🗊Презентация Общая физика. Механика

Общая физика Механика

Список вопросов на экзамен 1. Система отсчета. Материальная точка. Радиус-вектор и вектор перемещения, их связь с координатами точки. Траектория. Средняя и мгновенная скорости. Ускорение. Закон равноускоренного движения. 2. Движения тела по окружности. Угловая скорость, нормальное и тангенциальное ускорение. Движение по криволинейной траектории. 3. Инерциальные системы отсчета, первый закон Ньютона. Масса и импульс материальной точки. Сила. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Преобразования Галилея. 4. Замкнутая система материальных точек. Закон сохранения импульса. Момент импульса, закон сохранения момента импульса.

Список вопросов на экзамен 5. Работа и мощность силы. Консервативные силы, работа консервативных сил. Потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии. 6. Упругие и квазиупругие силы. Закон Гука. Гармонические колебания: частота, период, амплитуда и фаза колебаний. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Гармонические колебания пружинного и математического маятников. 7. Затухающие колебания. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания. Энергия гармонических и затухающих колебаний. 8. Вынужденные колебания. Резонанс.

Лекция 1 Система отсчета. Материальная точка. Радиус-вектор и вектор перемещения, их связь с координатами точки. Траектория. Средняя и мгновенная скорости. Ускорение. Закон равноускоренного движения. Тело относительно, которого происходит определение положения рассматриваемого нами тела, называется телом отсчета. Совокупность тела отсчета, связанной с ним координатной системы и синхронизированных между собой часов образует систему отсчета. Тело размерами, которого можно пренебречь в условиях данной задачи называется материальной точкой.

Кинематика. 1.3 Тело размерами, которого можно пренебречь в условиях данной задачи называется материальной точкой. Положение материальной точки в пространстве можно определить с помощью радиус вектора. Радиус вектор r – это вектор проведенный из начала координат системы отсчета в место где находится материальная точка в данный момент времени При движении радиус вектор материальной точки изменяется как по модулю, так и по направлению r(t). Геометрическое место концов радиуса вектора r называется траекторией движения материальной точки

Кинематика. 1.4 Пусть при своем движении материальная точка двигалась вдоль траектории из начального положения в конечное, тогда Длина траектории называется путем s пройденным материальной точкой. Разница радиус векторов начального и конечного положений материальной токи называется перемещением Δr12.

Кинематика. 1.5 Всякое движение можно разложить на два вида: поступательное и вращательное. Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая связанная с движущимся телом остается параллельной самой себе. В случае вращательного движения все точки тела движутся по окружностям центры, которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может находиться и вне тела.

Кинематика. 1.6 Модуль вектора скорости v определяется следующим способом

Кинематика. 1.7

Кинематика. 1.8

Кинематика. 1.9 Зная, проекции радиус вектора r(t) на оси X, Y, Z декартовой системы координат связанной с телом отсчета: x=x(t), y=y(t), z=z(t), можно получить координатное представление радиус вектора:

Кинематика. 1.10 Для полного решения задачи о движении материальной точки – определения ее скорости v и положения r в зависимости от времени – не достаточно знать зависимость w(t), еще необходимо знать и начальные условия.

Лекция 2 Движения тела по окружности. Угловая скорость, нормальное и тангенциальное ускорение. Движение по криволинейной траектории.

Кинематика. 2.2

Кинематика. 2.3 Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Если скорость по величине не изменяется, тангенциальное ускорение равно нулю. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Если направление скорости не изменяется, движение происходит по прямолинейной траектории.

Кинематика. 2.4 Ускорение материальной точки, движущейся по произвольной кривой, также будет зависеть от кривизны траектории, которая в разных точках будет различна. Модуль полного ускорения

Кинематика. 2.5 Соответствующий угол поворота будем характеризовать вектором dφ, модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью вращения, причем так, что направление поворота отвечает правилу правого винта по отношению к направлению вектора dφ. Тогда элементарное перемещение материальной точки при таком повороте связано с углом поворота соотношением:

Кинематика. 2.6 ω называется угловой скоростью тела. Вектор ω направлен вдоль оси, вокруг которой движется материальная точка, в сторону, определяемую правилом правого винта, и представляет собой аксиальный вектор.

