🗊Презентация Механика жидкостей и газов. Механические волны

Лекция 11 Механика жидкостей и газов Механические волны

Идеальная жидкость Часть механики, занимающаяся изучением движения жидкости называется гидродинамикой. Абсолютно несжимаемая и абсолютно невязкая жидкость называется идеальной. Идеальная жидкость служит более или менее хорошим приближением к реальным жидкостям

Гидродинамика Гидростатика. Законы Паскаля и Архимеда

Закон Паскаля Блез Паска́ль (фр. Blaise Pascal [blɛz pasˈkal]; 19 июня 1623, Клермон-Ферран, Франция — 19 августа 1662, Париж, Франция) — французский математик, механик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики.

Закон Паскаля Вдвигая поршень, в цилиндр, создадим внутри жидкости давление, обусловленное внешней силой. Выделим мысленно внутри жидкости тонкий цилиндр AB и покажем, что вызванные внешней силой давления на его основания равны между собой. Для равновесия необходимо, чтобы сумма проекций всех сил на любое направление была равна нулю. Рассмотрим сумму проекций сил давления на ось AB.

Закон Паскаля Силы давления, действующие на боковую поверхность цилиндра, перпендикулярны к оси AB, и, следовательно, их проекции на ось равны нулю. Остаются лишь силы, действующие на основания цилиндра. Они равны, соответственно, и , где и – давления в точках A и B, S – площадь цилиндра. Поскольку цилиндр находится в равновесии, эти силы должны уравновешивать друг друга, т.е. , откуда   ,   т.е. давления в точках A и B равны между собой.

Закон Паскаля При действии внешних сил давление во всех точках внутри жидкости одинаково. Давление, создаваемое внешними силами, передается без изменения в каждую точку жидкости.

Закон Архимеда Архиме́д (Ἀρχιμήδης; 287 до н. э.(-287) — 212 до н. э.) — древнегреческий математик, физик и инженер из Сиракуз. Сделал множество открытий в геометрии. Заложил основы механики, гидростатики, автор ряда важных изобретений.

Закон Архимеда Выделим мысленно из жидкости произвольный объем, ограниченный замкнутой поверхностью S. Если жидкость находится в механическом равновесии, то, разумеется, должен находиться в равновесии и выделенный объем. Поэтому должны обращаться в нуль равнодействующая и момент внешних сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости.

Закон Архимеда Равнодействующая F сил гидростатического давления, действующих на поверхность S, должна равняться Q – весу жидкости в объеме, ограниченном поверхностью S. Эта равнодействующая должна быть направлена вверх и проходить через центр масс A выделенного объема жидкости., чтобы полный момент внешних сил, действующих на него, был равен нулю.

Закон Архимеда Допустим теперь, что жидкость из выделенного объема удалена, и на ее место помещено любое твердое тело. Если тело удерживается в равновесии, то в состоянии окружающей жидкости никаких изменений не произойдет. Не изменится и давление, оказываемое жидкостью на поверхность S. Если тело, погруженное в жидкость, удерживается в механическом равновесии, то со стороны окружающей жидкости на него действует выталкивающая сила, численно равная весу жидкости в объеме, вытесненном телом. Эта выталкивающая сила направлена вверх и проходит через центр масс A жидкости, вытесненной телом. Точку A называют центром плавучести тела. Ее положением определяются равновесие и устойчивость плавающего тела.

Гидродинамика Движение несжимаемой жидкости

Линии и трубки тока Каждой частице соответствует свой вектор скорости. Вся жидкость представляет собою, поле вектора скорости. В поле вектора скорости мы можем провести линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением скорости частицы жидкости в этой точке. Такие линии называются линиями тока.

Линии и трубки тока Принято проводить линии тока так, чтобы густота их была больше там, где больше скорость течения жидкости. В случае установившегося (стационарного) течения скорость жидкости остается постоянной во времени. В этом линии тока также остаются неизменными и совпадают с траекториями отдельных частиц в жидкости. На рисунке представлены линии тока, получаемые при обтекании жидкостью круглого цилиндра, пластинки, поставленной перпендикулярно к потоку, и тела обтекаемого сечения.

