🗊Презентация Место и роль информационных технологий в экономической науке и практике

Место и роль информационных технологий в экономической науке и практике Области применения компьютерных технологии в экономической науке и практике. Формы применения информационных технологий в процессе обучения. Роль и формы применения компьютерных технологий в научных исследованиях и профессиональной деятельности. Компьютерное моделирование как метод научного исследования. Понятие модели, формы представления и реализации моделей, технология моделирования.

Технология Технология – применяемые средства, последовательность, приемы, используемые для преобразования исходного материала (сырья) в конечный продукт. Компьютерные технологии – это технологии, применяемые для преобразования исходных данных (информации) в полезную информацию, т.е. это технология обработки исходной информации и получения новой информации. Технической базой компьютерных технологий являются современные вычислительные средства (ЭВМ) и средства коммуникаций.

1. Области применения компьютерных технологии в экономической науке и практике

Технологии применения MS Excel для решения экономических задач с использованием аналитических, табличных и графических моделей Изучаемые вопросы Понятие модели, формы представления Технологии выполнения операций с массивами и матрицами. Модель Леонтьева. Моделирование числовых последовательностей и рядов Технологии исследования функций Аппроксимация экспериментальных данных, уравнение линии тренда Численное решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений. Баланс спроса и предложения Численное дифференцирование и интегрирование. Предельные показатели экономики Технология разработки моделей для решения задач нахождения условного экстремума. Транспортная задача линейного программирования Оптимизация портфеля ценных бумаг

Модель Модель – это прототип реального объекта, либо процесса, который адекватно отражает те свойства реального процесса или объекта, которые существенны для решения задачи. Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения в модели других его сторон. Иными словами, модель – это такой объект, который в процессе исследования замещает объект – оригинал так, что его изучение дает новые знания об объекте – оригинале.

Модели, формы представления Модели могут представляться различными способами. В экономической области чаще всего используются модели представленные: в виде таблиц; в виде графиков; математическими зависимостями (аналитически в виде формул); Статистически

1.Технологии выполнения операций с массивами и матрицами Массив - это набор данных одного типа. Массив в MS Excel может храниться в диапазоне ячеек. Диапазон – адресуемая совокупность смежных ячеек в области рабочего листа. В одной ячейке диапазона может храниться один элемент данных массива. MS Excel позволяет оперировать одномерными, двумерными и трехмерными массивами, которые хранятся, соответственно в одномерных, двумерных и трехмерных диапазонах. Одномерный и двумерный диапазоны создаются на одном рабочем листе. Адресная ссылка на такой диапазон имеет формат: Имя_РЛ!Адрес_первой_ячейки : Адрес_последней_ячейки. например, адресная ссылка на трехмерный диапазон            = Лист1:Лист2!$A$1:$B$4

Если массив содержит данные арифметического типа, то с таким массивом  можно выполнять арифметические операции такие, как: -операции, в которых в качестве операндов участвуют массив и единственная  переменная, например умножение элементов массива на число; -операции, в которых в качестве операндов участвует двумерный массив и одномерный массив, например, почленно - построчное умножение; -операции, в которых участвуют массивы одинаковой размерности. Если массив содержит данные арифметического типа, то с таким массивом  можно выполнять арифметические операции такие, как: -операции, в которых в качестве операндов участвуют массив и единственная  переменная, например умножение элементов массива на число; -операции, в которых в качестве операндов участвует двумерный массив и одномерный массив, например, почленно - построчное умножение; -операции, в которых участвуют массивы одинаковой размерности. Например, массивами в электронной таблице задаются значения векторов и матриц. Операции над массивами указываются комбинацией клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>

Пример скалярного произведения векторов

Встроенные функции для работы с матрицами

Технология вычисления произведения матриц Произведение матриц может быть вычислено, если количество столбцов умножаемой матрицы равно количеству строк матрицы множителя. Если А=(аij) m x n, и B=(bij) n x p, то матрица С, полученная умножением матрицы А на матрицу В будет иметь размер m x p, а каждый ее элемент будет равен сумме произведений i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В: cij =ai1b1j+ai2b2j+ …aipbpj = , i=1, 2, …, m; j= 1, 2, …, n. Пример умножения матриц

Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы Система линейных уравнений в матричном виде может быть представлена в виде: А х Х = В. В частном случае, когда число уравнений (m) в системе равно числу неизвестных (n) - m=n, то решение такой системы можно найти методом обратной матрицы в виде X=A-1 х B, где A-1 -матрица, обратная по отношению к А. Пример

Решение систем линейных уравнений методом наименьших квадратов В общем случае m может быть не всегда равно n. Возможны три случая: m<n, m= n и m>n. При решении задачи в электронной таблице удобнее применить более общий подход - метод наименьших квадратов. Для этого обе части уравнения нужно умножить на транспонированную матрицу системы : АтАХ=АтВ. Затем обе части уравнения нужно умножить на (АтА)-1 . Если матрица (АтА)-1 существует, то система определена. С учетом того, что (АтА)-1АтА=Е, получаем решение системы в виде Х=(АтА)-1 АтВ.

Решение систем линейных уравнений с использованием инструмента Поиск решения Концепция решения системы с использованием этого инструмента заключается в поиске таких значений аргументов целевой функции, при которых функция принимает нужное значение при заданных ограничениях. Т.е. решается задача математического программирования. В качестве целевой функции при этом выступает одно из уравнений системы. Оставшиеся уравнения выполняют роль ограничений. Инструмент Поиск решения использует итерационный алгоритм по методу сопряженных градиентов. Точность решения определяется задаваемой относительной погрешностью.

Пример

Решение

2. Моделирование числовых последовательностей и рядов Числовые последовательности представляют собой множества чисел. Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1,2,3, …, n…поставлено в соответствие вещественное число xn, то множество чисел x1, x2, x3, …,xn … называют числовой последовательностью. Числа x1, x2, x3, …,xn называют, членами последовательности, элемент xn- общим элементом, а число n –его номером. Таким образом, последовательность представляет собой множество пронумерованных элементов. Последовательность задана, если известен способ получения любого ее элемента. Последовательность обозначается символом {xn}. Например, символ {1/n}обозначает последовательность чисел 1, 1/2, 1/3, 1/4, …, 1/n. В общем случае для создания массива элементов последовательности нужно выполнить следующие действия: 1. Создать массив, содержащий множество чисел натурального ряда; 2. Ввести в ячейку формулу последовательности, делая в ней адресные ссылки на ячейки, содержащие номера элементов последовательности 3. Скопировать введенную формулу во все другие ячейки массива.

Пример создания последовательности {1/n}, и последовательности {n/(n+1)}. Для создания наиболее часто встречающихся последовательностей, таких как арифметическая или геометрическая прогрессия, табличный процессор имеет специальный инструмент “Прогрессия”, который включается командой меню Правка - Заполнить - Прогрессия.

Технология вычисления пределов числовых последовательностей Технологию приближенного вычисления предела числовой последовательности рассмотрим на примере. Пусть требуется найти предел числовой последовательности Решение 

Моделирование функциональных рядов В отличие от числовых рядов членами функционального ряда являются функции. Ряд, составленный из функций одной и той же переменной х: называется функциональным. Функциональные ряды находят практическое применение в финансовых вычислениях. Например, в задаче о сложных процентах при вкладе в банк U0 денежных единиц с ежегодной выплатой х процентов годовых, функциональный ряд годовых приростов будет иметь вид:       U0+U0x + U0(1+x)x +…+U0(1+x)n-1x +…=U0(1+x)n Для вычисления частичных сумм этого ряда в библиотеке Excel есть специальная функция с именем БЗ. Кроме того, есть несколько функций, предназначенных для вычисления различных параметров такого ряда. Так функция КПЕР позволяет вычислить число членов ряда n по его частичной сумме, Функция ПЗ вычисляет начальное значение U0 при заданном числе членов ряда n, частичной сумме ряда и величине процентной ставки.

3. Исследование функций Способы задания функций Функция может быть задана таблично, в виде графика или аналитически. Табличный способ задания функций имеет широкое распространение в различных областях знаний и приложениях: экспериментальных измерениях, таблицах бухгалтерской отчетности и банковской деятельности, статистических данных и т.п. В табличном представлении одна из переменных представляется как независимая, другие величины будут являться функциями этого аргумента. На рисунке приведен пример табличного задания функции. Каждому значению независимой переменной Х соответствует значение функции Y, записанное в той же строке таблицы. Графическое представление функции, позволяет наглядно представить характер функции. Аналитический способ задания функции заключается в задании связи между аргументом в виде формулы или системы формул, например Y= x2.

