Основы теории вероятностей - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Основы теории вероятностей. Доклад-сообщение содержит 70 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

ВОЕННО–МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ имени С.М. Кирова Кафедра биологической и медицинской физики ЛЕКЦИЯ № 1 по дисциплине «Физика, математика» на тему: «Основы теории вероятностей» для курсантов и студентов I курса ФПВ, ФПиУГВ, спецфакультета

Слайд 2

Описание слайда:

Слайд 3

Описание слайда:

Кафедра биологической и медицинской физики — одна из первых кафедр Военно-медицинской академии и старейшая кафедра физики в России (образована в 1795 г.).

Слайд 4

Описание слайда:

Здание Естественно-исторического института

Слайд 5

Описание слайда:

Слайд 6

Описание слайда:

Понятие о доказательной медицине Понятие "Evidence-based Medicine", или "медицины, основанной на доказательствах" (доказательной медицины) было предложено канадскими учеными из университета Мак Мастера в Торонто в 1990 году.

Слайд 7

Описание слайда:

Доказательная медицина подразумевает добросовестное, точное и осмысленное использование лучших результатов клинических исследований для выбора лечения конкретного больного.

Слайд 8

Описание слайда:

Почему возникла необходимость в доказательной медицине? Увеличение объема научной информации, в частности в области клинической фармакологии. Нехватка средств, связанных с расходами на здравоохранение.

Слайд 9

Описание слайда:

В основе медицинской практики, не основанной на доказанных фактах, лежат: Авторитет врача ("увеличение числа однотипных ошибок с увеличением стажа работы") Страстность ("эмоциональное воздействие на более спокойных коллег и родственников больных") Внешний облик врача и его красноречие ("хороший загар, шелковый галстук, вальяжная поза и красноречие как замена доказанным фактам") Провидение ("когда неизвестно, что делать с больным, вместо обоснованного решения полагаются на волю божью") Чувство неуверенности ("от чувства растерянности и отчаяния решения вовсе не принимаются") Нервозность ("в условиях постоянного страха перед судебным процессом врач назначает чрезмерное обследование и лечение") Самоуверенность ("в основном у хирургов")

Слайд 10

Описание слайда:

По современным стандартам надежная оценка эффективности методов лечения и профилактики может быть получена только в ходе рандомизированных контролируемых клинических исследований – наиболее доказательных и объективных.

Слайд 11

Описание слайда:

По окончании исследования сопоставляются частоты наступления клинически важных исходов – выздоровления, осложнения, смерти, а не суррогатные исходы – изменения физиологических, биохимических, иммунологических и других параметров.

Слайд 12

Описание слайда:

Для получения выводов исследования необходимо учитывать неопределенность многих характеристик, а также конечность числа наблюдений. Наиболее приемлемым инструментом в этом случае оказываются методы теории вероятностей и медицинской статистики.

Слайд 13

Описание слайда:

«Статистика – это совокупность методов, которые дают нам возможность принимать оптимальные решения в условиях неопределенности» (А. Вальд, американский математик).

Слайд 14

Описание слайда:

1. Случайные события. Предмет теории вероятности. Определение вероятности (статистическое и классическое).

Слайд 15

Описание слайда:

Случайные события – это явления и факты, которые при различных условиях могут происходить или не происходить. Количественная оценка закономерностей, относящихся к случайным событиям, дается в разделе математики, называемом теорией вероятности.

Слайд 16

Описание слайда:

Изучение закономерностей однородных массовых (статистических)случайных событий составляет предмет теории вероятности и основанной на ней математической статистики.

Слайд 17

Описание слайда:

Изучение каждого отдельного явления с выполнением определенного комплекса условий называется испытанием (опытом, экспериментом). Всякий результат или исход испытания называется событием. События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита A, B, C…

Слайд 18

Описание слайда:

Возможность появления каждого события определяется специальной величиной – вероятностью наступления события – Р(А). Вероятность Р(А) – числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного случайного события А при многократном повторении испытаний.