Линии и трубки тока Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока. Все частицы, находящиеся в некотором сечении трубки тока, при движении продолжают двигаться внутри трубки тока и не выходят из нее. Извне никакие частицы не проникают внутрь трубки тока.

Линии и трубки тока Возьмем трубку тока и выберем два каких-либо нормальных ее сечения и . За единицу времени через сечение протечет объем жидкости, равный , где – скорость течения жидкости в том месте, где произведено сечение . Для несжимаемой жидкости через сечение протечет такой же объем, какой протек через сечение , откуда  

Линии и трубки тока Так как это соотношение справедливо для любых двух сечений, то мы можем написать, что для трубки тока     Произведение скорости течения несжимаемой невязкой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть для данной трубки тока величина постоянная. Это соотношение известно под названием теоремы о неразрывности струи. При стационарном течении несжимаемой невязкой жидкости по какой-либо действительной трубе объем этой трубы совпадает с трубкой тока. Отсюда, по теореме о неразрывности струи, в тех местах, где труба шире жидкость течет медленнее, а в тех местах, где труба уже, жидкость течет медленнее.

Уравнение Бернулли Дании́л Берну́лли (Daniel Bernoulli; 29 января (8 февраля) 1700 — 17 марта 1782), швейцарский физик-универсал, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750).

Уравнение Бернулли Представим себе трубку тока, сужающуюся по направлению сечения. Поступая в более узкую часть трубки тока, жидкость начинает течь скорее, т.е. она приобретает ускорение. На жидкость, втекающую в более узкую часть трубки, действует со стороны жидкости, еще находящейся в широкой части трубки, некоторая сила. Такая сила может возникнуть только за счет разности давлений в различных частях жидкости. Так как сила направлена в сторону узкой части трубки, то отсюда следует, что давление в широких местах трубки больше, чем в узких. В местах сужения трубки давление понижено.

Уравнение Бернулли Выделим из текущей струи некоторую определенную массу m жидкости, протекающую сперва через сечение трубки тока , а затем через сечение . Скорость жидкости в месте сечения обозначим через и давление – через p1, а скорость и давление в месте сечения - соответственно через и p2. Предположим еще, что трубка тока расположена не горизонтально, но под некоторым наклоном. Обозначим высоту, на которой расположено сечение , через h1, а высоту, на которой лежит сечение - через h2.

Уравнение Бернулли Пусть E1 – полная энергия массы жидкости m в том месте, где она протекает через сечение , а E2 – полная энергия массы жидкости m в том месте, где она протекает через сечение . По закону сохранения энергии изменение энергии равняется работе внешних сил перемещающих массу m от сечения к сечению :  .   Энергии E1 и E2 складываются из кинетических и потенциальных энергий массы жидкости m:   .

Уравнение Бернулли Работа A совпадает с работой, совершаемой при перемещении всего участка жидкости, заключенного между сечениями , в течение такого времени t, за которое через эти сечения будет перенесена масса жидкости m. Для перенесения массы m в месте расположения первого сечения жидкость должна сдвинуться на отрезок , а в месте расположения второго сечения – на отрезок . Силы, действующие на оба конца выделенного участка жидкости, соответственно равны и . Первая сила положительна, так как она направлена в сторону течения жидкости. Вторая отрицательна, так как она представляет собой силу, действующую на рассматриваемый участок со стороны жидкости, находящейся правее сечения, и, следовательно, направленную в сторону, противоположную течению жидкости.

Уравнение Бернулли Окончательно находим . Подставляя найденные значения E1, E2 и A в получим  ,  или  .  

Уравнение Бернулли По закону неразрывности струи объем, занимаемый массой жидкости m, остается постоянным: . Деля правую и левую части равенства на этот объем и замечая, что есть плотность жидкости , получим  .   Для трубки тока, расположенной горизонтально , уравнение Бернулли дает .  