Графики функций в табличном процессоре Если функциональная зависимость задана таблично или аналитически, то в ряде случаев бывает целесообразно для исследования функциональной зависимости представить ее графически. График - это графическое отображение характера зависимости значения функции от значения ее аргумента. Графики функций и диаграммы в Excel создаются с помощью мастера диаграмм, который включается командой меню Вставка - Диаграмма или щелчком на соответствующей кнопке панели инструментов. График (диаграмма) представляет собой составной объект, который может включать несколько объектов

Численное вычисление пределов функций В математике для нахождения пределов функций применяются специальные приемы, в частности такой, как разложением числителя и знаменателя на сомножители и некоторые другие. Используя электронную таблицу, можно применить следующую технологию: . В ячейку рабочего листа ввести формулу, соответствующую выражению функциональной зависимости, в которой значение аргумента указывается адресной ссылкой на ячейку, которая содержит аргумент В ячейку, предназначенную для записи аргумента функции, ввести число, максимально близкое к точке, в которой вычисляется предел функции. Пример. Найти предел функции Решение

Нахождение корней функции одной переменной Корнями функции Y=f(x) называют такие значения х, при которых функция принимает значение ноль. Используя возможности MS Excel можно находить корни функции в ограниченной области определения переменной х. Последовательность операций нахождения корней следующая: Производится табулирование функции в диапазоне вероятного существования корней. По таблице фиксируются ближайшие приближения к значениям корней. Используя средство MS Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения с заданной точностью. Например, требуется найти все корни функции Y=X3-0,01X2-0,7044X+0,139104=0 на отрезке [-1 ; 1]. Функция представлена полиномом третьей степени, следовательно, она может иметь не более трех корней. Для локализации начальных приближений необходимо определить интервалы значений Х, внутри которых значение функции пересекает ось абсцисс, т.е. функция меняет знак. С этой целью табулируем функцию на отрезке [–1;+1] с шагом 0,2, получим табличные значения функции

Выполним команду меню Сервис - Подбор параметра. В диалоговом окне заполните следующие поля: Выполним команду меню Сервис - Подбор параметра. В диалоговом окне заполните следующие поля: Установить в ячейке: в поле указывается адрес ячейки, в которой записана формула правой части функции. Значение: в поле указывается значение, которому должно удовлетворять значение функции, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0). Изменяя значение: в поле указывается адрес ячейки (где записано начальное прибли-жение), в которой будет вычисляться корень уравнения и на которую ссылается формула. После щелчка на ОК получим значение первого корня: -0,92. Выполняя последовательно операции аналогичные предыдущим, вычислим значения остальных корней: -0,209991 и 0,720002.

Нахождение локальных экстремумов функции Если функция F(x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет внутри этого отрезка локальный экстремум, то его можно найти, используя надстройку Excel Поиск решения. Рассмотрим последовательность нахождения экстремума функции на примере. Задана неразрывная функция Y= X2+X +2. Требуется найти ее экстремум (минимальное значение) на отрезке [-2, 2]. Решение

Графическое решение систем уравнений  Системы уравнений с двумя неизвестными могут быть приближенно решены графически. Решением такой системы является точка пересечения кривых на графике. Для решения системы необходимо выполнить следующие действия: Представить уравнения системы в виде функций. Табулировать полученные функции в области вероятного существования решения Построить график. Найти точку пересечения, навести указатель мыши на точку пересечения и щелкнуть левой кнопкой, после чего появится надпись с указанием искомых координат. Пример. Найти графически приближенное решение системы в диапазоне значений х [0,2;3] с шагом 0,2.

Решение

Интерполяция и аппроксимация экспериментальных данных в электронной таблице На практике часто бывает необходимым получить аналитическую формулу для функциональной зависимости, полученной экспериментально и представленной в виде таблицы. С этой целью полученные экспериментальные данные интерполируют. Интерполяцией называется нахождение значения таблично заданной функции в тех точках внутри данного интервала, где она таблично не задана. Иначе говоря, это процесс подбора приближенной эмпирической формулы Q(х) для полученной на основе экспериментальных данных функциональной зависимости f(x), приближенно заменяющей исходную и проходящую через все заданные точки. С помощью полученной функции можно рассчитать искомое значение исходной функции в любой точке, в том числе при таких значениях аргумента, при которых она не задана таблично.

