квадратичная форма - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему квадратичная форма. Доклад-сообщение содержит 30 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Квадратичная форма

Слайд 2

Описание слайда:

Слайд 3

Описание слайда:

Примеры

Слайд 4

Описание слайда:

Квадратичная форма как скалярное произведение в ортонормированном базисе XT AX=(AT X)TX = XT (AX) = XT Y

Слайд 5

Описание слайда:

Слайд 6

Описание слайда:

Линейное преобразование квадратичной формы Линейное преобразование квадратичной формы Пусть XT AX есть квадратичная форма от n переменных и X = PY, есть невырожденное линейное преобразование переменных (то есть P – невырожденная матрица). Тогда XT =(PY)T=YTРT поэтому XT AХ=YTРTАРY=YT(PT АР)Y =YTBY где B = PT АР .

Слайд 7

Описание слайда:

Лемма 1.2. Пусть А – симметрическая матрица и Р – невырожденная матрица. Тогда матрица B = PT АР снова является симметрической. Лемма 1.2. Пусть А – симметрическая матрица и Р – невырожденная матрица. Тогда матрица B = PT АР снова является симметрической. Доказательство. Следствие 1.3. YTBY также является квадратичной формой от n переменных.

Слайд 8

Описание слайда:

Определение 1.4. Две симметрические матрицы A и В называются конгруэнтными, если существует P – невырожденная матрица, такая что B = PT АР . Определение 1.4. Две симметрические матрицы A и В называются конгруэнтными, если существует P – невырожденная матрица, такая что B = PT АР . Теорема 1.5. Конгруэнтные матрицы имеют одинаковый ранг (таким образом невырожденное линейное преобразование сохраняет ранг формы). Доказательство. По условию, B = PT АР , тогда rank B = rank(PT АР)= (P невырождена)=rank(PT А)= =rank А. QED

Слайд 9

Описание слайда:

2.Каноническая квадратичная форма Определение 2.1. Канонический вид квадратичной формы (или просто каноническая форма) - это квадратичная форма вида ( таким образом, матрица канонической формы имеет диагональный вид). Каноническая квадратичная форма не содержит произведений неизвестных. Следствие 2.2. Число ненулевых коэффициентов в каноническом виде совпадает с рангом формы.

Слайд 10

Описание слайда:

Для применения метода Лагранжа, удобно пользоваться следующей формулой: Для применения метода Лагранжа, удобно пользоваться следующей формулой:

Слайд 11

Описание слайда:

2.3.Метод Лагранжа Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть есть данная квадратичная форма. Возможны два случая: хотя бы один из коэффициентов при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать . (делаем замену ) . есть квадратичная форма от , с ней поступаем так же.

Слайд 12

Описание слайда:

Метод Лагранжа (прод.) 2. Все коэффициенты при квадратах , некоторый коэффициент ( В противном случае форма тождественно нулевая). Будем считать , делаем замену , появляются ненулевые квадраты от Этот случай сводится к первому. Замечание 2.4. Линейные преобразование в методе Лагранжа – невырожденные. В первом случае Во втором случае

Слайд 13

Описание слайда:

2.5.Нормальный вид квадратичной формы Для действительной квадратичной формы где r = rank A. Для комплексной квадратичной формы где r = rank A.

Слайд 14

Описание слайда:

Для действительной квадратичной формы преобразование произвольной канонической формы в нормальный вид имеет вид: где r = rank A. Для комплексной квадратичной формы: где r = rank A.

Слайд 15

Описание слайда:

Привести 3x2 + 3z2 + 4xy + 8xz + 8yz к каноническому виду. Привести 3x2 + 3z2 + 4xy + 8xz + 8yz к каноническому виду. Решение. 3x2 + 3z2 + 4xy + 8xz + 8yz = 3(x2+4/3 xy+4/9 y2 + 8/3 xz+ 16/9 yz + 16/9 z2) - 4/3 y2 - 16/3 yz - 16/3 z2 + 3 z2 + 8yz = 3(x+2/3 y+4/3z)2 - 4/3(y2 - 2xz + z2 ) + 4/3 z2 - 7/3z2 = 3(x+2/3 y+4/3z)2 - 4/3(y2 - 2xz + z2 ) - z2 = 3(x+2/3 y+4/3z)2 - 4/3(y - z)2 - z2

Слайд 16

Описание слайда:

Определения 2.5. Определения 2.5. Количество p положительных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы называется положительным индексом квадратичной формы. Количество отрицательных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы называется отрицательным индексом квадратичной формы (равен r – p, где r – ранг формы) . Сигнатура – разность между положительным и отрицательным индексами (т.е. p – (r – p) = 2p – r)

Слайд 17

Описание слайда:

Закон инерции действительных квадратичных форм Теорема 2.6. Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования. Доказательство. Пусть F – действительная квадратичная форма. Пусть эта форма приведена двумя способами к двум нормальным видам. Согласно предыдущим результатам оба этих нормальных вида содержат одинаковое число r квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами (ранги одинаковы): F = у12 + у22 + … + ук2 – ук+12 – … – уr2 = = z12 + z22 + … + zр2 – zр+12 – … – zr2. ()

Слайд 18

Описание слайда:

Закон инерции действительных квадратичных форм Пусть невырожденные преобразования, приводящие к этим нормальным формам, имеют вид: уі = , і = 1, 2, … , n (Y=AX) и () zј = , ј = 1, 2, … , n (Z=BX) () Так как эти формулы задают невырожденные преобразования, то определители матриц А и В отличны от нуля. Надо доказать, что к = р. Предположим, что к  р. Не нарушая общности, можно считать, что к  р.

Слайд 19

Описание слайда:

Закон инерции действительных квадратичных форм Составим систему уравнений у1 = 0 у2 =0 … ук =0 zр+1 = 0 … или zr = 0 zr+1 = 0 … zn = 0. і = 1, … , k и ј = p+1, … , n.

Слайд 20

Описание слайда:

Закон инерции действительных квадратичных форм Это система n – р + к линейных однородных уравнений от n неизвестных. Так как число уравнений меньше числа неизвестных (k

Слайд 21

Описание слайда:

Закон инерции действительных квадратичных форм Получим –(ук+10)2 – … – (уr0)2 = = (z10)2 + (z20)2 + … + (zр0)2. Левая часть равенства – неположительная, правая часть – неотрицательная. Это возможно тогда и только тогда, когда ук+10 = … = уr0 = z10 = z20 = … = zр0 = 0. Получили, что (х10, х20, … , хn 0 ) – ненулевое решение системы z1 = z2 = … = zр = zр+1 = … = zr = zr+1 = … = zn = 0 или ј = 1, … , n. что невозможно, т.к. ранг этой системы равен n (B –невырожденная матрица). Итак, наше предположение не верно. Следовательно, к = р. QED

Слайд 22

Описание слайда:

3.Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием (приведение к главным осям) Пусть XT AX есть квадратичная форма от n переменных. Так как A – симметрическая матрица, то она может быть приведена к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы Q ( Y=QX ): QT AQ=D , Причем на главной диагонали матрицы D стоят собственные значения матрицы A, а столбцы матрицы Q являются соответствующими собственными столбцами. Определение 3.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду , при котором коэффициенты при квадратах переменных являются собственными числами матрицы А называют приведением к главным осям.