🗊Презентация Квантовая теория свободного поля излучения

Квантовая теория свободного поля излучения Лекция 3

5. Квантование поля излучения Из задачи о тепловом равновесии излучения с черным телом классическая теория приводит к „ультрафиолетовой катастрофе” (плотность энергии для коротких волн стремится к бесконечности). Для преодоления этой трудности, Планк допустил, что энергия монохроматической волны с частотой может принимать дискретные значения: Здесь — целое число, число световых квантов или фотонов; — универсальная постоянная Планка. В соответствии с (5.1) пучок света состоит из некоторого числа фотонов. С другой стороны, он может приводить к дифракционным явлениям, характерным для классического представления о волне.

5. Квантование поля излучения Необходимость квантования электромагнитного поля также возникает из-за того, что квантовые свойства частицы выражаются в соотношении неопределенностей между координатой и импульсом Это соотношение было бы неверно, если бы для пучка света выполнялась классическая теория. В этом случае возможно точное определение координаты частицы с помощью сходящегося пучка света, без передачи ей импульса, поскольку импульс светового пучка можно сделать очень малым. Поэтому, если бы импульс был измерен ранее, можно было бы узнать положение и импульс с точностью, выходящей за пределы (5.2). Для выполнения (5.2) необходимо квантование световых волн. Тогда световой пучок, если его частота и форма позволяют произвести измерение координаты с точностью , обязательно будет обладать некоторым минимальным импульсом, который имеет неопределенность . Этот импульс будет передаваться частице способом, не допускающим контроля экспериментатора, и соотношение неопределенностей (5.2) сохранится и после измерения положения частицы.

5.2 Квантование свободного поля излучения При построении формализма квантовой электродинамики руководствуются аналогией между классической механикой и классической электродинамикой. Поэтому для описания поля используют набор канонических переменных. Рассмотрим свободное поле излучения, которое образуется суперпозицией поперечных волн. В случае кулоновской калибровки никаких других волн не существует . Такое поле получается из векторного потенциала , который можно записать в виде ряда по плоским волнам: - вектор, задающий направление распространения; - направление поляризации

5.2 Квантование свободного поля излучения Вводя канонические переменные можно получить для энергии отдельной волны Если квантовая теория излучения записана в такой форме, то возможно ввести квант действия . По аналогии с квантовой механикой считаем теперь канонические переменные каждого осциллятора поля некоммутирующими операторами с перестановочными соотношениями: Собственные значения энергии для такого осциллятора равны где — целое число.

5.2 Квантование свободного поля излучения В соответствии с гипотезой Планка (5.1) каждый осциллятор поля обладает энергией, кратной . Однако получается, что каждый осциллятор обладает еще нулевой энергией даже в низшем состоянии с . Поскольку число осцилляторов поля в некотором заданном объеме бесконечно, то этот вывод приводит к необходимости приписать вакууму бесконечную нулевую энергию.

5.2 Квантование свободного поля излучения Эта трудность, формальная. Примененный метод перехода от классической теории к квантовой не единственен, поскольку и являются некоммутирующими величинами. Гамильтониан (5.5), записанный через операторы , имеет вид Но (5.8) можно было бы записать, не нарушая соответствия с классической теорией, с измененным порядком следования операторов в одном из членов. Например, написать вместо (5.8) Но тогда гамильтониан (5.9) имел бы собственные значения и нулевая энергия исчезла бы.

5.2 Квантование свободного поля излучения Состояние поля излучения описывается теперь числами для всех осцилляторов. В классической теории амплитуды или и зависят от времени. В квантовой теории они были заменены операторами, не зависящими от времени. Зависимость какого-либо явления от времени будет выражаться теперь изменением со временем волновой функции. Из (5.4) производные от и по времени переходят в операторы Отсюда следует, что напряженности полей (5.3) будут представляться операторами:

5.2 Квантование свободного поля излучения Для гамильтониана мы получим тогда Такое представление, в котором амплитуды выражаются операторами, не зависящими от времени, называется представлением Шредингера.