Задачей аппроксимации является построение приближенной (аппроксимирующей) функции наиболее близко проходящей около данных точек или около заданной непрерывной функции. Подбор аналитической формулы сводится к вычислению входящих в нее параметров таким образом, чтобы из всех функций такого вида выбрать ту, которая наилучшим образом описывает зависимость между изучаемыми величинами. Подбираемая эмпирическая функция в зависимости от характера экспериментальных данных может быть следующих видов: Задачей аппроксимации является построение приближенной (аппроксимирующей) функции наиболее близко проходящей около данных точек или около заданной непрерывной функции. Подбор аналитической формулы сводится к вычислению входящих в нее параметров таким образом, чтобы из всех функций такого вида выбрать ту, которая наилучшим образом описывает зависимость между изучаемыми величинами. Подбираемая эмпирическая функция в зависимости от характера экспериментальных данных может быть следующих видов: Линейная (Y=ax + b ) обычно применяется в тех случаях, когда экспериментальные данные изменяются относительно постоянно 2. Полиноминальная ( y= a0 + a1x +a1x2 + …+ anxn) – используется для описания экспериментальных данных, попеременно возрастающих и убывающих. 3. Логарифмическая (Y= a lnx + b ), где а и b – константы,  применяется для описания экспериментальных данных, которые первоначально быстро возрастают или убывают, а затем постепенно стабилизируются 4. Степенная ( y = bxa ), где a и b – константы – используется для аппроксимации экспериментальных данных, скорость изменения которых постоянно увеличивается или уменьшается 5. Экспоненциальная ( y = beax), где a и b   константы, применяется для описания экспериментальных данных, которые быстро возрастают или убывают, а затем стабилизируются.

Пример Имеются сведения о величинах страховых выплат по годам, представленные в таблице. Требуется исследовать характер изменения величины страховых выплат и подобрать интерполяционную функцию. Решение

Приложения в экономике. Кривые спроса и предложения, точка равновесия Известно, что чем ниже цена (p), тем больше спрос (D) при постоянной покупательной способности населения. Обычно зависимость спроса от цены имеет вид ниспадающей линии, чаще всего приближающейся к прямой: D= -ap + c. В свою очередь, предложение растет с увеличением цены на товар и выражается зависимостью S=bp+d. Для экономики представляет интерес условие равновесия спроса и предложения. Если зависимость спроса от цены определяется функцией D=f(p), а зависимость предложения от цены – S =Q(p), то условие равновесия определяется уравнением: f(p)= Q(p) и соответствует точке пересечения кривых D и S. Цена Р0, при которой выполняется это условие, называется равновесной. Таким образом, задача нахождения равновесной цены сводится к решению системы двух уравнений. Решение может быть получено графически.

Технология решения систем нелинейных уравнений

Пример решения системы нелинейных уравнений

6. Численное дифференцирование и интегрирование. Технологии решения экономических задач Вычисление производной функции одной переменной Численными приближенными методами производная функции в заданной точке может быть вычислена с использованием формулы конечных разностей. Выражение для вычисления производной функции одного переменного, записанное в конечных разностях, имеет вид: При достаточно малых  приращениях х, можно с приемлемой точностью получить величину производной Для вычисления производной в MS Excel будем использовать приведенную зависимость. Рассмотрим методику вычисления производной на примере. Пусть требуется найти производную функции Y= 2x3 + x2 в точке x= 3. Решение

Применение в экономике Вычисление предельных показателей Известно, что себестоимость продукции зависит от производимого объема. C=f(Q). Предельная себестоимость характеризует себестоимость (дельта С) прироста продукции (дельта Q):  Пример: Зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции в денежных единицах выражается формулой C=20Q – 0,05Q3. Требуется определить предельные издержки производства при объеме выпускаемой продукции 10 ден.ед Решение.  

