Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №1

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №2

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №3

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №4

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №5

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №6

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №7

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №8

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №9

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №10

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №11

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №12

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №13

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №14

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №15

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №16

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №17

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №18

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №19

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №20

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №21

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №22

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №23

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №24

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №25

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №26

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза, слайд №27

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза. Доклад-сообщение содержит 27 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Концентрические замощения на основе ромбов Пенроуза Известны 2 четырехугольника, получившие названия дротик и змей по своей форме, которые порождают только концентрические замощения. Их основой являются ромбы Пенроуза, форму которых имеют промежутки в симметрично отраженных рядах правильных 5-угольников. *) Чтобы получить дротик и змей, нужно разделить 1 промежуточный ромб в пропорции золотого сечения его большей диагонали как показано на следующих рисунках.

Слайд 2

Описание слайда:

промежуточный ромб в пропорции золотого сечения его большей диагонали АС/DC=1,618….

Слайд 3

Описание слайда:

Дротик и Змей, полученные из промежуточного ромба

Слайд 4

Описание слайда:

Геометрические пропорции дротика и змея позволяют соединить их по равным сторонам в различных сочетаниях. Их примеры показаны на следующих рисунках: слева - змей + дротик , справа - дротик + дротик

Слайд 5

Описание слайда:

Геометрические пропорции дротика и змея позволяют соединить их по равным сторонам в различных сочетаниях. Их примеры показаны на следующем рисунке: змей+змей

Слайд 6

Описание слайда:

Звезда Пенроуза На следующем рисунке показана концентрическая мозаика звезда из конгруэнтных дротиков и змеев. Можно считать, что внутреннюю звезду составляют дротики. Ее внешнее обрамление образуют пары змеев, которые примыкают к дротикам.

Слайд 7

Описание слайда:

Звезда Пенроуза

Слайд 8

Описание слайда:

Промежуточные ромбы Пенроуза Промежуточные ромбы Пенроуза имеют общие стороны со сторонами правильных 5-угольников (см. вводную мозаику Пенроуза), но различаются по углам. В одном ромбе внутренние углы: 72 и 108 градусов. В другом ромбе внутренние углы: 36 и 144 градуса.

Слайд 9

Описание слайда:

Промежуточные ромбы Пенроуза

Слайд 10

Описание слайда:

Аналогичное разделение получается из наложения ромбов Пенроуза как показано на следующем рисунке

Слайд 11

Описание слайда:

На следующих рисунках показаны еще 2 варианта, как можно соединить 2 дротика: дротик+дротик

Слайд 12

Описание слайда:

3 возможные комбинации пары змеев: змей+змей.

Слайд 13

Описание слайда:

3 возможных варианта сочетаний дротик + змей без исходной комбинации.

Слайд 14

Описание слайда:

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ЗАМОЩЕНИЯ Это замощения, где грани являются криволинейными многоугольниками или геометрическими фигурами с криволинейными контурами. Типичным примером криволинейных замощений являются геометрические узоры японских кимоно. Одна из их разновидностей называется сашико (маленький стежок). Ее образуют различные сочетания дуг 1/4 окружности на квадратной сетке, сторона любой клетки которой равна радиусу дуги. Когда контур грани образуют 4 дуги 90°, можно составить 24 = 16 выпукло – вогнутых фигур.

Слайд 15

Описание слайда:

6 фигур являются изометрически различными и не могут быть получены друг из друга поворотами и отражениями

Слайд 16

Описание слайда:

2 узора, составленные из криволинейных 4-угольников с периметром 2π и площадью 2 единицы типа лепесток и кость .

Слайд 17

Описание слайда:

Новые варианты замощений можно получить, увеличив число дуг 90° в контурах граней. На следующем рисунке показаны 2 узора сашико, где контуры граней образуют, соответственно, 8 и 16 дуг 90°. АМИМОН – слева, ЧИДОРИ ЦУНАГИ – справа.

Слайд 18

Описание слайда:

ЗАМОЩЕНИЕ ПЛОСКИХ ФИГУР Бесконечное замощение неограниченной плоскости образует конечное число типов граней, которые могут повторяться произвольно много раз. Замощение плоских фигур с конечным размером может быть построено из бесконечного набора однотипных граней, габариты которых образуют монотонно убывающий ряд. Ниже рассмотрено построение бесконечных замощений для прямоугольника и квадрата. Бесконечное замощение прямоугольника образует следующая последовательность его рекурсивных делений. Сначала исходный прямоугольник нужно разделить по большей стороне на 2 прямоугольника, которые подобны исходному и имеют площадь в 2 раза меньше, чем у него. Аналогичная процедура рекурсивно повторяется с любой (или с каждой) из полученных половин бесконечное число раз. Ограничив глубину рекурсии произвольным можно получить замощение из изотетичных (одинаково расположенных) прямоугольных плиток, стороны которых параллельны сторонам исходного прямоугольника.