5.2 Квантование свободного поля излучения Рассмотрим теперь импульс поля, определяемый в классической теории формулой Импульс также можно представить в виде суммы где — импульс плоской волны.

5.2 Квантование свободного поля излучения где — вектор, направленный по направлению распространения волны, длина которого равна обратному значению длины волны. Порядок операторов и в (5.14) выбран таким образом, чтобы не появилось нулевого импульса. Выражение (5.14) для импульса совпадает с точностью до численного множителя с выражением (5.12) для энергии. Поэтому импульс коммутирует с энергией, а его собственные значения равны где — вектор, совпадающий по направлению с вектором распространения.

5.2 Квантование свободного поля излучения Таким образом, энергия и импульс световой волны являются целыми кратными величин . С точки зрения свойств ее энергии и импульса плоская волна ведет себя как пучок свободных частиц с энергией и импульсом . Эти частицы называются световыми квантами, или фотонами. Энергия покоя светового кванта равна, в силу (5.10) и (5.15), нулю С другой стороны, квантованная волна по-прежнему сохраняет классические волновые свойства, т. е. может интерферировать. Дуалистическая природа света как волны и пучка свободных частиц аналогична дуалистической природе пучка свободных электронов (которым свойственна и природа частиц и природа волн де-Бройля).

5.2 Квантование свободного поля излучения Для того чтобы при переходе к классической теории квантовая электродинамика превращалась в теорию поля, необходимо, чтобы световые кванты подчинялись статистике Бозе—Эйнштейна. Световые кванты появляются в теории как квантовые числа осцилляторов поля. Поэтому два световых кванта нельзя отличить друг от друга. Кроме того, число световых квантов, приписанных каждому осциллятору, не ограничено. Если рассматривать осцилляторы поля как „квантовые ячейки", то состояние всего поля излучения будет определяться заданием чисел неразличимых частиц в каждой квантовой ячейке. Применяя статистические методы, можно получить формулу распределения Планка. Если бы световые кванты удовлетворяли статистике Ферми— Дирака, т.е. каждый осциллятор поля мог бы содержать не более одного кванта, то даже для радиоволн интенсивность не могла бы превышать и убывала бы с возрастанием длины волны. Поэтому длинные волны не могли бы существовать.

5.3 Амплитуда состояния поля излучения. После квантования полевые величины , а следовательно, и и становятся операторами, которые должны действовать на волновую функцию (или амплитуду состояния) . Амплитуда состояния удовлетворяет общему уравнению Шредингера где —гамильтониан системы. Для свободного поля излучения гамильтониан дается выражением (5.12) Мы имеем дело с бесконечным числом степеней свободы, каждой из которых соответствует один осциллятор поля. Тогда взаимодействие между осцилляторами поля отсутствует и собственное состояние оператора должно представляться произведением () нормированных собственных амплитуд состояния отдельных .

5.3 Амплитуда состояния поля излучения Поскольку собственными значениями операторов являются , то возможно характеризовать различные состояния числами заполнения : Общее решение уравнения (5.17), тогда будет представляться в виде где — вероятность найти фотонов типа 1, фотонов типа Собственным решением (5.17) с полной энергией будет Если поле взаимодействует с частицами, то в гамильтониане должны содержаться члены, описывающие взаимодействие.

5.3 Амплитуда состояния поля излучения Кроме представления Шредингера (в котором операторы не зависят от времени, a зависит), используют представление Борна-Гайзенберга, в котором временная зависимость переведена на операторы и не зависит от времени. При рассмотрении взаимодействия между светом и частицами, часто используется промежуточное представление, называемое представление взаимодействия, где временная зависимость отнесена к операторам и к амплитуде состояния.

