🗊Презентация Мультипликативная модель временных рядов

Мультипликативная модель

Мультипликативная модель Рассмотрим новый временной ряд — поквартальные данные о прибыли компании за последние 4 года (таблица 1): Таблица 1

Построим график этого временного ряда Построим график этого временного ряда График свидетельствует о наличии убывающей тенденции (тренда) и сезонных колебаний с периодом 4 (прибыль выше весной-летом и ниже осенью-зимой).

Амплитуда сезонных колебаний не постоянна - она уменьшается с ростом /, поэтому мультипликативная модель будет более адекватна. Итак, строим модель вида: Амплитуда сезонных колебаний не постоянна - она уменьшается с ростом /, поэтому мультипликативная модель будет более адекватна. Итак, строим модель вида:

Задача - определить эти компоненты. Шаги построения: Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Методика полностью совпадает с методикой шага 1 для аддитивной модели (п. 4.4, шаг 1). Полученные данные внесем в столбцы 3-5 таблицы 2. Таблица 2

Шаг 2. Рассчитаем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда (уt) на центрированные скользящие средние (у3 /u1 , у4 /u2,..., у14/u12 где Ui - значения столбца 5), получим столбец 6. Шаг 2. Рассчитаем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда (уt) на центрированные скользящие средние (у3 /u1 , у4 /u2,..., у14/u12 где Ui - значения столбца 5), получим столбец 6.

Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компонеты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле, здесь 4, так как в примере число периодов одного цикла (год) равно четырем кварталам. Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компонеты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле, здесь 4, так как в примере число периодов одного цикла (год) равно четырем кварталам.

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Получим Т*Е = Y/S (столбец 4 таблицы 4): Si

Шаг 4. Определим трендовую компоненту Т в модели. Для этого рассчитаем параметры парной линейной регрессии у - а + Ьх, в котором роль у играет Т*Е, а роль х - время t (например, используя программу «Регрессия» в Excel). Получим: а = 90,585150 b = -2,773250 Стандартная ошибка коэффициента регрессии S* = 0,225556 R2 = 0,915239 п= 16 Число степеней свободы п-2 =14. В результате получен линейный тренд (прямая) вида: T=90,59-2,773 •t Значение R2 показывает, что полученная прямая хорошо аппроксимирует зависимость Т*Е от t. Подставим имеющиеся значения t (t = 1, ..., 16) в это уравнение, получим значения Т для каждого момента времени, внесем их в таблицу 4 (столбец 5).

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда yt, вычисленные по мультипликативной модели, т.е. посчитаем произведение Т-S, умножая каждое значение тренда Т на соответствующее значение сезонной компоненты S, по кварталам. Полученные значения внесем в столбец 6 таблицы 4.

Шаг 6. Рассчитаем случайную компоненту модели - ошибку Е. В мультипликативной модели Е =Y/(T*S). Разделив значения yt на соответствующие значения ряда T*S, получим значения Ei - столбец 7. Для того, чтобы можно было сравнить мультипликативную модель с другими моделями временного ряда, можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок.

Абсолютные ошибки в мультипликативной модели Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются по формуле: E = yt - (Т*S). Вычислим их и занесем в столбец 8. Посчитаем квадраты ошибок (столбец 9) и их сумму ∑Е2 =207,24. Рассчитаем также сумму квадратов отклонений уровней ряда от его среднего значения: ∑(yt - уt)2 =5023. Вычислим долю ошибки 207,24 / 5023 = 0,04. В процентном формате - это 4%. Оставшаяся часть - 96% - доля дисперсии уровней временного ряда, объясненная мультипликативной моделью.

Вывод: Полученная мультипликативная модель Y = Т*S*Е, в которой тренд Т = 90,59 - 2,773*t , сезонная компонента S составляет по кварталам: I квартал: S1 = 0,913; II квартал: S2 = 1,202; III квартал: S3 = 1,082; IV квартал: S4 = 0,803, объясняет 96% общей вариации уровней временного ряда прибыли компании за последние 16 кварталов.