ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. Доклад-сообщение содержит 351 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Слайд 2

Описание слайда:

1. Понятие вектора 1. Понятие вектора 2. Линейные операции над векторами 3. Понятие линейной зависимости векторов 4. Понятие базиса 5. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве 6. Прямоугольная система координат

Слайд 3

Описание слайда:

1. Понятие вектора

Слайд 4

Описание слайда:

1. Понятие вектора Направленным отрезком называется упорядоченная пара точек A и B

Слайд 5

Описание слайда:

1. Понятие вектора Направленным отрезком называется упорядоченная пара точек A и B A - начало направленного отрезка

Слайд 6

Описание слайда:

1. Понятие вектора Направленным отрезком называется упорядоченная пара точек A и B A - начало направленного отрезка B – его конец

Слайд 7

Описание слайда:

1. Понятие вектора Направленным отрезком называется упорядоченная пара точек A и B A - начало направленного отрезка B – его конец Если точки A и B совпадают, то направленный отрезок называется нулевым (или вырожденным)

Слайд 8

Описание слайда:

Два невырожденных направленных отрезка и называются коллинеарными, если прямые AB и CD или параллельны, или совпадают. Два невырожденных направленных отрезка и называются коллинеарными, если прямые AB и CD или параллельны, или совпадают.

Слайд 9

Описание слайда:

Слайд 10

Описание слайда:

Слайд 11

Описание слайда:

Слайд 12

Описание слайда:

Слайд 13

Описание слайда:

Слайд 14

Описание слайда:

Слайд 15

Описание слайда:

Слайд 16

Описание слайда:

Слайд 17

Описание слайда:

Слайд 18

Описание слайда:

Слайд 19

Описание слайда:

Слайд 20

Описание слайда:

Слайд 21

Описание слайда:

Слайд 22

Описание слайда:

Слайд 23

Описание слайда:

Слайд 24

Описание слайда:

Слайд 25

Описание слайда:

Слайд 26

Описание слайда:

Два направленных отрезка и называются равными = если выполнены следующие условия: Два направленных отрезка и называются равными = если выполнены следующие условия:

Слайд 27

Описание слайда:

Слайд 28

Описание слайда:

Два направленных отрезка и называются равными = если выполнены следующие условия: Два направленных отрезка и называются равными = если выполнены следующие условия: равны длины отрезков AB и CD направленные отрезки и коллинеарны

Слайд 29

Описание слайда:

Слайд 30

Описание слайда:

Геометрическим вектором Геометрическим вектором

Слайд 31

Описание слайда:

Геометрическим вектором (вектором) Геометрическим вектором (вектором)

Слайд 32

Описание слайда:

Геометрическим вектором (вектором) будем называть направленый отрезок Геометрическим вектором (вектором) будем называть направленый отрезок

Слайд 33

Описание слайда:

обозначают

Слайд 34

Описание слайда:

обозначают

Слайд 35

Описание слайда:

обозначают

Слайд 36

Описание слайда:

обозначают

Слайд 37

Описание слайда:

обозначают

Слайд 38

Описание слайда:

А – точка приложения

Слайд 39

Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Не имеет определённого направления и имеет длину, равную нулю. Вектор называется...

Описание слайда:

Слайд 40

Описание слайда:

Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Не имеет определённого направления и имеет длину, равную нулю. Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Не имеет определённого направления и имеет длину, равную нулю. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Слайд 41

Описание слайда:

Слайд 42

Описание слайда:

Слайд 43

Описание слайда:

Из равенства векторов

Слайд 44

Описание слайда:

Из равенства векторов

Слайд 45

Описание слайда:

Из равенства векторов Точка приложения данного вектора а может быть выбрана произвольно

Слайд 46

Описание слайда:

Из равенства векторов Точка приложения данного вектора а может быть выбрана произвольно. Векторы называют свободными.

