уже содержится в определении массы . В релятивистском случае полагается равной всей наблюдаемой силе инерции. Тогда получает порядок величины и Постоянную называют классическим радиусом электрона

3. Реакция излучения, ширина линий 4. Ширина линий. Рассмотрим влияние силы реакции (3.16б) на движение частицы. Вызываемое этой силой реакции изменение движения частицы должно сказаться также и на ее излучении. Рассмотрим линейный гармонический осциллятор как простейший источник света. Если мы пренебрежем силой реакции, то осциллятор будет колебаться бесконечно долго. Однако вследствие наличия силы трения амплитуда осциллятора будет убывать. Уравнением движения будет Будем считать, что сила реакции мала и тогда вместо в качестве первого приближения можно подставить выражение для движения без потерь на излучение. Тогда (3.22) принимает вид

3. Реакция излучения, ширина линий 4. Ширина линий. Приближенным решением (3.23) будет (в предположении ) Усредненная по периоду энергия осциллятора будет равна Итак, энергия убывает экспоненциально, причем является временем, в течение которого энергия уменьшается в раз. называется временем жизни, осциллятора. Условие (3.24) ) выражает то обстоятельство, что это время жизни велико по сравнению с периодом, иначе движение не было периодическим. является функцией только частоты и не зависит от амплитуды колебаний осциллятора.

3. Реакция излучения, ширина линий 4. Ширина линий. Испускаемый таким осциллятором свет будет иметь амплитуду, пропорциональную , то есть . Следовательно эта амплитуда убывает по мере роста t так же, как и амплитуда колебаний осциллятора, поэтому (для ) Формула (3.27) не описывает более монохроматическую волну, но представляет волну с некоторым спектральным распределением . Чтобы найти распределение интенсивности по спектру, разложим (3.27) в интеграл Фурье: или Тогда для распределения интенсивности получим

3. Реакция излучения, ширина линий Описываемая распределением (3.28) спектральная линия обладает максимумом интенсивности на частоте , т. е. на частоте невозмущенного трением осциллятора. Для частоты интенсивность падает до половины максимального значения, поэтому называют шириной линии. Ширина линии равна обратному времени жизни.

3. Реакция излучения, ширина линий Если выразить ширину линии в единицах длин волн, то в соответствии с (3.24) получим Итак, ширина линии оказывается не зависящей от частоты и равна (с точностью до численного множителя) радиусу электрона , который является универсальной постоянной.

4. Рассеяние и поглощение 1. Рассеяние свободными электронами. Пусть на электрон падает световая волна частоты . Если пренебречь релятивистскими эффектами и действием магнитных сил, то уравнением движения будет решение которого имеет вид

4. Рассеяние и поглощение 1. Рассеяние свободными электронами. Электрон начинает колебаться с частотой падающей волны. Это приводит к возникновению излучения вторичных волн той же частоты. Их усредненная по времени интенсивность на расcтоянии от электрона составит: где — угол между направлением наблюдения (R) и направлением поляризации падающей волны . Вводя интенсивность первичного излучения, получаем   где – классический радиус электрона, а – эффективное сечение рассеяния ()

4. Рассеяние и поглощение 1. Рассеяние свободными электронами. Если первичная волна не поляризована, то нужно провести усреднение по и получить где — угол рассеяния. Эффект затухания заключен в величине . Она составляет по порядку величины , что чрезвычайно мало для всех длин волн. Полное рассеянное излучение можно получить из (4.4') интегрированием по всем углам, причем для эффективного сечения (в пренебрежении ) получается Полное сечение рассеяния свободным электроном является универсальной постоянной и не зависит от частоты падающего излучения.

4. Рассеяние и поглощение 2. Рассеяние осциллятором. В качестве второго примера рассмотрим рассеяние света частоты электроном, упруго связанным с частотой собственных колебаний . В этом случае также следует учесть силу затухания. Если электрон совершает только свободные колебания, но не совершает вынужденных колебаний, обусловленных световой волной, то его движение будет периодическим с частотой . Поэтому для силы затухания можно написать: Уравнение движения получит тогда вид  и его решением будет  

4. Рассеяние и поглощение 2. Рассеяние осциллятором. Для интенсивности рассеянного излучения, проходящего в единицу времени через единичную площадку на расстоянии R, получим тогда Рассеянное излучение получает, таким образом, сдвиг фазы , который существенен только вблизи . Усредняя по периоду и вводя интенсивность первичного излучения: Отсюда интегрированием по сфере можно найти полное эффективное сечение рассеяния

4. Рассеяние и поглощение 2. Рассеяние осциллятором. Формула (4.11) называется дисперсионной формулой. Для и получаем выражение (4.5) для рассеяния на свободных электронах. Для частот, далеких от резонансной частоты, величиной в (4.11) можно пренебречь. В окрестности эффективное сечение (4.11) становится очень большим, этот случай называется резонансной флюоресценцией. Тогда можно положить и получить

4. Рассеяние и поглощение 3. Поглощение. Рассмотрим вопрос о передаче энергии от падающей волны к осциллятору. Рассмотрим случай резонанса и пусть первичное излучение обладает вблизи непрерывным распределением интенсивности (размерность – энергия на и на сек.). Для одной определенной -й компоненты Фурье уравнением движения осциллятора будет  где – сдвиг фазы этой отдельной волны. Допустим эти сдвиги фаз распределены случайным образом.

4. Рассеяние и поглощение Поскольку для каждой отдельной частоты передача энергии будет зависеть в основном от разности фаз между осциллятором и волной, то тогда придется принять во внимание и свободные колебания осциллятора. Выберем решение уравнения (4.13) таким образом, чтобы при имелись только свободные колебания. Такое решение будет иметь форму  где b — амплитуда, а —фаза колебаний осциллятора при . Передача энергии осциллятору за единицу времени (и на интервал частот) будет равна работе, выполненной световой волной: Если теперь проинтегрировать (4.15) по времени , содержащему целое число периодов , то член с в (4.14) обратится в нуль и тогда

4. Рассеяние и поглощение   Этот интеграл зависит от фаз и может принимать даже отрицательные значения. Отсюда следует, что для некоторых фаз осциллятор передает энергию световой волне (индуцированное излучение света). Но поскольку фазы распределены случайным образом, то по ним можно провести усреднение. Тогда последний член в (4.16) исчезает, а первый член всегда положителен и равен:

4. Рассеяние и поглощение   Эта передача энергии велика лишь вблизи резонансной частоты , поэтому можно положить . Выражение (4.17) представляет собой передачу энергии только от одной волны частоты , поэтому необходимо проинтегрировать его по некоторому интервалу частот, учитывая, что интенсивности в падающей волне были распределены по закону

4. Рассеяние и поглощение Интегрирование по можно распространить от 0 до , поскольку (4.17) обладает при очень сильным максимумом. Если , то в (4.17) будет входить интеграл вида где . Поэтому поглощенная в единицу времени энергия будет равна   Энергия, передаваемая осциллятору, пропорциональна в среднем времени и интенсивности падающего излучения при частоте . В остальном она от не зависит.

5. Заключение Cила реакции пропорциональна производной от ускорения по времени и мала по сравнению с другими силами. Данное утверждение справедливо для всех волн, длина которых велика по сравнению с радиусом электрона. Ширина линии не зависит от частоты и равна (с точностью до численного множителя) радиусу электрона. Полное сечение рассеяния свободным электроном является универсальной постоянной и не зависит от частоты падающего излучения. Энергия, передаваемая осциллятору, пропорциональна интенсивности падающего излучения