Слайд 19

Описание слайда:

Два способа определения вероятности: В «классическом» определении вероятности вероятность случайного события определяется как отношение числа равновозможных исходов опыта, благоприятствующих наступлению события, к общему числу равновозможных исходов. Р(А) = m/n

Слайд 20

Описание слайда:

Из классического определения вероятности вытекает ряд ее свойств: Вероятность достоверного события, то есть события, которое происходит неизбежно в результате каждого испытания, равна 1. Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность любого события удовлетворяет неравенству 0 ≤ Р(А) ≤ 1.

Слайд 21

Описание слайда:

Классическое определение вероятности случайного события применимо только к испытаниям с конечным числом исходов, причем исходов равновероятных. Однако на практике часто рассматривают испытания, не удовлетворяющие этим условиям. В этом случае пользуются статистическим определением вероятности.

Слайд 22

Описание слайда:

Статистическое определение вероятности: Вероятностью случайного события называется предел, к которому стремится относительная частота события (частость)при неограниченном увеличении числа испытаний. Р(А) = lim m/n n→∞ Здесь m – число событий; n –число испытаний.

Слайд 23

Описание слайда:

Из этого определения следует, что В отличие от классического подхода к определению вероятности случайного события, в соответствии с которым для нахождения вероятности случайного события нет необходимости проводить реальные испытания, а достаточно теоретически изучить особенности их проведения, при статистическом подходе требуется проведение таких испытаний;

Слайд 24

Описание слайда:

Статистическую вероятность события нельзя точно определить на основании конечного числа испытаний, каким бы большим оно ни было. Однако статистическую вероятность можно оценить приближенно по величине соответствующей относительной частоты.

Слайд 25

Описание слайда:

Пусть проведено 5 серий по 100 выстрелов в цель, осуществленных одним и тем же спортсменом в одинаковых условиях.

Слайд 26

Описание слайда:

Из таблицы очевидно, что: Относительная частота попаданий в цель не является величиной постоянной, а изменяется от серии к серии. Эта относительная частота не изменяется произвольно, а варьирует относительно среднего значения, равного 0,98. Статистическую вероятность попадания в цель можно принять примерно равной 0,98.

Слайд 27

Описание слайда:

2. Классификация событий. Понятие о совместных и несовместных, зависимых и независимых событиях. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Слайд 28

Описание слайда:

События могут быть: а) Достоверными, невозможными и случайными; б) Противоположное событие – происходит только тогда, когда событие А не происходит; Сумма вероятностей наступления случайного события А и противоположного ему события В равна 1. Р (А) + Р (В) = 1

Слайд 29

Описание слайда:

в) Эквивалентные события – события с одинаковой вероятностью, независимо от их природы: Р(А) = Р(В); г) Несовместные события, если в условиях испытания каждый раз возможно появление только одного из них, т.е. никакие два не могут появиться вместе в этом испытании. В противном случае события называются совместными.

Слайд 30

Описание слайда:

д) Независимые события – вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В. В противном случае события называются зависимыми.

Слайд 31

Описание слайда:

В ряде случаев вычислить вероятность события оказывается проще, если представить его в виде комбинации более простых событий. Этой цели служат некоторые теоремы теории вероятностей.

Слайд 32

Описание слайда:

Теорема сложения вероятностей Вероятность появления одного (безразлично какого) события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р (А или В или С) = Р(А) + Р(В) + Р(С)

Слайд 33

Описание слайда:

Например, вероятность выпадения четного числа на верхней грани игральной кости: Р (2 или 4 или 6) = Р (2) + Р (4) + Р (6) = = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Слайд 34

Описание слайда:

Теорема умножения вероятностей Вероятность одновременного появления двух или более независимых событий равна произведению их вероятностей. Р (А и В и С) = Р (А) . Р (В) . Р(С)

Слайд 35

Описание слайда:

Пример: Найти вероятность того, что в семье из трех детей родятся два сына и одна дочь. Вероятность рождения мальчика Р (А) = =Р (В) = 0,515; вероятность рождения девочки Р(С) = 0,485. Р (А и В и С) = 0,515 . 0,515 . 0,485 = 0,129.

Слайд 36

Описание слайда:

Если вероятность события А меняется в связи с появлением или непоявлением события В, то событие А называется зависимым от события В. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело событие В, называется условной вероятностью события А; обозначение Р (А/В).