Слайд 47

Описание слайда:

Свободным вектором называется класс всех равных между собой направленных отрезков Свободным вектором называется класс всех равных между собой направленных отрезков

Слайд 48

Описание слайда:

2. Линейные операции над векторами

Слайд 49

Описание слайда:

2. Линейные операции над векторами Операция сложения векторов

Слайд 50

Описание слайда:

2. Линейные операции над векторами Операция сложения векторов Операция умножения векторов на вещественные числа

Слайд 51

Описание слайда:

Операция сложения векторов Суммой а+b двух векторов а и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора а

Слайд 52

Описание слайда:

Операция сложения векторов Суммой а+b двух векторов а и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора а (правило треугольника).

Слайд 53

Описание слайда:

a b a b

Слайд 54

Описание слайда:

a b a b

Слайд 55

Описание слайда:

Слайд 56

Описание слайда:

Слайд 57

Описание слайда:

Слайд 58

Описание слайда:

Слайд 59

Описание слайда:

Слайд 60

Описание слайда:

Слайд 61

Описание слайда:

Слайд 62

Описание слайда:

Слайд 63

Описание слайда:

Правило сложения обладает свойствами:

Слайд 64

Описание слайда:

Правило сложения обладает свойствами: a+b = b+a (переместительное свойство - коммутативность)

Слайд 65

Описание слайда:

Правило сложения обладает свойствами: a+b = b+a (переместительное свойство - коммутативность) (a+b)+c = a+(b+c)(сочетательное свойство - ассоциотивность)

Слайд 66

Описание слайда:

Правило сложения обладает свойствами: a+b = b+a (переместительное свойство - коммутативность) (a+b)+c = a+(b+c) (сочетательное свойство - ассоциотивность)

Слайд 67

Описание слайда:

Правило сложения обладает свойствами: a+b = b+a (переместительное свойство - коммутативность) (a+b)+c = a+(b+c) (сочетательное свойство - ассоциотивность) вектор противоположный вектору а

Слайд 68

Описание слайда:

 3) по определению суммы  3) по определению суммы

Слайд 69

Описание слайда:

 3) по определению суммы  3) по определению суммы

Слайд 70

Описание слайда:

 3) по определению суммы  3) по определению суммы

Слайд 71

Описание слайда:

 3) по определению суммы  3) по определению суммы

Слайд 72

Описание слайда:

 3) по определению суммы  3) по определению суммы

Слайд 73

Описание слайда:

4) 4)

Слайд 74

Описание слайда:

4) Вектор а’, противоположный вектору а, 4) Вектор а’, противоположный вектору а,

Слайд 75

Описание слайда:

4) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую с вектором а длину и противоположное направление 4) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую с вектором а длину и противоположное направление

Слайд 76

Описание слайда:

Слайд 77

Описание слайда:

Слайд 78

Описание слайда:

Слайд 79

Описание слайда:

По определению суммы двух векторов: По определению суммы двух векторов:

Слайд 80

Описание слайда:

По определению суммы двух векторов: По определению суммы двух векторов:

Слайд 81

Описание слайда:

По определению суммы двух векторов: По определению суммы двух векторов:

Слайд 82

Описание слайда:

1) 1)

Слайд 83

Описание слайда:

1) 1)

Слайд 84

Описание слайда:

Слайд 85

Описание слайда:

Слайд 86

Описание слайда:

Слайд 87

Описание слайда:

Слайд 88

Описание слайда:

Слайд 89

Описание слайда:

Слайд 90

Описание слайда:

Слайд 91

Описание слайда:

Слайд 92

Описание слайда:

Слайд 93

Описание слайда:

Слайд 94

Описание слайда:

2) 2)

Слайд 95

Описание слайда:

Слайд 96

Описание слайда:

Слайд 97

Описание слайда:

Слайд 98

Описание слайда:

Слайд 99

Описание слайда:

Слайд 100

Описание слайда:

Слайд 101

Описание слайда:

Слайд 102

Описание слайда:



Слайд 103

Описание слайда:

Из 1) вытекает

Слайд 104

Описание слайда:

Из 1) вытекает если векторы a и b приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма a+b (или b+a) этих векторов представляет собой диагональ этого параллелограмма, идущую из общего начала вектров a и b.