5.4 Световые кванты и фазы Величины, описывающие поле излучения (напряженности полей, числа световых квантов и т. д.) обладают определенными численными значениями, но являются квантовомеханическими величинами, которые не коммутируют. Какая-либо пара таких величин будет удовлетворять некоторым перестановочным соотношениям, которые будут определять их поведение. Рассмотрим такие соотношения, в которых участвуют числа световых квантов. Число световых квантов -го осциллятора поля представляется

5.4 Световые кванты и фазы Из каждого квантовомеханического перестановочного соотношения всегда можно вывести соответствующее соотношение неопределенностей. Если две физические величины А и В удовлетворяют уравнению где — число, то и должны удовлетворять соотношению неопределенностей смысл которого состоит в следующем: если значения и известны лишь приближенно, и если величина определяется с неточностью , то величина может быть известна только с неточностью, превышающей . Любая экспериментальная попытка обойти эти пределы с помощью точного измерения невозможна вследствие взаимодействия между измерительной аппаратурой и системой.

5.4 Световые кванты и фазы Вместо напряженности электрического поля можно ввести фазу волны, полагая (для каждого ) Тогда для можно получить из перестановочного соотношения для и которое будет выполнено, если и удовлетворяют перестановочным соотношениям и соотношениям неопределенностей Из (5.28) следует, что если число световых квантов в волне задано, то фаза этой волны полностью неопределенна, и наоборот. Если для двух волн известны разности фаз (но не абсолютные фазы), то можно определить полное число световых квантов, но останется неопределенным, к какой из волн они относятся.

5.4 Световые кванты и фазы Покажем, что для квантованной световой волны, выполняется соотношение неопределенностей (5.2). Из (5.2): если пучок света выбран таким образом, что он может дать изображение точки (электрона) по координате с неточностью , то -составляющая импульса этого пучка должна обладать неопределенностью, не меньшей . Согласно классической оптике, изображение точки может быть образовано сходящимся монохроматическим пучком света с телесным углом апертуры и длиной волны , однако благодаря диффракции фокус будет обладать в -направлении конечным протяжением, определяемым формулой (5.29) определяет размеры изображения, т. е. неточность в измерении положения электрона. Сходящийся пучок света можно построить из набора плоских волн с одной и той же длиной волны, но различными направлениями распространения . Суперпозиция этих плоских волн должна производиться с заданными разностями фаз, иначе пучок не будет обладать определенным фокусом.

5.4 Световые кванты и фазы Неопределенность в значении можно оценить из предположения, что полное число квантов в пучке равно единице, тогда неопределенным останется то, к какой плоской волне относится этот единственный квант, т. е. направление кванта. Квант может быть направлен произвольно в пределах апертуры пучка . Следовательно, ошибка в будет равна Но из (5.29) и (5.30) получается соотношение неопределенностей аналогичное (5.2). Соотношение неопределенностей (5.31) является следствием того, что импульс не может быть меньше .

6.1. Перестановочные соотношения для напряженностей поля В общем случае векторный потенциал пердставим в виде ряда, амплитуды которого можно рассматривать как некоммутирующие операторы. Если рассматривать как функцию координат, то в каждой точке пространства будет оператором и не будет в общем случае коммутировать с в другой точке пространства. Если используется представление взаимодействия, то является функцией также и от времени, и значения , взятые в двух разных пространственно-временных точках, являются двумя различными физическими величинами. В представлении взаимодействия напряженности поля задаются выражениями С условиями

6.1. Перестановочные соотношения для напряженностей поля Если рассмотреть две составляющие вектора , и , в двух пространственно-временных точках , тогда перестановочное соотношение для этих составляющих примет вид -функция зависит от аргументов -функция отлична от нуля, только если две пространственно-временные точки, поля в которых рассматриваются, можно соединить световым сигналом. Поэтому напряженности ноля в двух пространственно-временных точках, которые не могут быть соединены световым сигналом, коммутируют друг с другом.

