🗊Презентация Математическое моделирование поведения продавца в условиях монополии

Математическое моделирование поведения продавца в условиях монополии

Монополия - рыночная структура, когда одному производителю (продавцу) противостоит много покупателей. Допущения: отсутствие совершенных заменителей товара (перекрестная ценовая эластичность спроса между продукцией монополиста и любым другим товаром близка к нулю), отсутствие свободы входа на рынок (отрасль) совершенная информированность монополиста о кривой спроса на свою продукцию (его кривая спроса совпадает с кривой рыночного спроса).

Совершенный конкурент Совершенный конкурент кривая спроса на его продукцию горизонтальна цена совпадает с предельной выручкой цена совпадает со средней выручкой, доход растет пропорционально количеству проданного товара

Кривая спроса на продукцию фирмы

Соотношение спроса и предложения при планировании план А (x*, p*) лежит выше кривой спроса. предложение (x*) превышает спрос (x(p*)). план B (x', p'), лежит ниже кривой спроса, спрос (x(p’)) превышает предложение (x'). план C (x(p*), p*), лежит на кривой спроса, предложение и спрос совпадают.

долговременное планирование при монополии фирма намерена произвести x единиц товара и продать их по цене p. вектор (x, p) - план монополиста. любой план (x, p), не принадлежащий кривой спроса, не может принести монополисту наибольшую прибыль. следует рассматривать только такие планы, при которых спрос совпадает с предложением. Переменные x и p не являются независимыми, поэтому в качестве оптимизируемой переменной надо выбрать одну из них, удобнее x.

Задача поиска оптимума монополиста (x)=R(x)–C(x)=x p(x) – C(x)  max, x[0, a], где a – объем спроса на товар при p=0 Решение существует (т. Вейерштрасса) среди критических точек функции прибыли, либо на границе : при x=0 или при x = a . Максимум прибыли не может быть при x = a , поскольку такое количество товара можно реализовать только бесплатно (a) = – C(a) < – C(0) = (0)

Алгоритм поиска оптимального плана монополиста найти критические точки функции прибыли (x) из уравнения (x)=0, вычислить значение прибыли продавца в этих точках сравнить полученные результаты с его постоянными издержками

Необходимое условие максимальной прибыли монополиста: продавец получит наибольшую прибыль при таком объеме предложения товара, при котором его предельный доход совпадает с предельными издержками. MR(x*)=MC(x*).

Условие максимума прибыли второго порядка Выполнение условия максимума прибыли  второго порядка в критической точке гарантирует, что эта найденная точка х* и есть оптимальный объем

Геометрическое решение задачи поиска оптимального плана монополиста

Связь предельного дохода с эластичностью спроса MR=R( p) = x(p) + px(p) = x(p)[1+ep(x)] Выручка продавца достигает максимального значения при цене, когда MR=0 1+ep(x)=0 ep(x) = -1, (нейтральный спрос). При этом соответствующий объем спроса точка хЕ - точка пересечения кривой предельного дохода с осью ОХ. При неэластичном спросе 1+ep(x)<0 предельный доход отрицательный, а предельные затраты всегда положительны, поэтому необходимое условие максимальной прибыли невыполнимо. прибыль монополиста может быть максимальной лишь при эластичном спросе 1+ep(x)>0 (e >1) и достигает своего наибольшего значения при меньшем объеме предложения, чем доход (на рис. точка х* левее хЕ).

Кривая предложения в условиях совершенной конкуренции

? функцией предложения монополиста является функция спроса?

Анализ безубыточности R(x) = C(x) доход = издержки

Анализ прибыльности с помощью точек безубыточности

ПРИМЕР. Рассмотрим фирму, монопольно выпускающую и продающую товар, спрос на который задан обратной функцией рыночного спроса: p(x)=50 – 0,1x. Общие издержки монополиста заданы формулой C(x)=0,02x2+14x+800 Найти аналитически и геометрически оптимальный план монополиста Провести анализ безубыточности Найти эластичность спроса при оптимальной цене

ПРИМЕР Продавец решил закупить x единиц товара (x  500). Весь товар будет реализован, если на него назначить цену p = p(x) = 50 – 0,1x. При этом выручка (доход) продавца R(x) = x p(x) = x(50 – 0,1x) ден. единиц, Прибыль (x)=R(x) – C(x)= x(50 – 0,1x) – (0,02x2+14x+800)

Задача поиска плана монополиста как задача математического программирования (x)=x(50–0,1x) – (0,02x2+14x+800)  max, x[0, 500]. (x)=50–0,2 x–0,04 x–14=36–6x/25=0 единственная критическая точка х=150 (150) = 1900 > – 800. argmax (x)=150, max=1900. При этом в соответствии с обратной функцией спроса цена товара составит p(150) = 50 – 15 = 35. Итак: продажа товара в объеме 150 единиц по цене 35 ден. ед. за ед. товара принесет продавцу наибольшую прибыль1900 ден. единиц.

функции предельного дохода и предельных издержек: R (x)=[x(50 ­– 0,1x)] =50 – 0,2x; C(x)=[0,02x2+14x+800] = 0,04x+14

Геометрическое решение задачи нахождения оптимального плана монополиста

Анализ безубыточности R(x) = x(50 – 0,1x) = 0,02x2+14x+800 = C(x) предложение товара в размере от 24 до 276 единиц товара позволит получить фирме положительную прибыль, иное предложение приведет к убыткам.

Эластичность спроса Преобразовав обратную функцию спроса в прямую функцию спроса x = 500 – 10 p, вычислим ценовую эластичность спроса: Найдем ценовую эластичность спроса при цене p = 35. ep(x)= – 7/3. Это означает, что при цене p = 35 увеличение ее на один процент приведет к падению спроса примерно на 7/3 процента. при цене, назначенной в условиях монополии, спрос на товар является эластичным.

Отличия Модель поведения совершенного конкурента