🗊Презентация Методы разложения многочленов на множители

Методы разложения многочленов на множители. «Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять». Р.Декарт.

Методы разложения многочленов на множители. Вынесение множителя за скобку Использование формул сокращённого умножения Способ группировки Метод выделения полного квадрата Схема Горнера Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов

Вынесение множителя за скобку. Из распределительного закона непосредственно следует, что ac + bc = c(a + b). Этим можно воспользоваться для вынесения множителя за скобки.   Пример: Разложить многочлен на множители 12y3 – 20y2. Решение Имеем: 12y3 – 20y2 = 4y2 · 3y – 4y2 · 5 = 4y2(3y – 5). Ответ. 4y2(3y – 5).

Использование формул сокращённого умножения. a2-b2=(a-b)(a+b); a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2); a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2. (а - b) 3 = а3 - За2 b+ Заb2 - b3 (а + b) 3 = а3 + За2 b+ Заb2 +b3 Пример: Разложить на множители многочлен x4 – 1. Решение Имеем: x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2 – 1)(x2 + 1) = (x2 – 12)(x2 + 1) = (x + 1)(x – 1)(x2 + 1). Ответ. (x + 1)(x – 1)(x2 + 1).

Способ группировки. Этот способ заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. Пример: Разложить на множители многочлен x3 – 3x2y – 4xy + 12y2. Решение x3 – 3x2y – 4xy + 12y2= = (x3 – 3x2y) – (4xy – 12y2) = = x2(x – 3y) – 4y(x – 3y) = = (x – 3y)(x2 – 4y). Ответ. (x – 3y)(x2 – 4y).

Метод разложения квадратного трехчлена на множители Пример: Разложить на множители квадратный трехчлен х2-6x+5 Решение х2-6x+5= (решим уравнение: х2-6x+5=0, по т. Виета х=5, х=1) =(х-5)(х-1) Ответ. (x-5)(x-1).

Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной. Теоретической основой метода являются следующие утверждения. Пример. Разложить на множители многочлен 3 x3 – x2 – 3 x + 1. Решение. Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax 2 + bx + c такие, что справедливо равенство 3 x3 – x2 – 3 x + 1 = (x – p)(ax2 + bx + c) = ax3 + (b – ap) x2 + (c – bp) x – pc. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных коэффициентов: a=3 b−ap=−1 c−bp=−3 −pc=1. Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1. Итак, многочлен 3 x3 – x2 – 3 x + 1 разлагается на множители: 3 x3 – x2 – 3 x + 1 = ( x – 1)(3 x2 + 2 x – 1). Ответ. ( x – 1)(3 x2 + 2 x – 1).

Схема Горнера. Если f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an, g(x) = x – c, то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид: g(x) = b0xn-1 + b1xn-2 + … + bn-2x + bn-1, где b0 = a0, bk = cbk-1 + ak, k = 1,2, …, n-1 Остаток r находится по формуле r = cbn-1 + an

Пример 1 Пример 1 x4 – 3 x3 – 3x2 + 11x – 6 Решение. По схеме Горнера корнями данного многочлена могут быть числа ±1, ±2, ±3, x1 = 1 x2 = 1 x3 = -2 x4 = 3 x = 1 – корень кратности 2 Таким образом, разложение данного многочлена на множители имеет вид x4 – 3x3 – 3x2 + 11x – 6 = (x – 1)2 (x + 2) (x – 3 ) Ответ. (x – 1)2 (x + 2) (x – 3 )

Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим. Пример: 8x4 + x3 + 64x +8 Решение. Применим методы группировки, вынесения общего множителя за скобки и формулы сокращенного умножения: 8x4 + x3 + 64x +8 = x3 (8x) + 8 (8x + 1) = (8x + 1) (x3 + 8) = (8x + 1) ( x + 2) ( x2 – 2x +4) Ответ. 8x + 1) ( x + 2) ( x2 – 2x + 4)