Формула Торричелли Эванджели́ста Торриче́лли (итал. Evangelista Torricelli; 15 октября 1608, Фаэнца — 25 октября 1647, Флоренция) — итальянский математик и физик, ученик Галилея. Известен как автор концепции атмосферного давления и продолжатель дела Галилея в области разработки новой механики.

Формула Торричелли При помощи уравнения Бернулли можно найти скорость истечения жидкости и з отверстия. Если сосуд широкий, а отверстие мало, то скорости жидкости в сосуде малы и весь поток можно рассматривать как одну трубку тока. Давление как в верхнем сечении (у поверхности AB), так и в нижнем сечении ( у отверстия a) равно атмосферному p0. Поэтому уравнение Бернулли принимает вид:   .

Формула Торричелли Если мы рассмотрим случай вытекания струи при скорости и положим , то получим   .   Формула показывает, что при истечении жидкость приобретает такую скорость, какую бы получило тело, свободно падающее с высоты h. Если изогнуть трубку и направить струю вертикально вверх, то в наивысшей точке она достигнет уровня жидкости в сосуде

Скорость распространения звука в жидкостях и газах   В жидкостях и газах могут распространяться только продольные возмущения, но не могут распространяться поперечные. Скорость распространения продольных возмущений можно вычислить по формуле , где E – модуль Юнга,  - плотность среды. Но для этого надо решить, что в этом случае играет роль модуля Юнга. Вообразим, что жидкая или газообразная среда заключена в гладкую прямолинейную трубу постоянного поперечного сечения. Трением между средой и стенками пренебрежем. Газ или жидкость в такой трубе можно рассматривать как стержень, вдоль которого распространяются продольные возмущения. Обозначим давление газа в невозмущенном состоянии через . Так же будем поступать в случае жидкости. Если давление внутри газа получит приращение и сделается равным , то изменится и объем рассматриваемой массы газа.

Скорость распространения звука в жидкостях и газах Определим, как изменение объема газа V связано с приращением его давления P. При этом мы будем предполагать, что P << P0. Если газ заключен в трубе, один из концов которой закрыт, то при изменении давления на поршень на величину P длина газового столба изменится на . Величина есть относительное сжатие столба газа. При малых сжатиях  , где A – постоянная. Меняя обозначения, модуль Юнга можно определить с помощью формулы  .  Из нее видно, что в случае газового столба A = E. Длина столба газа пропорциональна его объему V, и предыдущую формулу можно записать в виде  .  В этом виде формула сохраняет смысл для любой формы сосуда, в котором заключен газ.

Скорость распространения звука в жидкостях и газах Будем считать, что давление газа зависит только от его объема V. Тогда для малых изменений объема    или   .   Сравнивая эту формулу с предыдущей, видим, что в газах (и жидкостях) роль модуля Юнга играет величина   .

Скорость распространения звука в жидкостях и газах Вместо объема удобно ввести плотность . Величина V есть масса тела, остающаяся постоянной при всех изменениях. Из соотношения путем дифференцирования находим  ,  а потому   . Отсюда для скорости звука в газах и жидкостях получаем выражение   .

Скорость распространения звука в жидкостях и газах Применим эту формулу к вычислению скорости звука в газах. Впервые это было сделано Ньютоном. Он принял, что изменения давления и плотности газа в звуковой волне подчиняются закону Бойля – Мариотта: , где . Отсюда . В результате получается формула Ньютона   .   Здесь скорость звука обозначена cН, чтобы подчеркнуть, что речь идет о скорости звука, вычисляемой по формуле Ньютона. Опыт показал, что скорость звука, вычисленная по этой формуле, расходится с экспериментальными данными. Например, для скорости звука в воздухе при температуре 273 K формула Ньютона дает значение 280 м/с. Эксперимент же дает значение 330 м/с. Причина этого расхождения была установлена Лапласом в начале 19 века. Мы вернемся к этому вопросу в последующих лекциях.