Слайд 105

Описание слайда:

Слайд 106

Описание слайда:

Слайд 107

Описание слайда:

Слайд 108

Описание слайда:

Из свойств 1-4

Слайд 109

Описание слайда:

Из свойств 1-4 Если приложить вектор a2 к концу вектора a1, вектор a3 к концу вектора a2 …, вектор an к концу вектора an-1, то сумма a1+a2+a3+…+an будет представлять собой вектор, идущий из начала вектора a1 в конец вектора an

Слайд 110

Описание слайда:

Слайд 111

Описание слайда:

Слайд 112

Описание слайда:

Слайд 113

Описание слайда:

Слайд 114

Описание слайда:

Слайд 115

Описание слайда:

Слайд 116

Описание слайда:

Слайд 117

Описание слайда:

Из свойств 1-4

Слайд 118

Описание слайда:

Из свойств 1-4 Разностью a-b вектора a и вектора b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор a.

Слайд 119

Описание слайда:

 ! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b  ! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b

Слайд 120

Описание слайда:

! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b ! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b  Из свойств 1-4 c+b=(a+b’)+b=

Слайд 121

Описание слайда:

Слайд 122

Описание слайда:

Слайд 123

Описание слайда:

Слайд 124

Описание слайда:

Слайд 125

Описание слайда:

Слайд 126

Описание слайда:

Слайд 127

Описание слайда:

Слайд 128

Описание слайда:

Слайд 129

Описание слайда:

Слайд 130

Описание слайда:

Слайд 131

Описание слайда:

Слайд 132

Описание слайда:

Слайд 133

Описание слайда:

Слайд 134

Описание слайда:

Правило построения разности

Слайд 135

Описание слайда:

Правило построения разности Разность a-b, приведенных к общему началу векторов a и b представляет собой вектор, идущий из конца вычитаемого b в конец уменьшаемого вектора a.

Слайд 136

Описание слайда:

Слайд 137

Описание слайда:

Слайд 138

Описание слайда:

Операция умножения вектора на вещественное число

Слайд 139

Описание слайда:

Операция умножения вектора на вещественное число Произведение а (или а ) вектора а на вещественное число  называется вектор b, коллинеарный вектору а и имеющий длину, равную |  ||а| и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора а в случае  >0 и противоположное направлению вектора а в случае 

Слайд 140

Описание слайда:

Операция умножения вектора на вещественное число Произведение а (или а) вектора а на вещественное число  называется вектор b, коллинеарный вектору а и имеющий длину, равную |  |·|а| и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора а в случае  >0 и противоположное направлению вектора а в случае 

Слайд 141

Описание слайда:

Геометрический смысл : при умножении вектора а на число  вектор а «растягивается», в  раз , при  >1; при Геометрический смысл : при умножении вектора а на число  вектор а «растягивается», в  раз , при  >1; при 0< 

Слайд 142

Описание слайда:

Свойства

Слайд 143

Описание слайда:

Свойства (a+b)= a+ b

Слайд 144

Описание слайда:

Свойства (a+b)= a+ b (+)a=a+a

Слайд 145

Описание слайда:

Свойства (a+b)= a+ b (+)a=a+a (a)=()a

Слайд 146

Описание слайда:

 5)

Слайд 147

Описание слайда:

 5)

Слайд 148

Описание слайда:

 5)

Слайд 149

Описание слайда:

 5)

Слайд 150

Описание слайда:

 5)

Слайд 151

Описание слайда:

 5)

Слайд 152

Описание слайда:

 5)

Слайд 153

Описание слайда:

6) и 7) очевидны 6) и 7) очевидны

Слайд 154

Описание слайда:

3. Понятие линейной зависимости векторов

Слайд 155

Описание слайда:

Пусть а1 а2 а3…аn – вектора, а 1 2 3 …n - числа, тогда 1а1 + 2а2+ 3а3…+ nаn (1) называется линейной комбинацией n векторов а1 а2 а3…аn Пусть а1 а2 а3…аn – вектора, а 1 2 3 …n - числа, тогда 1а1 + 2а2+ 3а3…+ nаn (1) называется линейной комбинацией n векторов а1 а2 а3…аn

Слайд 156

Описание слайда:

Векторы а1 а2 а3…аn называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа 1 2 3 …n, из которых хотя бы одно отлично от нуля и при этом линейная комбинация этих векторов с указанными числами обращается в ноль Векторы а1 а2 а3…аn называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа 1 2 3 …n, из которых хотя бы одно отлично от нуля и при этом линейная комбинация этих векторов с указанными числами обращается в ноль

Слайд 157

Описание слайда:

Слайд 158

Описание слайда:

Векторы а1 а2 а3…аn называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации (1) возможно в случае, когда все числа 1 2 3 …n равны нулю Векторы а1 а2 а3…аn называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации (1) возможно в случае, когда все числа 1 2 3 …n равны нулю

Слайд 159

Описание слайда:

Критерии линейной зависимости систем из 1,2,3 и 4 векторов

Слайд 160

Описание слайда:

Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима  а1 =0

Слайд 161

Описание слайда:

Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима  а1 =0  )

Слайд 162

Описание слайда:

Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима  а1 =0  ) а1 - линейно зависим,

Слайд 163

Описание слайда:

Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима  а1 =0 ) а1 - линейно зависим,  1≠0 :

Слайд 164

Описание слайда:

Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима  а1 =0 ) а1 - линейно зависим,  1≠0 : 1а1 =0

Слайд 165

Описание слайда:

Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима  а1 =0 ) а1 - линейно зависим,  1≠0 : 1а1 =0  а1 =0

Слайд 166

Описание слайда:

Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима  а1 =0 ) а1 - линейно зависим,  1≠0 : 1а1 =0  а1 =0 )

Слайд 167

Описание слайда:

Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима  а1 =0 ) а1 - линейно зависим,  1≠0 : 1а1 =0  а1 =0 ) а1 =0 ,

Слайд 168

Описание слайда:

Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима  а1 =0 ) а1 - линейно зависим,  1≠0 : 1а1 =0  а1 =0 ) а1 =0 , 1 а1 =0  1 

Слайд 169

Описание слайда:

Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима  а1 || a2

Слайд 170

Описание слайда:

Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима  а1 || a2 ) а1 ,a2 - линейно зависимы,

Слайд 171

Описание слайда:

Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима  а1 || a2 ) а1 ,a2 - линейно зависимы,  1, 2 (хотя бы одно ≠0 ): 1а1 +2a2 =0

Слайд 172

Описание слайда:

Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима  а1 || a2 ) а1 ,a2 - линейно зависимы,  1, 2 (хотя бы одно ≠0 ): 1а1 +2a2 =0 ] 2 ≠0 , а2 = а1, обозначим , a2 =а1  а1||a2

Слайд 173

Описание слайда:

Слайд 174

Описание слайда:

Слайд 175

Описание слайда:

Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима  а1 || a2 ) а1 ,a2 - линейно зависимы,  1, 2 (хотя бы одно ≠0 ): 1а1 +2a2 =0 ] 2 ≠0 , а2 = а1, обозначим , a2 =а1  а1||a2 ) а1||a2 Если а1 =0 , то 1а1 +0·a2 =0  1 ≠0  а1 ,a2 - линейно зависимы

Слайд 176

Описание слайда:

Слайд 177

Описание слайда:

Слайд 178

Описание слайда:

Слайд 179

Описание слайда:

Теорема 3: Система из трёх векторов а1 , a2 и a3 линейно зависима  а1, a2, a3 компланарны

Слайд 180

Вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях Вектора называются компланарными, если они лежат в...

