🗊Презентация Лекция 1. Кинематика

ОСНОВНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ДВИЖЕНИЕ МТ (m) ОСНОВНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ДВИЖЕНИЕ МТ (m) – радиус-вектор в момент , – в момент , – перемещение за промежуток времени , – путь за (длина отрезка траектории), – мгновенная скорость в момент времени , – мгновенная скорость в момент t2.

PS. Векторы скорости и – касательные к траектории. PS. Векторы скорости и – касательные к траектории. Очевидно: . (1.4) При малых очевидно, что . (1.5) Средняя скорость . (1.6) Мгновенная скорость . (1.7 а) PS. Другой вид математической записи («точка» обозначает производную по времени) . (1.7 б) Средняя путевая скорость , (1.8) – путь, пройденный за . При получаем:

Мгновенная путевая скорость (при ): Мгновенная путевая скорость (при ): . (1.9) Или . (1.10) Из (1.5), (1.6), (1.7а), (1.8) и (1.9), следует, что мгновенная путевая скорость совпадает с модулем вектора мгновенной скорости (подумать!): . (1.11) Среднее ускорение за промежуток времени : . (1.12) Мгновенное ускорение (в момент ) : . (1.13) Очевидно: . (1.14) PS.1 Если закон движения задан, например, известна зависимость , то мы имеем о движении полную информацию, и все величины, определённые равенствами (1.6) – (1.14) легко вычисляются, точно так же, как и их проекции на декартовы оси. PS.2 Переход и выполняется с помощью дифференцирования.

Обратно: , выполняется с помощью интегрирования. Обратно: , выполняется с помощью интегрирования. Чтобы найти по заданной , необходимо знать начальное значение ; . (1.15) Аналогично: . (1.16) Пример 1. Пусть МТ движется с . Тогда с помощью (1.16) можно найти . (1.17) Интегрируя ещё раз, получаем закон движения: . (1.18) Это равенства, связывающие кинематические величины в общем случае, т.е. при произвольном движении МТ. Пример 2. (из школьной жизни!). Прямолинейное равноускоренное движение. Очевидно, что (1.19)

Векторные равенства можно записать в проекциях на оси координат: Векторные равенства можно записать в проекциях на оси координат: , , (1.20а,б) , , (1.21а,б) , (1.22) (1.23) и т.д.

1.2. КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ. УСКОРЕНИЕ ПРИ КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ: ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ И НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЯ. 1.2. КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ. УСКОРЕНИЕ ПРИ КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ: ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ И НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЯ. Итак . Очевидно, при криволинейном движении ускорение материальной точки отлично от нуля, т.к. вектор скорости изменяется по величине и по направлению. Представим вектор скорости МТ в виде (1.24) где . (1.25) т.е. – единичный вектор, направленный по скорости . Продифференцируем уравнение (1.24),: . (1.26) Обозначим: , (1.27) . (1.28)

Тогда: Тогда: . (1.29) Первое слагаемое в (1.29) – касательное или тангенциальное ускорение: при , (1.30а) при . (1.30б) Второе слагаемое - называется нормальной составляющей, она нормальна, т.е. перпендикулярна, к вектору скорости (см. ниже!).

Если ввести бесконечно малый вектор поворота , направление которого указано на рисунке 1.4 – «к нам», – то будем иметь с учётом (1.31) и (1.33): Если ввести бесконечно малый вектор поворота , направление которого указано на рисунке 1.4 – «к нам», – то будем иметь с учётом (1.31) и (1.33): (1.34) Таким образом, (см. (1.31), (1.28)), (1.35) Следовательно, равенство (1.29) – разложение вектора ускорения на две взаимно перпендикулярные составляющие. Далее, можно представить в виде (1.36) Направления , , в случае показаны на рисунке 1.5.

1.3 НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ. СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ И УГЛОВЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ. РАДИУС КРИВИЗНЫ ПЛОСКОЙ ТРАЕКТОРИИ. Рассмотрим окружность радиуса r , по которой движется материальная точка (рис.1.6). PS. . При движении против часовой стрелки направлена «к нам», по часовой – «от нас». За время dt радиус-вектор изменится на : от значения до значения . Используя аналогию треугольников, построенных из векторов, которые показаны на рис. 1.4 и 1.6, нетрудно получить равенство, аналогичное соотношению (1.34): . (1.40)

Поделив обе части (1.40) на , будем иметь Поделив обе части (1.40) на , будем иметь . (1.41)

Теперь ускорение её запишется с учётом (1.41) в виде Теперь ускорение её запишется с учётом (1.41) в виде . (1.46) Двойное векторное произведение в (1.46) вычислим по известной математической формуле , (1.47) что даёт . (1.48) Учитывая, что , получаем: . (1.49) Таким образом, в разложении (1.29) слагаемые имеют вид: , . (1.50 а,б) Очевидно, нормальная составляющая ускорения – это хорошо известно из школьного курса центростремительное ускорение. Ускорение материальной точки , движущейся по окружности, называют также полным ускорением.

Рассмотрим аналогию между ускоренными прямолинейным и криволинейным движениями (на примере МТ, движущейся по окружности). Рассмотрим аналогию между ускоренными прямолинейным и криволинейным движениями (на примере МТ, движущейся по окружности). Ось OZ направлена «к нам», – единичный вектор, указывающий направление отсчёта положительных углов, которое связано с направлением OZ правилом буравчика Для движения вдоль оси OX имеем , . (1.51а, б)

Для движения по окружности: Для движения по окружности: , . (1.52а, б) Равнопеременное движение вдоль оси описывается равенствами: , (1.53 а) , (1.53 б) , (1.53 в) . (1.53 г) Равнопеременное движение по окружности: , (1.54 а) , (1.54 б) , (1.54 в) , (1.54 г) где – угловое перемещение материальной точки.

Таблица соответствия линейных и угловых величин Таблица соответствия линейных и угловых величин линейные угловые Уравнения, связывающие линейные и угловые переменные, характеризующие движение МТ по окружности : , ; (1.55а, б) , , ; (1.56а, б, в) , , ; (1.57а, б, в) Здесь – проекции скорости и ускорения на вектор , ; (1.58 а, б) , . (1.59 а, б) Малую окрестность точки плоской криволинейной траектории материальной точки можно рассматривать как малую дугу некоторой окружности. Радиус этой окружности – радиус кривизны траектории в окрестности данной точки, . Эта величина удовлетворяет равенству аналогичному (1.59 б). . (1.60)