Кинематика. 2.7 при равномерном вращении ω показывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени. Равномерное вращение можно характеризовать периодом обращения Т, под которым понимают время, за которое тело делает один оборот, т.е. поворачивается на угол 2π. Поскольку промежутку времени Т соответствует угол поворота 2π,

Кинематика. 2.8 Из предыдущего соотношения следует, что угловая скорость равна 2π, умноженное на число оборотов в единицу времени

Кинематика. 2.9 Зная радиус окружности, по которой движется материальная точка, угловую скорость, можно определить линейную скорость движения материальной точки по окружности. Для этого разделим в формуле, определяющей перемещения материальной точки, левую и правую части на dt. Так как dr/dt=v и dφ /dt=ω, то

Кинематика. 2.10 В рассматриваемом случае ось вращения неподвижна, поэтому вектор

Лекция 3 Инерциальные системы отсчета, первый закон Ньютона. Масса и импульс материальной точки. Сила. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Преобразования Галилея. Классическая динамика основана на трех законах сформулированных Ньютоном. Классическая ньютоновская динамика (механика) описывает обширный круг явлений. Однако существуют границы ее применимости. Классическая динамика применима при скоростях на много меньших скоростей света 3 108 м/с и на расстояниях значительно больших атомных 10-13см.

Динамика. 3.2 Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной. Система отсчета в которой первый закон Ньютона не выполняется называется неинерциальной системой отсчета. Любая система, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета прямолинейно и равномерно тоже будет инерциальной. Для инерциальных систем справедлив принцип относительности, согласно которому все инерциальные системы по своим механическим свойствам эквивалентны друг другу.

Динамика. 3.3 Пусть инерциальная система К’ движется со скоростью V относительно другой инерциальной системы К. Выберем оси координат x’, y’, z’ K‘-системы параллельно соответствующим осям x, y, z К-системы так, чтобы оси x’ и x совпадали между собой и были направлены вдоль вектора V. Взяв за начало отсчета времени момент, когда начала координат О’ и О совпадали, запишем соотношение между радиус-векторами r’ и r одной и той же материальной точки в K’- и К-системах:

Динамика. 3.4 Подразумевается, что длина отрезков и ход времени не зависят от состояния движения и, следовательно, одинаковы в обеих системах отсчета. В координатах преобразования Галилея имеют вид:

Динамика. 3.5 В динамике рассматривается движение материальной точки в связи с теми причинами (взаимодействиями), которые обуславливают тот или иной характер движения. Влияние другого тела или тел, вызывающее ускорение тела (изменение скорости), называют силой . Опыт показывает, что всякое тело оказывает сопротивление при любых попытках изменить его скорость – как по модулю, так и по направлению. Свойство, выражающее степень сопротивления тела изменению его скорости, называют инертностью. Мерой инертности служит величина, называемая массой

Динамика. 3.6 Понятие массы m, вводится по определению отношений масс двух различных тел по обратному отношению ускорений, сообщаемых им равными силами:

Динамика. 3.7 Второй закон Ньютона формулируется следующим образом: ускорение всякого тела прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела.

Динамика. 3.8 Во всех случаях, когда в опытах участвуют два тела А и В и тело А сообщает ускорение телу В, обнаруживается, что и тело В сообщает ускорение телу А. Отсюда мы заключаем, что действия тел друг на друга имеют характер взаимодействия. Ньютон постулировал общее свойство всех сил взаимодействия третьим законом Ньютона: силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки, т.е.