Описание слайда:

Слайд 181

Описание слайда:

Вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях Вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях Вектора называются компланарными, если они будучи отложены от одной точки лежат в одной плоскости

Слайд 182

Описание слайда:

) а1 ,a2, a3 - линейно зависимы, ) а1 ,a2, a3 - линейно зависимы,  1, 2, 3 (хотя бы одно ≠0 ): 1а1 +2a2 +3 a3=0 ] 3 ≠0 , а3 = а1 a2 , обозначим , a3 =а1+ a2

Слайд 183

Описание слайда:

Слайд 184

Описание слайда:

) а1 ,a2, a3 - линейно зависимы, ) а1 ,a2, a3 - линейно зависимы,  1, 2, 3 (хотя бы одно ≠0 ): 1а1 +2a2 +3 a3=0 ] 3 ≠0 , а3 = а1 a2 , обозначим , a3 =а1+ a2 а1 ,a2, a3 - компланарны

Слайд 185

Описание слайда:

) а1 ,a2, a3 - компланарны ) а1 ,a2, a3 - компланарны а1 ,a2 - линейно независимы (не лежат на одной прямой)

Слайд 186

Описание слайда:

) а1 ,a2, a3 - компланарны ) а1 ,a2, a3 - компланарны а1 ,a2 - линейно независимы (не лежат на одной прямой)

Слайд 187

Описание слайда:

) а1 ,a2, a3 - компланарны ) а1 ,a2, a3 - компланарны а1 ,a2 - линейно независимы (не лежат на одной прямой)

Слайд 188

Описание слайда:

) а1 ,a2, a3 - компланарны ) а1 ,a2, a3 - компланарны а1 ,a2 - линейно независимы (не лежат на одной прямой)

Слайд 189

Описание слайда:

) а1 ,a2, a3 - компланарны ) а1 ,a2, a3 - компланарны а1 ,a2 - линейно независимы (не лежат на одной прямой) a3 =а1+ a2

Слайд 190

Описание слайда:

) а1 ,a2, a3 - компланарны ) а1 ,a2, a3 - компланарны а1 ,a2 - линейно независимы (не лежат на одной прямой) a3 =а1+ a2 , а1+ a2 +(-1)a3 =0

Слайд 191

Описание слайда:

) а1 ,a2, a3 - компланарны ) а1 ,a2, a3 - компланарны а1 ,a2 - линейно независимы (не лежат на одной прямой) a3 =а1+ a2 , а1+ a2 +(-1)a3 =0 а1 ,a2, a3 - линейно зависимы

Слайд 192

Описание слайда:

) а1 ,a2, a3 - компланарны ) а1 ,a2, a3 - компланарны а1 ,a2 - линейно независимы (не лежат на одной прямой) a3 =а1+ a2 , а1+ a2 +(-1)a3 =0 а1 ,a2, a3 - линейно зависимы а1 ,a2 - линейно зависимы

Слайд 193

Описание слайда:

Слайд 194

Описание слайда:

Слайд 195

Описание слайда:

Слайд 196

Описание слайда:

Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4 линейно зависима всегда

Слайд 197

Описание слайда:

Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4 линейно зависима всегда а1 ,a2, a3 - линейно зависимы,

Слайд 198

Описание слайда:

Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4 линейно зависима всегда а1 ,a2, a3 - линейно зависимы,  1, 2, 3 (хотя бы одно ≠0 ):

Слайд 199

Описание слайда:

Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4 линейно зависима всегда а1 ,a2, a3 - линейно зависимы,  1, 2, 3 (хотя бы одно ≠0 ): 1а1 +2a2 +3 a3=0

Слайд 200

Описание слайда:

Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4 линейно зависима всегда а1 ,a2, a3 - линейно зависимы,  1, 2, 3 (хотя бы одно ≠0 ): 1а1 +2a2 +3 a3=0 1а1 +2a2 +3 a3 +(0)·a4 =0