Механические волны

Распространение волн в упругой среде Пусть точка, совершающая колебание, находится в среде, все частицы которой связаны между собой. Тогда энергия колебаний может передаваться окружающим точкам, вызывая их колебание. Явление распространения колебаний в среде называется волной. При распространении колеблющиеся частицы не перемещаются с распространяющимся колебательным процессом, а колеблются около своих положений равновесия. Если частицы колеблются по той же прямой, вдоль которой распространяется колебание, то мы назовем волну продольной; если колебания частиц перпендикулярны к направлению распространения колебаний, то волна называется поперечной.

Распространение волн в упругой среде Схема распространения поперечной волны. Первая строчка дает положения частиц в начальный момент времени t = 0, когда все частицы занимают положение равновесия, и крайняя частица O лишь получила ускорение , направленное кверху. Вторая строчка дает положение частиц через четверть периода после начала движения: частица O достигла своего крайнего удаления вверх, частица A приобрела лишь ускорение , направленное вверх. Третья строчка дает положение через полпериода после начала движения: частица O проходит положение равновесия, идя вниз, частица A достигла крайнего удаления вверх, частица B приобрела ускорение , направленное вверх. Четвертая строчка дает положение частиц через три четверти периода: частица O достигла крайнего отклонения вниз, частица A проходит положение равновесия, двигаясь вниз, частица B достигла крайнего отклонения кверху, частица C приобретает ускорение , направленное вверх. В пятой строчке даны положения частиц через период после начала колебаний: частица O опять проходит положение равновесия, двигаясь вверх, частица A достигла крайнего отклонения вниз, частица B идет через положение равновесия вниз, частица C достигла крайнего смешения вверх, частица D приобрела ускорение , направленное вверх.

Распространение волн в упругой среде Схема распространения продольной волны. Разница с поперечной волной только в том, что смещение частиц происходит в направлении распространения колебаний. При продольной волне мы наблюдаем сближение и удаление частиц друг от друга, вследствие чего в среде возникают сгущения (области, обведенные на рисунке) и разрежения. Процесс распространения волны сопровождается перемещением областей сгущения и разрежения.

Распространение волн в упругой среде Являются ли волны, распространяющиеся в среде, продольными или поперечными – зависит от упругих свойств среды. Если при сдвиге одного слоя среды по отношению к другому возникают упругие силы, стремящиеся возвратить сдвинутый слой в положение равновесия, то в среде могут распространяться поперечные волны (такой средой является твердое тело). Если в среде не возникают упругие силы при сдвиге параллельных слоев друг относительно друга, то поперечные волны не могут образовываться. Например, жидкость и газ представляют среды, в которых поперечные волны не распространяются (последнее не относится к поверхности жидкости). Если в среде возникают силы упругости при деформации сжатия и растяжения, то в такой среде могут распространяться продольные волны. Например, жидкость или газ при сжатии дают увеличение давления, сила которого играет роль силы упругости при деформации сжатия. В жидкости и газе распространяются только продольные волны. В твердых телах продольные воны могут существовать наряду с поперечными.

Распространение волн в упругой среде Скорость распространения продольных волн c, как было показано выше, выражается следующим образом:  , где E – модуль Юнга,  - плотность среды. Расстояние, на которое определенная фаза колебания распространяется за один период колебания, называется длиной волны. Мы обозначим ее буквой λ.

Распространение волн в упругой среде На рисунке сопоставлен ряд точек, отстоящих друг от друга на λ. Из рисунка ясно, что длина волны представляет собой наименьшее расстояние между точками, колеблющимися в одинаковых фазах

Распространение волн в упругой среде Под скоростью волны подразумевается ее фазовая скорость, т.е. скорость распространения данной фазы колебания; например, в момент t = 0 точка O имела начальную фазу, т.е. выходила из положения равновесия; через промежуток времени T начальную фазу приобрела точка D, отстоящая от точки O на расстояние λ. Отсюда для фазовой скорости получаем определение:  

Распространение волн в упругой среде Представим, что точка, от которой идут колебания (центр колебания), колеблется в сплошной среде. Колебания распространяются от центра во все стороны. Геометрическое место точек, до которых к некоторому моменту дошло колебание, назовем фронтом волны. Можно также выделить в среде геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковых фазах; эта поверхность образует поверхность одинаковых фаз, или, как говорят, волновую поверхность. Если среда изотропна, то колебания от центра колебаний распространяются одинаково во все стороны, в этом случае и фронт волны, и поверхности одинаковых фаз представляют собой сферы, центр которых лежит в центре колебания. Радиус фронта волны представляет собой отрезок, на который колебания с данной фазой распространились за время t, прошедшее с момента начала колебаний точки, расположенной в центре, откуда   где c – скорость распространения волны.

