🗊Презентация Первое начало термодинамики. Лекция № 2

Лекция № 2 Первое начало термодинамики 11/09/2014

Работа, теплота, внутренняя энергия. Работа, теплота, внутренняя энергия. Первое начало термодинамики. Теплоёмкость в различных процессах. Адиабата. Политропа. Процесс Джоуля-Томсона. Энтальпия. Скорость звука в газах. Адиабатическое истечение газа.

Количество теплоты Q, сообщённое системе, идёт на изменение внутренней энергии ΔU = U2 – U1 системы и на совершение системой работы A: Q = ΔU + A Количество теплоты Q, сообщённое системе, идёт на изменение внутренней энергии ΔU = U2 – U1 системы и на совершение системой работы A: Q = ΔU + A Для элементарного процесса: δQ = dU + δA dU – полный дифференциал δQ и δA – не являются полными дифференциалами

Элементарная работа в квазистатическом процессе для газов и жидкостей (для твёрдых тел это не так): δA = PdV δA > 0 при расширении тела δA < 0 при сжатии Элементарная работа в квазистатическом процессе для газов и жидкостей (для твёрдых тел это не так): δA = PdV δA > 0 при расширении тела δA < 0 при сжатии A = ∫PdV – площадь под кривойP(V) Работа зависит от пути перехода из состояния 1 в состояние 2

A = ∫PdV – площадь под кривой P(V); зависит от пути перехода из состояния 1 в состояние 2 A = ∫PdV – площадь под кривой P(V); зависит от пути перехода из состояния 1 в состояние 2 Работа в цикле = площадь замкнутой фигуры A>0, если цикл проходится по часовой стрелке A<0, если цикл проходится против часовой стрелки

V = const (изохора) A = 0 – работа не совершается V = const (изохора) A = 0 – работа не совершается P = const (изобара) A = ∫PdV = P(V2 – V1) = PΔV = νRΔT T = const (изотерма) A = ∫PdV = ∫νRdV/V = νRℓnV2/V1

Внутренняя энергия U включает: Внутренняя энергия U включает: Кинетическую энергию теплового движения атомов и молекул Потенциальную энергию взаимодействия атомов и молекул Внутренняя энергия – функция состояния U = U(V,T); ΔU = U2 – U1 dU = (∂U/∂T)VdT + (∂U/∂V)TdV - полный дифференциал Теплота Q – энергия, передаваемая телу от другого тела посредством теплопередачи или излучением. Q – определяется не состоянием (как U), а процессом (как и работа).

Молярная теплоёмкость С – количество теплоты, которое необходимо подвести к одному молю (ν = 1) вещества для повышения температуры на один Кельвин: С = δQ/dT; размерность [C] = Дж/моль К Молярная теплоёмкость С – количество теплоты, которое необходимо подвести к одному молю (ν = 1) вещества для повышения температуры на один Кельвин: С = δQ/dT; размерность [C] = Дж/моль К С – зависит от свойств вещества и от процесса δQ = dU + δA  CdT = (∂U/∂T)VdT + (∂U/∂V)VdV + PdV  C = (∂U/∂T)V + {(∂U/∂V)V + P} (∂V/∂T)process CV = (∂U/∂T)V, если V = const CP = CV + {(∂U/∂V)T + P}(∂V/∂T)P, если P = const CP - CV = {(∂U/∂V)T + P}(∂V/∂T)P – общее соотношение CP > CV - для любого вещества (даже для воды!) Это следует из принципа Ле Шателье: всякое воздействие стимулируют процессы, ослабляющие это воздействие. СP – CV = Tα2/ρβ, α = 1/V(∂V/∂T)P – коэффициент объёмного расширения β = -1/V(∂V/∂P)T – изотермическая сжимаемость Для конденсированных тел из-за малости α тел CP ≈ CV (для железа γ = CP/CV = 1.02).