Слайд 201

Описание слайда:

Слайд 202

Описание слайда:

а1 ,a2, a3 - линейно независимы, (по т.3) а1 ,a2, a3 - некомпланарны

Слайд 203

Описание слайда:

Слайд 204

Описание слайда:

Слайд 205

Описание слайда:

Слайд 206

Описание слайда:

Слайд 207

Описание слайда:

a4 =а1+ a2+a3 a4 =а1+ a2+a3

Слайд 208

Описание слайда:

a4 =а1+ a2+a3 , а1+ a2 +a3 +(-1)a4 =0 a4 =а1+ a2+a3 , а1+ a2 +a3 +(-1)a4 =0

Слайд 209

Описание слайда:

a4 =а1+ a2+a3 , а1+ a2 +a3 +(-1)a4 =0 a4 =а1+ a2+a3 , а1+ a2 +a3 +(-1)a4 =0 а1 ,a2, a3, a4 - линейно зависимы

Слайд 210

Описание слайда:

a4 =а1+ a2+a3 , а1+ a2 +a3 +(-1)a4 =0 a4 =а1+ a2+a3 , а1+ a2 +a3 +(-1)a4 =0 а1 ,a2, a3, a4 - линейно зависимы 

Слайд 211

Описание слайда:

Следствия:

Слайд 212

Описание слайда:

Слайд 213

Описание слайда:

Слайд 214

Описание слайда:

Следствия: Каковы бы ни были неколлинеарные векторы а1,a2 для любого вектора a3 , лежащего в одной плоскости с а1 ,a2, найдутся такие вещественные числа 1, 2, что справедливо равенство a3=1а1+ 2a2 Если а1 ,a2, a3 не компланарны, то они линейно независимы. Среди трёх некомпланарных векторов не может быть двух коллинеарных векторов и не может быть ни одного нулевого вектора.

Слайд 215

Описание слайда:

4. Понятие базиса

Слайд 216

Описание слайда:

4. Понятие базиса Система векторов e1, e2, e3… en называется базисом, если любой вектор x можно представить и причём единственным образом в виде линейной комбинации этой системы векторов

Слайд 217

Описание слайда:

Слайд 218

Описание слайда:

Теоремы о базисе на плоскости и в пространстве

Слайд 219

Описание слайда:

Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.

Слайд 220

Описание слайда:

Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.  по определению базиса x=1 e1 + 2 e2

Слайд 221

Описание слайда:

Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости. по определению базиса x=1 e1 + 2 e2 докажем ! и 

Слайд 222

Описание слайда:

Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости. по определению базиса x=1 e1 + 2 e2 ! ) П

Слайд 223

Описание слайда:

Слайд 224

Описание слайда:

Слайд 225

Описание слайда:

Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости. по определению базиса x=1 e1 + 2 e2 ! ) П x=1 e1 + 2 e2 x=1’ e1 + 2 ‘e2 1 ≠ 1’ 2 ≠ 2’ x-x=1 e1 + 2 e2 –(1’ e1 + 2 ‘e2 )

Слайд 226

Описание слайда:

Слайд 227

Описание слайда:

Слайд 228

Описание слайда:

Слайд 229

Описание слайда:

Слайд 230

Описание слайда:

Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости. по определению базиса x=1 e1 + 2 e2  ) на плоскости x, e1 , e2 линейно зависимы (т3, п3)

Слайд 231

Описание слайда:

Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости. по определению базиса x=1 e1 + 2 e2 ) на плоскости x, e1 , e2 линейно зависимы (т3, п3) 1 e1 + 2 e2 + 3 x=0

Слайд 232

Описание слайда:

Слайд 233

Описание слайда:

Слайд 234

Описание слайда:

Слайд 235

Описание слайда:

Слайд 236

Описание слайда:

Слайд 237

Описание слайда:

Слайд 238

Описание слайда:

Слайд 239

Описание слайда:

Слайд 240

Описание слайда:

Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.