Динамика. 3.9 Сила гравитационного притяжения, действующая между двумя телами в соответствии с законом всемирного тяготения имеет вид:

Динамика. 3.10 Кулоновская сила действующая между двумя точечными зарядами q1 и q2

Динамика. 3.11 Сила трения скольжения, возникающая при скольжении данного тела по поверхности другого тела:,

Лекция 4 Замкнутая система материальных точек. Закон сохранения импульса. Момент импульса, закон сохранения момента импульса. Любое тело или совокупность тел представляет собой систему материальных точек. Для описания системы материальных точек необходимо знать закон движения каждой материальной точки системы, т.е. знать зависимость координат и скоростей каждой материальной точки от времени. Оказывается, есть общие принципы, которые можно применить к описанию системы в целом. Это законы сохранения. Существуют такие величины, которые обладают свойством сохраняться во времени. Среди этих величин наиболее важную роль играют энергия, импульс и момент импульса. Эти три величины имеют важное общее свойство аддитивности: их значения для системы, равно сумме значений для каждой из частей системы в отдельности.

Законы сохранения. 4.2 Воспользовавшись определением импульса, запишем второй закон Ньютона в иной форме:

Законы сохранения. 4.3 Материальные точек, входящие в систему могут взаимодействовать, как между собой, так и с другими телами не входящими в систему. В соответствие с этим силы взаимодействия между материальными точками системы называются внутренними, а силы обусловленные взаимодействием с телами не входящими в систему называются внешними. В случае если на систему не действуют внешние силы, она называется замкнутой. Импульс системы определим, как векторную сумму импульсов ее отдельных частей:

Законы сохранения. 4.4 Рассмотрим импульс системы состоящей из двх материальных точек. Тогда импульс такой системы равен p=p1+p2. Напишем для каждой материальной точки второй закон Ньютона:

Законы сохранения. 4.5

Законы сохранения. 4.6 Момент импульса относительно точки О равен:

Законы сохранения. 4.7 Момент импульса материальной точки может изменяться со временем, продифференцировав выражение для момента импульса, можно определить причину вызывающую изменение момента импульса

Законы сохранения. 4.8 Модуль этого вектора равен M=lF. Таким образом производная от момента импульса относительно некоторой точки О равна моменту М равнодействующей силы относительно той же точки О

Законы сохранения. 4.9 Для определения приращения момента импульса частицы относительно точки О за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы необходимо проинтегрировать выражение dL=Mdt. В результате найдем приращение вектора L за конечный промежуток времени t:

Законы сохранения. 4.10 Момент внутренней силы действующей на 1 частицу со стороны второй обозначим M12, результирующий момент внешних сил действующих на эту частицу M1. Аналогично введем обозначения и для второй материальной точки M21 и M2. Тогда уравнения моментов для материальных точек системы будут выглядеть следующим образом:

Законы сохранения. 4.11

Лекция 5 Работа и мощность силы. Консервативные силы, работа консервативных сил. Потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии Пусть на материальную точку действует сила F, и под действием этой сила произошло перемещение по некоторой траектории из точки 1 в точку 2. В общем случае сила F меняется в процессе движения. Действие силы F на перемещении dr характеризуют величиной, равной скалярному произведению Fdr, эту величину называю работой силы F на перемещении dr:

Законы сохранения. 5.2 Работа А – величина алгебраическая: в зависимости от угла между силой и перемещением работа может быть как положительной, отрицательной так и равной нулю. Если же необходимо определит работу, совершенную силой F на всей траектории необходимо вычислить интеграл:

Законы сохранения. 5.3 На практике часто имеет значение не само значение работы, а то время, за которое данная работа была выполнена. Поэтому вводится величина, характеризующая работу, совершаемую в единицу времени – мощность.

Законы сохранения. 5.4 Если в каждой точке пространства на помещенную туда материальную точку действует сила, то говорят, что материальная точка находится в поле сил. Поле, остающееся постоянным во времени, называют стационарным. Стационарные силовые поля, в которых работа не зависит от пути между точками 1 и 2, называют консервативными. Силы, не являющиеся консервативными, называют неконсервативными. Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами и направленные по прямой, проходящей через эти частицы называют центральными

Законы сохранения. 5.5 Тот факт, что работа консервативных сил зависит только от начального и конечного положения материальной точки, дает возможность сопоставить полю некоторую функцию координат(радиус-вектора) U(r).