Распространение волн в упругой среде Форма фронта волны определяет типы волн. Например, плоской волной называется волна, фронт которой представляет плоскость и т.д. Направления, в которых распространяются колебания, называются лучами. В изотропной среде лучи нормальны к фронту волны, при сферическом фронте волны лучи направлены по радиусу.

Уравнение волны Выясним, каким образом можно аналитически описать волновой процесс. Представим себе первоначально волны, бегущие вдоль некоторой прямой, например, вдоль веревки, один конец которой поддерживается в состоянии колебания. Обозначим через x смещение точки из положения равновесия. Волновой процесс будет известен, если знать, какое значение имеет x в каждый момент времени для каждой точки прямой, вдоль которой распространяется волна. Другими словами, надо знать смещение точки x как функцию времени и координат равновесного расположения точек.

Уравнение волны Выберем за начало координат O ту точку на прямой , которая является центром колебаний. Пусть колебания в точке O происходят по закону  .   Здесь a – амплитуда колебаний,  - круговая частота, t – время, отсчитанное от момента начала колебаний. Возьмем на прямой произвольную точку A, лежащую от начала координат на расстоянии y. Колебания, распространяясь от точки O, дойдут до точки A через промежуток времени  ,   где c – скорость распространения волны.

Уравнение волны Точка A начнет колебаться на время  позже точки O. Считая, что волны, распространяющиеся вдоль рассматриваемой прямой, не затухают, мы получим, что точка A, когда до нее дойдет волна, начнет колебаться с амплитудой a и круговой частотой , т.е. ее смещение x из положения равновесия выразится следующим образом  ,   Где - время, отсчитанное от того момента, когда точка A начала колебаться.

Уравнение волны Точка A, как мы выяснили, начала колебаться на промежуток времени  позднее точки O, то . Подставляя это значение в) получим  , или, подставляя сюда вместо  его значение   .   Это выражение дает смещение x как функцию времени t и расстояния y точки A от центра колебаний O. Оно представляет собой уравнение волны, распространяющейся вдоль прямой OA.

Уравнение волны Уравнение представляет собой уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль направления y. В самом деле, в этом случае любая плоскость AB, перпендикулярная к направлению y, представляет собой поверхность одинаковых фаз, и, следовательно, все точки этой плоскости имеют в один и тот же момент времени t одно и то же смещение x, определяемое лишь расстоянием y, на котором плоскость лежит от начала координат O.

Уравнение волны Если мы представим себе плоскую волну, распространяющуюся в направлении, обратном тому, в котором отсчитывается расстояние y, то в формуле волны y должно быть заменено на , тогда уравнение такой волны примет вид:   .

Уравнение волны Формула волны может быть преобразована, если мы воспользуемся соотношением, по которому , тогда   .

Уравнение волны Рассмотренные выше волны, распространяющиеся вдоль одной прямой, являются частным случаем волн. В упругой среде возможны волны иного вида, например, сферические волны. В сферической волне амплитуда убывает обратно пропорционально расстоянию r от источника колебаний. Зависимость смещения от координат и времени имеет вид  .   Поверхность равных фаз в некоторый момент времени определяется уравнением , т.е. представляет собой сферу радиуса r. Отсюда и происходит название «сферическая» для такой волны.

Стоячая волна В среде могут распространяться одновременно колебания, исходящие от разных центров колебаний. Если две различные системы волн, исходящих из разных источников, перекрываются в некоторой области, а затем расходятся, то дальше каждая из них распространяется так, как если бы она не встречала на своем пути другую. Этот принцип независимости распространения волн известен под названием принципа суперпозиции. В области перекрытия волн колебания накладываются друг на друга, происходит сложение (интерференция) волн, в результате чего колебания в одних местах получаются более сильные, а в других – более слабые. В каждой точке среды результирующее колебание будет суммой всех колебаний.