Слайд 241

Описание слайда:

Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве. по определению базиса x=1 e1 + 2 e2 + 3 e3

Слайд 242

Описание слайда:

Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве. по определению базиса x=1 e1 + 2 e2 + 3 e3 докажем ! и 

Слайд 243

Описание слайда:

Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве. по определению базиса x=1 e1 + 2 e2 + 3 e3 ! )

Слайд 244

Описание слайда:

Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве. по определению базиса x=1 e1 + 2 e2 + 3 e3 ! ) П x=1 e1 + 2 e2+ 3 e3 x=1’ e1 + 2 ‘e2 + 3’ e3

Слайд 245

Описание слайда:

Слайд 246

Описание слайда:

Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве. по определению базиса x=1 e1 + 2 e2 + 3 e3 ! ) П x=1 e1 + 2 e2+ 3 e3 1 ≠ 1’ x=1’ e1 + 2 ‘e2 + 3’ e3 2 ≠ 2’ 3 ≠ 3’ x-x= 1 e1 + 2 e2+ 3 e3 –(1’ e1 + 2 ‘e2 + 3’ e3 )

Слайд 247

Описание слайда:

Слайд 248

Описание слайда:

Слайд 249

Описание слайда:

Слайд 250

Описание слайда:

Слайд 251

Описание слайда:

Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве. по определению базиса x=1 e1 + 2 e2 + 3 e3 )

Слайд 252

Описание слайда:

Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве. по определению базиса x=1 e1 + 2 e2 + 3 e3 ) x, e1 , e2 , e3 линейно зависимы (т4, п3)

Слайд 253

Описание слайда:

Слайд 254

Описание слайда:

Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве. по определению базиса x=1 e1 + 2 e2 + 3 e3 ) x, e1 , e2 , e3 линейно зависимы (т4, п3) 1 e1 + 2 e2 + 3 e3 + 4 x=0 Если 4 =0 1 e1 + 2 e2 + 3 e3 =0,

Слайд 255

Описание слайда:

Слайд 256

Описание слайда:

Слайд 257

Описание слайда:

Слайд 258

Описание слайда:

Пусть e1 ,e2 -базис на плоскости, тогда  x  , Пусть e1 ,e2 -базис на плоскости, тогда  x  , x=e1 + e2 (1)

Слайд 259

Описание слайда:

Пусть e1 ,e2 -базис на плоскости, тогда  x  , Пусть e1 ,e2 -базис на плоскости, тогда  x  , x=e1 + e2 (1) Разложение вектора x по базису e1 ,e2

Слайд 260

Описание слайда:

Пусть e1 ,e2 -базис на плоскости, тогда  x  , Пусть e1 ,e2 -базис на плоскости, тогда  x  , x=e1 + e2 (1) Разложение вектора x по базису e1 ,e2 , - координаты вектора x относительно базиса e1 ,e2

Слайд 261

Описание слайда:

x=e1 + e2 +  e3 (2)

Слайд 262

Описание слайда:

Теорема: Вычисление в координатах

Слайд 263

Описание слайда:

Слайд 264

Описание слайда:

Слайд 265

Описание слайда:

Слайд 266

Описание слайда:

Теорема: Вычисление в координатах При сложении двух векторов x1 , x2 их координаты (относительно любого базиса e1,e2,e3 ) складываются. При умножении вектора x1 на любое число  все его координаты умножаются на это число. x1=1e1 + 1e2 +  1e3 x2=2e1 + 2e2 +  2e3 x1 +x2 =1e1 + 1e2 +  1e3 +2e1 + 2e2 +  2e3

Слайд 267

Описание слайда:

Слайд 268

Описание слайда:

Теорема: Вычисление в координатах При сложении двух векторов x1 , x2 их координаты (относительно любого базиса e1,e2,e3 ) складываются. При умножении вектора x1 на любое число  все его координаты умножаются на это число. x1=1e1 + 1e2 +  1e3 x2=2e1 + 2e2 +  2e3 x1 +x2 =1e1 + 1e2 +  1e3 +2e1 + 2e2 +  2e3 = (1 + 2 )e1 + (1 + 2 )e2 + ( 1 +  2 )e3 x1= 1e1 + 1e2 +  1e3

Слайд 269

Описание слайда:

Теорема: Вычисление в координатах При сложении двух векторов x1 , x2 их координаты (относительно любого базиса e1,e2,e3 ) складываются. При умножении вектора x1 на любое число  все его координаты умножаются на это число. x1=1e1 + 1e2 +  1e3 x2=2e1 + 2e2 +  2e3 x1 +x2 =1e1 + 1e2 +  1e3 +2e1 + 2e2 +  2e3 = (1 + 2 )e1 + (1 + 2 )e2 + ( 1 +  2 )e3 x1= 1e1 + 1e2 +  1e3 Св-ва 1-7 линейных операций п.2 

Слайд 270

Описание слайда:

5. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве

Слайд 271

Описание слайда:

5. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве АСК (общей декартовой) на плоскости (в пространстве) называется упорядоченная совокупность двух (трёх, не лежащих в одной плоскости) осей координат, пересекающихся в одной точке

Слайд 272

Описание слайда:

Аффинные координаты на плоскости (в пространстве) определяются заданием базиса e1,e2 (e1,e2,e3) и некоторой точки О, называемой началом координат Аффинные координаты на плоскости (в пространстве) определяются заданием базиса e1,e2 (e1,e2,e3) и некоторой точки О, называемой началом координат

Слайд 273

Описание слайда:

Слайд 274

Описание слайда:

Слайд 275

Описание слайда:

Слайд 276

Описание слайда:

Слайд 277

Описание слайда:

Слайд 278

Описание слайда:

Слайд 279

Описание слайда:

Слайд 280

Описание слайда:

Слайд 281

Описание слайда:

Слайд 282

Описание слайда:

Слайд 283

Описание слайда:

Слайд 284

Описание слайда:

Слайд 285

Описание слайда:

Слайд 286

Описание слайда:

Слайд 287

Описание слайда:

Слайд 288

Описание слайда:

Проекцией вектора на ось u называется величина A’B’ направленного отрезка оси u Проекцией вектора на ось u называется величина A’B’ направленного отрезка оси u

Слайд 289

Описание слайда:

Слайд 290

Описание слайда:

Слайд 291

Описание слайда:

Слайд 292

Описание слайда:

Слайд 293

Описание слайда:

Слайд 294

Описание слайда:

Координаты вектора

Слайд 295

Описание слайда:

Координаты вектора A(x1y1z1)

Слайд 296

Описание слайда:

Координаты вектора A(x1y1z1) B (x2y2z2)

Слайд 297

Описание слайда:

A(x1y1z1) B (x2y2z2) A(x1y1z1) B (x2y2z2)

Слайд 298

Описание слайда:

A(x1y1z1) B (x2y2z2) A(x1y1z1) B (x2y2z2)

Слайд 299

Описание слайда:

A(x1y1z1) B (x2y2z2) A(x1y1z1) B (x2y2z2)

Слайд 300

Описание слайда:

A(x1y1z1) B (x2y2z2) A(x1y1z1) B (x2y2z2)

Слайд 301

Описание слайда:

A(x1y1z1) B (x2y2z2) A(x1y1z1) B (x2y2z2)

Слайд 302

Описание слайда:

Слайд 303

Описание слайда:

Слайд 304

Описание слайда:

Слайд 305

Описание слайда:

Слайд 306

Описание слайда:

Слайд 307

Описание слайда:

Деление отрезка

Слайд 308

Описание слайда:

Слайд 309

Описание слайда:

Слайд 310

Описание слайда:

Слайд 311

Описание слайда:

Слайд 312

Описание слайда:

Число называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок AB Число называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок AB