Законы сохранения. 5.6 Для этого достаточно вычислить работу, совершаемую силами поля на любом пути между точками, и представить ее в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциальная энергия U(r). Именно так и были получены работы в полях упругой, гравитационной и кулоновской сил В поле упругой силы:

Законы сохранения. 5.7 При перемещении материальной точки из одной точки поля консервативных сил в другую работа сил поля равна убыли потенциальной энергии. В случае элементарного перемещения получим:

Законы сохранения. 5.8 Найдем элементарную работу, которую совершает эта сила при элементарном перемещении dr

Законы сохранения. 5.9 Результирующая всех сил может быть представлена как F=Fконс.+Fстор. Тогда работа этих сил идет на приращение кинетической энергии: Аконс.+Астор. Так же работа сил консервативного поля равна убыли потенциальной энергии Аконс.=-ΔU. В итоге получаем: ΔT=-ΔU+Aстор.

Законы сохранения. 5.10 Полная механическая энергия, как и потенциальная, определяется с точностью до произвольной постоянной. Изменение полной механической энергии материальной точки обусловлено совершением над ней работы сторонними силами. Отсюда непосредственно следует закон сохранения механической энергии: если сторонние силы отсутствуют или таковы, что не совершают работы в течении интересующего нас времени, то полная механическая энергия частицы в стационарном поле консервативных сил остается постоянной за это время.

Лекция 6 Упругие и квазиупругие силы. Закон Гука. Гармонические колебания: частота, период, амплитуда и фаза колебаний. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Гармонические колебания пружинного и математического маятников. Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (или собственные) колебания и вынужденные колебания. Свободными называют такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок либо она была выведена из положения равновесия. Вынужденными называют такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Простейшим примером по характеру описания являются гармонические колебания. Это такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Колебания. 6.2 Простейшим примером системы, где возникают свободные гармонические колебания, является движение тела под действием силы упругости пружины.

Колебания. 6.3 Напишем второй закон Ньютона, в проекции на ось х, для этой системы

Колебания. 6.4 Решение данного уравнения имеет вид:

Колебания. 6.5 Продифференцировав зависимость смещения от времени x(t) получим выражение для зависимости скорости от времени. Взяв вторую производную, получим зависимость ускорения от времени:

Колебания. 6.6 Другим примером колебательной системы может служить математический маятник. Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из легкой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

Колебания. 6.7 Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции.

Колебания. 6.8 При прохождении же системы через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения Тmax:

Колебания. 6.9 Сложив вместе кинетическую и потенциальную энергии, получим формулу для полной энергии:

Колебания. 6.10 Сложение колебаний одного направления

Лекция 7 Затухающие колебания. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания. Энергия гармонических и затухающих колебаний. При движении тела в среде последняя всегда оказывает сопротивление, стремящееся замедлить движение. При этом энергия движущегося тела, в конце концов, переходит в тепло. В таких случаях говорят, что имеет место диссипация энергии. если движение тела в среде достаточно медленное по сравнению со скоростью внутренних диссипативных процессов, то реакция среды на движение тела в некоторых случаях может быть приближенно описана введением так называемой силы трения, действующей на тело и зависящей лишь от скорости последнего. Такая ситуация возникает, например, при движении тела в вязкой среде, жидкости или газе. В ряде случаев можно считать, что сила сопротивления пропорциональна величине скорости

Колебания. 7.2 Уравнение второго закона Ньютона для пружинного маятника в присутствие сил сопротивления имеет вид:

Колебания. 7.3 При небольшой силе трения полученное выше дифференциальное уравнение имеет следующее решение:

Колебания. 7.4

Колебания. 7.5 Видно, что период затухающих колебаний больше, чем период незатухающих колебаний с теми же параметрами колебательной системы. При незначительном сопротивлении среды , период колебаний практически равен . С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается. При приближении коэффициента затухания(сопротивления среды) к величине равной ω0 период колебаний становится равным бесконечности и колебания становятся апериодическими – выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Запас механической энергии тела к моменту его возвращения в положение равновесия полностью расходуется на преодоление трения.