Вычисление эластичности экономических показателей В анализе и прогнозах ценовой политики применяется понятие эластичности спроса. Под эластичностью спроса понимается процентное изменение спроса при изменении цены товара на один процент. Пример. Спрос на товар определяется формулой D(P)=100-3P Требуется определить эластичность спроса при цене на товар Р= 20 ден. ед. Решение

Численное вычисление определенных интегралов  Для численного вычисления определенного интеграла существует несколько методов. Наиболее простым является метод трапеций. Для вычисления определенного интеграла по методу трапеций используется формула: Технология вычисления определенного интеграла в электронной таблице основана на построении табличных значений подинтегрального выражения для каждого шага интегрирования. Используя его можно получить лишь приближенное значение интеграла

Точные методы вычисления определенного интеграла

Пример приложения

Листинг кода программы

7.Технология разработки моделей для решения задач оптимизации Постановка задачи оптимизации Основной целью экономики является рациональное функционирование хозяйствующих субъектов или, иначе говоря, оптимальная деятельность при ограниченных ресурсах. Поэтому в экономической области существует широкий класс задач оптимизации, или, как их еще называют, экстремальных задач. В задачах оптимизации вычисляются значения параметров некоторой функции y=f(x1,x2,…,xn), при которых она принимает экстремальное значение (максимальное или минимальное) и при условии, что на эти параметры наложены ограничения. Эту функцию называют целевой функцией, а набор количественных значений между переменными, выражающих определенные требования к параметрам экономической задачи в виде уравнений или неравенств называют системой ограничений. Совокупность соотношений, содержащих целевую функцию и ограничения на ее аргументы, называют математической моделью экономической задачи оптимизации. Если целевая функция линейна и на ее аргументы наложены линейные ограничения, то такую задачу оптимизации называют задачей линейного программирования.

Последовательность разработки и решения На основе постановки задачи и уяснения ее экономической сути, разрабатывается математическая модель, аналитически представляющая целевую функцию и функции ограничений. Ввод исходных данных и формул, реализующих математическую модель в электронную таблицу. Настройка параметров инструмента Поиск решения и его применение для решения задачи Анализ результатов, оценка устойчивости. Пример: Фирма производит два вида мороженого: сливочное и шоколадное. Для изготовления мороженого используются два исходных продукта: молоко и наполнители, расходы которых на 1 кг готового продукта и их суточные запасы приведены в таблице.

Математическая модель Введем обозначения: x1 – суточный объем производства сливочного мороженого, х2 - суточный объем производства шоколадного мороженого. Исходя из условия задачи целевая функция будет иметь вид Ограничения

Настройка параметров Настройка параметров инструмента Поиск решения

Технология решения транспортной задачи линейного программирования Целью транспортной задачи является планирование наиболее рациональных путей и способов транспортировки товаров. В сущности технология решения транспортной задачи линейного программирования в электронной таблице практически ничем не отличается от технологии решения других оптимизационных задач Пример. На складах А1, А2, А3 имеются запасы товаров в количествах 90, 400 и 110 т соответственно. Грузополучатели В1, В2, В3 должны получить эти товары в количествах 130, 300, 160 т соответственно. Требуется найти такой вариант перевозки грузов, при котором сумма затрат на перевозки будет минимальной. Расходы по перевозке 1 т грузов в у.е. приведены в таблице

Математическая модель Математическая модель Введем обозначения x11- количество товара перевозимое грузополучателю В1 со склада А1; x12 - количество товара перевозимое грузополучателю В1 со склада А2; x13- количество товара перевозимое грузополучателю В1 со склада А3; x21- количество товара перевозимое грузополучателю В2 со склада А1; x22 - количество товара перевозимое грузополучателю В2 со склада А2;   x23 - количество товара перевозимое грузополучателю В2 со склада А3;   x31 - количество товара перевозимое грузополучателю В3 со склада А1;   x32 - количество товара перевозимое грузополучателю В3 со склада А2; x33 - количество товара перевозимое грузополучателю В3 со склада А3. Тогда целевая функция будет иметь вид:  L = 2 x11+5x12 + 2 x13 + 4x21 + x22 +5x23 +3 x31 +6 x32 + 8x33 - min

Представление математической модели в табличном процессоре

Результат

Оптимизация портфеля ценных бумаг в среде MS Excel