6.1. Перестановочные соотношения для напряженностей поля Перестановочные соотношения других напряженностей поля: ( образуют четную перестановку из ). Из числа универсальных постоянных в перестановочные соотношения (6.4) входят только и , но не входит никаких постоянных, относящихся к атомной структуре материи ( или ).

6.2 Соотношения неопределенностей для напряженностей поля Из квантовомеханических перестановочных соотношений (6.4) можно получить соответствующие соотношения неопределенностей. Если две физические величины и удовлетворяют уравнению где — обычное число, то и будут удовлетворять соотношению неопределенностей Получаемые таким образом соотношения неопределенностей являются соотношениями между напряженностями полей в заданных точках пространства и времени, в то время как измеримыми величинами являются значения напряженностей поля, усредненные по областям в пространстве и времени.

6.2 Соотношения неопределенностей для напряженностей поля Чтобы получить соотношения для таких усредненных значений, необходимо проинтегрировать (6.4) по двум пространственно-временным областям и для двух входящих в каждое уравнение напряженностей поля. Будем называть эти области соответственно и , а относящиеся к ним средние значения напряженностей поля или . Результат интегрирования правой части (6.4) будет зависеть от относительного расположения двух таких областей, точнее от того, может ли выходящий из световой сигнал достигнуть точек , и наоборот.

6.2 Соотношения неопределенностей для напряженностей поля Ограничимся несколькими случаями: а) Обе временные области совпадают: . Согласно (6.5) и (6.6), -функция антисимметрична в двух временах и . С другой стороны, (6.4а) симметрично в производных по этим двум временам. Поэтому временной интеграл от правой части (6.4а) по обратится в нуль. Следовательно: Тогда средние значения двух составляющих электрического или магнитного поля, взятые по совпадающим временным, но различным пространственным областям, коммутируют друг с другом и потому могут быть измерены одновременно.

6.2 Соотношения неопределенностей для напряженностей поля б) Обе пространственные области совпадают: . Тогда интеграл от правой части (6.4г) обращается в нуль и мы получаем Тогда средние значения напряженности электрического поля и напряженности магнитного поля, взятые по одной и той же пространственной, но разным временным областям, коммутируют и, следовательно, могут быть измерены одновременно. Из (6.7) и (6.8) следует, что средние значения каких-либо двух составляющих напряженностей поля по одной и той же пространственно-временной области всегда можно измерить одновременно.

6.2 Соотношения неопределенностей для напряженностей поля в) Две области и выбраны таким образом, что световые сигналы из некоторых точек могут достигнуть , но не наоборот. Тогда вторая из -функций в (6.5) не даст никакого вклада в интеграл. Рассмотрим два случая одновременных измерений: -составляющей напряженности электрического поля в и в и случай измерения в и в . Уравнения (6.4) приведут к соотношениям неопределенностей для и Чтобы оценить порядки величин неопределённостей, допустим, что и что расстояние между обеими пространственными областями и равно . Будем считать, что размеры той части , в которую могут попадать световые сигналы из того же порядка, что и сама . Порядок величины неопределенностей будет зависеть от того, что или . Тогда

6.2 Соотношения неопределенностей для напряженностей поля Аналогичные выражения получаются и для . Оказывается, что две составляющие напряженностей поля в двух таких областях могут быть измерены тем точнее, чем больше расстояние между двумя пространственными областями. Уравнение (6.9) дает критерий того, когда становятся существенны квантовые свойства поля и когда можно применять классическую теорию. Классическая теория имеет место в том случае, когда напряженности поля велики по сравнению с правой частью (6.9).

6.2 Соотношения неопределенностей для напряженностей поля Если напряженности поля составляют по порядку величины , то мы получаем (допуская, что расстояние между двумя областями порядка ) Поэтому типичной квантовой областью являются слабые поля. Для световой волны частоты формула (6.10) выражает условие, что числа содержащихся в световых квантов должно быть велико. Поскольку и поскольку временной интервал должен быть выбран меньшим (в противном случае среднее значение обратилось бы в нуль), получаем из (6.10):