Слайд 19

Описание слайда:

замощение из изотетичных прямоугольных плиток

Слайд 20

Описание слайда:

Половинное деление плиток В технической практике такой принцип половинного деления плиток прямоугольного замощения применен для стандартизации форматов листов чертежей по ГОСТ 2.301-68. для справки размеры и обозначения их основных форматов представлены в следующей таблице.

Слайд 21

Описание слайда:

Половинное деление плиток Из сравнения размеров и обозначений видно, что основные форматы образуют нормативный ряд, где каждый следующий формат получается делением предыдущего на 2 равные части параллельно меньшей стороне. Цифры обозначения формата показывают кратность его сторон сторонам А4, а их произведения дают число форматов А4, которое нужно для замощения его площади. Без потери общности можно считать, что площадь исходного прямоугольника (А0) равна 1 (м2). Тогда формальным обоснование конвергенции замощения является равенство 1 суммы площадей его плиток.

Слайд 22

Описание слайда:

Половинное деление плиток Они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем и начальным членом равными 1/2. как видно из следующей формулы ее сумма равна 1: 2- 1+2-2+…+2-n+…= (1/2)/[1-(1/2)]=1. Для бесконечного замощения квадрата используется следующая техника срединных перпендикуляров сторон. Сначала исходный квадрат делится на 4 равных квадрата перпендикулярами его сторон. Каждый из них также делится на 4 квадрата. Далее аналогичным образом на 4 квадрата делится каждый квадрат текущего внешнего слоя, этот процесс может быть продолжен до бесконечности.

Слайд 23

Описание слайда:

Процесс замощения для четверти исходного квадрата до уровня n = 4.

Слайд 24

Описание слайда:

Метод бесконечного замощения квадратаа Если считать длину стороны исходного квадрата равной 1, то стороны квадратов замощения образуют бесконечно убывающую последовательность степеней 2, предел которой равен 0, а сумма равна 1 (как для прямоугольного замощения выше), гарантируя сходимость замощения. Его количественными параметрами являются число квадратов по контуру и внутри каждого уровня n. Четверть числа квадратов замощения an по границе каждого уровня n определяют следующие рекуррентные соотношения: a1 = 1; an+1 = 2·an + 3.

Слайд 25

Описание слайда:

Метод бесконечного замощения квадрата Чтобы получить итерационную формулу нужно найти сумму разностей соседних элементов рекурсивной последовательности: a2 – a1 = a1 + 3 + a3 – a2 = 2(a1 + 3) + a4 – a3 = 22(a1 + 3) + …………………. + an – an-1 = 2n-2·(a1 + 3) _______________________________ an – a1 = (1 + 2 + 22 + … + 2n-2)(a1 +3)

Слайд 26

Описание слайда:

Метод бесконечного замощения квадрата С учетом значения суммы (n – 2) последовательных степеней 2 и а1 = 1 получается следующая формула числа квадратов канта n каждой четверти этого квадратного замощения: an = (2n-1 – 1)(1 + 3) +1 = 2n+1 – 3. Например, в каждой четверти на уровне n = 4 по этой формуле получается 29 квадратов. a4 = 24+1 – 3 = 29. Общее число квадратов в каждой четверти до уровня n дает сумма Sn этих значений от 1 до n. В результате опять получается сумма последовательных степеней 2, но со смещением 3 и начиная с 22, как видно из следующего соотношения: Sn = a1 + … + an = (2n+2 – 1) – 3n – (20 + 21) = 2n+2 – 3n – 4.

Слайд 27

Описание слайда:

Метод бесконечного замощения квадрата В частности общее число квадратов замощения до уровня этой формуле получается равно: 4·S4 = 4·(24+2 – 4 – 4·3) = 4·48 = 192. Рассмотренный метод бесконечного замощения квадрата был предложен известным голландским графиком – формалистом М. Эшером. Он применил его для формирования модельной сетки квадратов, чтобы вписать в них изображения фигур, размер которых должен уменьшаться от центра к краям квадратного холста его гравюры «Предел квадрат». Аналогичную структуру модельной сетки, размер ячеек которой бесконечно уменьшается на периферии, Эшер применил для замощения круга. Криволинейные многоугольники граней этого замощения ограничены круговыми дугами, которые перпендикулярны контуру круга замощения.