Слайд 37

Описание слайда:

Вероятность появления двух зависимых событий одновременно равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго при условии, что первое событие осуществилось. Р (А и В) = Р (А) . Р (В/А)

Слайд 38

Описание слайда:

Пример: студент пришел на экзамен, зная 40 вопросов из 50. Найти вероятность того, что он ответит на 3 вопроса билета. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос: Р(А) = 40/50 = 4/5. Вероятность того, что он ответит на второй вопрос, вычисленная при условии, что он ответил на первый вопрос, т.е. условная вероятность, равна: Р (В/А) = 39/49. Вероятность того, что студент ответит на третий вопрос, при условии, что он ответил на первые 2 вопроса: Р (С/АхВ) = 38/48.

Слайд 39

Описание слайда:

Искомая вероятность: Р (АхВхС) = Р (А) х Р (В/А) х Р (С/АхВ) = = 40/50 х 39/49 х 38/48 = 0,5.

Слайд 40

Описание слайда:

3. Непрерывные и дискретные случайные величины. Распределения дискретных случайных величин, их характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

Слайд 41

Описание слайда:

Науку об измерениях физических величин и способах обеспечения необходимой точности этих измерений называют метрологией. Под физической величиной мы понимаем характеристику материальных объектов и явлений, которая может быть количественно оценена (т.е. измерена).

Слайд 42

Описание слайда:

Основой для количественной оценки физической величины является единица измерения физической величины. Единицы измерения физических величин группируются в системы единиц.

Слайд 43

Описание слайда:

В Международной системе единиц (СИ) основными единицами являются метр (м), килограмм массы (кг), секунда (с), моль (М), ампер (А), кандела (кд), кельвин (К). Все остальные единицы являются производными от основных (например, единица скорости (м/с), единица давления (Н/м2) и т.п.

Слайд 44

Описание слайда:

Величины, которые в зависимости от стечения случайных обстоятельств могут принимать различные значения, причем заранее неизвестно, какое именно значение, называются случайными величинами. Случайные величины принято обозначать заглавными буквами «второй половины» латинского алфавита (X, Y, Z), а их возможные значения – строчными буквами, например - x1, x2, x3, …, xn.

Слайд 45

Описание слайда:

Случайная величина называется дискретной, если совокупность всех ее возможных значений представляет собой конечное или бесконечное, но обязательно счетное множество значений. Примеры: число букв на странице книги, число волос на голове человека, количество очков, выпадающих при броске игральной кости, число больных на приеме у врача в течение дня и т.п.

Слайд 46

Описание слайда:

Вероятность того, что дискретная случайная величина Х в i-м опыте примет значение xi, равна pi = P (X=xi). Законом (или функцией) распределения дискретной случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между всеми возможными значениями этой случайной величины (xi )и соответствующими им вероятностями (pi ).

Слайд 47

Описание слайда:

Закон или функция распределения могут быть заданы графически, аналитически или в форме таблицы. Пример: Имеется 10 студенческих групп, насчитывающих соответственно 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 и 11 студентов. Составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как число студентов в наугад выбранной группе.

Слайд 48

Описание слайда:

Возможными значениями рассматриваемой случайной величины являются (в порядке возрастания) 8, 9, 10, 11 и 12. Вероятность того, что х1 = 8 (событие А), равна Р (А) = 2/10 = 0,2. Вероятность того, что х2 = 9 (событие В), равна Р (В) = 1/10 = 0,1. Вероятность того, что х3 = 10 (событие С), равна Р (С) = 3/10 = 0,3. Вероятности для х4 и х5 = 0,2.

Слайд 49

Описание слайда:

Искомый закон распределения имеет вид:

Слайд 50

Описание слайда:

На практике закон распределения дискретной случайной величины часто неизвестен, но для определения особенностей случайной величины используют основные числовые параметры (характеристики), связанные с законом распределения. Это математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Слайд 51

Описание слайда:

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений этой величины на вероятности этих значений.