Колебания. 7.6

Колебания. 7.7 Последующие наибольшие отклонения в какую-либо сторону (например А’, А”, А”’ и т.д.) образуют геометрическую прогрессию. Действительно, если

Колебания. 7.8 Выразив β через λ и Т, закон убывания амплитуды можно записать в виде:

Колебания. 7.9 Найдем импульс системы, совершающей затухающие колебания. Продифференцировав зависимость, смещение в затухающих колебаниях по времени и умножив полученный результат на массу m, получим:

Колебания. 7.10 При затухающих колебаниях энергия системы расходуется на преодоление сопротивления среды. Если восполнять эту убыль энергии, колебания станут незатухающими. Пополнение энергии системы может осуществляться за счет толчков извне, однако эти толчки должны сообщаться системе в такт с ее колебаниями, иначе они могут уменьшить колебания системы и даже прекратить их совсем. Можно сделать так, чтобы колеблющаяся система сама управляла внешним воздействием, обеспечивая согласованность сообщаемых ей толчков со своим движением. Такая система называется автоколебательной, а совершаемые ею незатухающие колебания – автоколебаниями.

Лекция 8 Вынужденные колебания. Резонанс Если колебательная система подвергается воздействию внешней периодической силы, то возникают так называемые вынужденные колебания, имеющие незатухающий характер. Вынужденные колебания следует отличать от автоколебаний. В случае автоколебаний в системе предполагается специальный механизм, который в такт с собственными колебаниями "поставляет" в систему небольшие порции энергии из некоторого резервуара энергии. Тем самым поддерживаются собственные колебания, которые не затухают. В случае автоколебаний система как бы сама себя подталкивает. В случае вынужденных колебаний система подталкивается посторонней силой. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω0. Если свободные колебания происходят на частоте ω0, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы.

Вынужденные колебания. 8.2 Уравнение второго закона Ньютона для пружинного маятника, на который действует периодически изменяющаяся сила, будет иметь вид:

Вынужденные колебания. 8.3 Первое слагаемое в этом выражении играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального множителя роль первого слагаемого все больше уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя лишь второе слагаемое.

Вынужденные колебания. 8.4 Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом, соответствующая частота – резонансной частотой. Чтобы определить резонансную частоту ωрез, нужно найти максимум функции определяющей зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы. Продифференцировав выражение

Вынужденные колебания. 8.5 Данное уравнение имеет три решения: ω=0 и . Решение равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное не подходит, как не имеющее физического смысла. В результате, для резонансной частоты получается значение:

Вынужденные колебания. 8.6

Вынужденные колебания. 8.7 При резонансе амплитуда Арез колебания может во много раз превосходить амплитуду А колебаний свободного конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе. У колебательных систем с не очень высокой добротностью (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот

Вынужденные колебания. 8.8

Вынужденные колебания. 8.9 Оказывается, существует иной вид воздействия извне, с помощью которого можно сильно раскачать систему. Этот вид воздействия заключается в совершаемом в такт с колебаниями периодическом изменении какого-либо параметра системы, вследствие чего само явление называется параметрическим резонансом. Простейшим примером системы, в которой возможен параметрический резонанс, является простейший маятник – шарик на нитке. Если периодически изменять длину маятника l, увеличивая ее в моменты, когда маятник находится в крайних положениях, и уменьшается в моменты, когда маятник находится в среднем положении, то маятник сильно раскачается.

Вынужденные колебания. 8.10 Увеличение энергии маятника при этом происходит за счет работы, которую совершает сила, действующая на нить. Сила натяжения нити при колебаниях маятника непостоянна: она меньше в крайних положениях, когда скорость обращается в нуль, и больше в среднем положении, когда скорость маятника максимальна. Поэтому отрицательная работа внешней силы при удлинении маятника оказывается меньше по величине, чем положительная работа, совершаемая при укорочении маятника. В итоге работа внешней силы за период оказывается больше нуля.