Стоячая волна Предположим, что две плоские волны с одинаковыми амплитудами распространяются – одна по направлению положительной оси y, другая – по направлению отрицательной оси y. На рисунке одна из волн изображена тонкой сплошной линией, другая – пунктирной.

Стоячая волна Если начало координат взять в такой точке, в которой встречные волны имеют одинаковые фазы, и выбрать отсчет времени так, чтобы начальные фазы оказались равными нулю, то уравнения обеих плоских волн можно написать в следующем виде: для волны, идущей в положительном направлении   ,   и для волны, идущей в сторону отрицательной оси y,   .

Стоячая волна Сложение этих двух волн дает   ,   или, раскрывая значение косинусов от сложных аргументов и производя сокращения,   .

Стоячая волна Множитель показывает, что в точках среды возникает колебание с той же частотой , что и колебания встречных волн. Множитель , не зависящий от времени, выражает амплитуду A результирующего колебания. Точнее: амплитуда, как величина положительная, равна абсолютному значению этого множителя:  

Стоячая волна Таким образом, амплитуда колебания зависит от координаты y, определяющей положение точек среды. В определенных точках амплитуда стоячей волны равна сумме амплитуд обоих слагаемых колебаний, такие точки называются пучностями; в других точках результирующая амплитуда равна нулю, эти точки называются узлами стоячей волны.

Стоячая волна Определим координаты пучностей и узлов. Амплитуда максимальна в точках, для которых  ,  в этих точках A = 2a. Отсюда положение пучностей определится условием  ,  где k = 0, 1, 2, ….. Следовательно, координаты пучностей равны   ,   где k = 0, 1, 2, …..

Стоячая волна Расстояние между соседними пучностями мы получим, если возьмем разность двух значений y для двух последовательных значений k, откуда   ,   т.е. расстояние между соседними пучностями равно половине длины тех волн, в результате интерференции которых образуется данная стоячая волна. Очевидно, что в местах пучностей колебания обеих волн все время совершаются в одной фазе

Стоячая волна Условие образования узлов:   ,   следовательно, координаты узлов равны   ,  

Стоячая волна Расстояние узла от ближайшей пучности равно   ,   т.е. узлы и пучности отстоят друг от друга на четверть длины волны. Узлы образуются в тех местах, где колебания все время совершаются в противоположных фазах.

Стоячая волна Схема колебаний точек в поперечной стоячей волне Все точки между двумя узлами колеблются в одинаковых фазах. Точки, лежащие по обе стороны одного и того же узла, колеблются в противоположных фазах. На рисунках а и б, где нанесены положения колеблющихся точек для двух моментов времени, отстоящих на полпериода

Стоячая волна Схема колебаний в продольной стоячей волне В продольной стоячей волне смещения точек параллельны оси y. На рисунках а и б даны расположения точек в продольной стоячей волне для двух моментов времени, отстоящих на полпериода. Мы видим из рисунков, что в узлах, где скорости колеблющихся точек равны нулю, получается наиболее резкое изменение плотности среды: частицы то приближаются с двух сторон к узлу, то от него удаляются.

Стоячая волна Образование стоячих волн происходит обычно при сложении бегущей вперед и отраженной волн. На границе отражения может образоваться или узел, или пучность. Это зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, более плотная, чем среда, в которой распространяется волна, то на границе получается узел. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная чем та, в которой распространяется волна, то на границе получается пучность.

Стоячая волна Образование узла на границе отражения от более плотной среды объясняется тем, что волна в месте отражения меняет фазу на прямо противоположную, тогда у границы складываются колебания противоположных направлений, что и ведет к образованию узла. Отражаясь от менее плотной среды волна не меняет фазы в месте отражения. Благодаря этому фазы падающей и отраженной волны у границы одинаковы, и в этом месте получается пучность в результате сложения колебаний одинаковых фаз.  

До следующей лекции