Слайд 52

Описание слайда:

Например, если использовать данные предыдущего примера, то математическое ожидание M (X) = 8 . 0,2 + 9 . 0,1 + 10 . 0,3 + 11 . 0,2 + +12 . 0,2 = 10,1. Основной смысл математического ожидания дискретной случайной величины состоит в том, что оно представляет собой среднее значение данной величины.

Слайд 53

Описание слайда:

Отдельные значения случайной величины группируются около математического ожидания. Степень рассеивания (разброса) характеризуется дисперсией. Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. D (X) = = M [(xi – μ)2] Здесь μ = M(X) - математическое ожидание случайной величины.

Слайд 54

Описание слайда:

На практике дисперсию часто удобнее вычислять по формуле: D (X) = σ2 = M (X 2) – μ2 Например, в том же примере с группами студентов: М(Х2) = 64 . 0,2 + 81 .0,1 + 100 . 0,3 + 121 . 0,2 + 144 . 0,2 = 103,9. Подставляя это значение и найденное ранее значение математического ожидания (μ = M(X) = 10,1), получаем D (X) = 103,9 – 10,1 = 1,89

Слайд 55

Описание слайда:

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением) случайной величины называют корень квадратный из дисперсии. Для нашего примера σ (Х ) = ≈ 1,37.

Слайд 56

Описание слайда:

4. Непрерывные случайные величины, их распределения и характеристики Случайная величина, принимающая любые значения в определенном интервале, называется непрерывной. Примеры: мгновенные значения скорости теплового движения молекул, температура тела человека, плотность воздуха в зависимости от высоты над поверхностью Земли и т.п.

Слайд 57

Описание слайда:

Так как невозможно перечислить все значения непрерывной случайной величины и указать их вероятности, то промежуток между крайними значениями делят на определенное количество интервалов и определяют вероятность того, что те или иные значения величины попадают в эти интервалы (так называемую плотность вероятности).

Слайд 58

Описание слайда:

Плотность вероятности, или функция распределения вероятностей [f (x)], показывает, как изменяется вероятность dP, отнесенная к интервалу dx некоторой величины, в зависимости от значений самой этой величины.

Слайд 59

Описание слайда:

Вероятность того, что случайная величина принимает какое-либо значение в интервале (a,b):

Слайд 60

Описание слайда:

Условие нормирования непрерывной случайной величины:

Слайд 61

Описание слайда:

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины рассчитываются по формулам:

Слайд 62

Описание слайда:

Примеры распределений непрерывных случайных величин: Нормальный закон распределения Нормальный закон распределения (закон Гаусса):

Слайд 63

Описание слайда:

Здесь: a = M(x) – математическое ожидание случайной величины, σ – среднее квадратическое отклонение (соответственно, σ2 -дисперсия случайной величины), е – основание натурального логарифма.

Слайд 64

Описание слайда:

Графически нормальное распределение имеет вид:

Слайд 65

Описание слайда:

Кривая имеет колоколообразную форму, симметричную относительно точки х = a. Величина f (X ) в этой точке определяется формулой:

Слайд 66

Описание слайда:

При изменении параметра a форма нормальной кривой не изменяется, график сдвигается влево или вправо. При изменении параметра σ форма нормальной кривой изменяется. Если этот параметр увеличивается, то максимальное значение функции f(x) убывает, и наоборот. С увеличением параметра σ кривая растягивается вдоль оси ОХ.

Слайд 67

Описание слайда:

Важное значение нормального распределения во многих областях науки, например, в математической статистике и статистической физике, вытекает из центральной предельной теоремы теории вероятностей. Если результат наблюдения является суммой многих случайных слабо взаимозависимых величин, каждая из которых вносит малый вклад относительно общей суммы, то при увеличении числа слагаемых распределение центрированного и нормированного результата стремится к нормальному. Этот закон теории вероятностей имеет следствием широкое распространение нормального распределения, что и стало одной из причин его наименования.

Слайд 68

Описание слайда:

Непрерывная случайная величина X, функция плотности вероятности которой задается выражением

Слайд 69

Описание слайда:

Слайд 70

Описание слайда:

Как видно из формулы, показательное распределение определяется только одним параметром λ. В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее неизвестны, и их приходится оценивать приближенно. Понятно, что оценить один параметр проще, чем несколько.