Температура идеального газа (ИГ) при расширении в пустоту не изменяется!  внутренняя энергия ИГ не зависит от объёма: U = U(T)  (∂U/∂V)T = 0 Температура идеального газа (ИГ) при расширении в пустоту не изменяется!  внутренняя энергия ИГ не зависит от объёма: U = U(T)  (∂U/∂V)T = 0

Для ИГ (∂U/∂V)T = 0  Для ИГ (∂U/∂V)T = 0  C = (∂U/∂T)V + P(∂V/∂T)process = СV + P(∂V/∂T)process CP - CV = P(∂V/∂T)P = R CP - CV = R – соотношение Майера γ= CP/CV = 1 + R/CV CV = R/(1 – γ) CP = γR/(1 – γ) Если СV = const  U = CVT Одноатомный газ СV = 3/2 R; СP = CV + R = 5/2 R; γ= CP/CV = 5/3 ≈ 1,67

Теорема: на каждую степень свободы молекулы приходится в среднем одинаковая кинетическая энергия, равная εi = ½ kT. Теорема: на каждую степень свободы молекулы приходится в среднем одинаковая кинетическая энергия, равная εi = ½ kT. Число степеней свободы – число независимых координат, определяющих положение молекулы. Одноатомная молекула: i = 3 - только поступательные степени свободы Двухатомная жёсткая молекула (гантель): i = 5 – три поступательных + две вращательных степени свободы Трёх- и более атомная (жесткая, нелинейная): i = 6 – три поступательных + три вращательных степени свободы

На колебательную степень свободы приходится энергия: εкол = εкин + εпот = ½ kT + ½ kT = kT На колебательную степень свободы приходится энергия: εкол = εкин + εпот = ½ kT + ½ kT = kT Полная энергия молекулы: ε = ikT/2 i = iпост + iвращат + 2iколеб Энергия 1 моля: Uμ = iRT/2; для ν молей U = iνRT/2 = iPV/2 Пример: двухатомная упругая молекула: i = 3пост + 2вращат + 2x1колеб = 7  энергия моля U = 7RT/2

Адиабатическим называется квазистатический процесс, происходящий в теплоизолированной системе (δQ = 0): dU + PdV = 0  CVdT + RTdV/V = 0  CVdT/T + RdV/V = 0  TVR/Cv = const  TVγ-1 = const P/T γ/γ-1 = const PVγ = const – уравнение адиабаты Пуассона Адиабатическим называется квазистатический процесс, происходящий в теплоизолированной системе (δQ = 0): dU + PdV = 0  CVdT + RTdV/V = 0  CVdT/T + RdV/V = 0  TVR/Cv = const  TVγ-1 = const P/T γ/γ-1 = const PVγ = const – уравнение адиабаты Пуассона

Адиабата P ~ 1/Vγ Адиабата P ~ 1/Vγ Изотерма P ~ 1/V изотермическая сжимаемость: βT = -1/V(∂V/∂P)T = 1/P адиабатическая сжимаемость: βад = 1/V(∂V/∂P)ад = 1/γP = βT/γ  изотермическая сжимаемость в γ раз больше адиабатической : βT/βад = γ – это верно не только для газов, но и для всех веществ

Идеальный газ в мягкой адиабатической оболочке Идеальный газ в мягкой адиабатической оболочке резко сжимают, скачкообразно увеличивая давление от P1 до P2 Квазистатически увеличивают давление от P1 до P2 Как изменилась температура в первом и втором случаях? Решение: Aвнеш = ΔU  P2(V2 – V1) = Cv(T2 – T1)  {с учётом уравнения состояния PV = RT}  T2 = T1{1 + (1-1/γ) ΔP/P1} T2квазст = T1(P2/P1) (1-1/γ)  T2квазст < T2  при резком сжатии газ нагревается сильнее.

CdT = CVdT + PdV = CVdT + RTdV/V  (C – CV)dT/T – RdV/V = 0  T/VR/C-Cv = const  CdT = CVdT + PdV = CVdT + RTdV/V  (C – CV)dT/T – RdV/V = 0  T/VR/C-Cv = const  PVn = const – уравнение политропы; n = (C – CP)/(C – Cv) - показатель политропы

dQ = CdT = dU + PdV = CVdT + PdV  C = CV + P(dV/dT)process dQ = CdT = dU + PdV = CVdT + PdV  C = CV + P(dV/dT)process PV2 = RTV = const  dT/T + dV/V = 0  (dV/dT)process = - V/T  C = CV + P(dV/dT)process = CV + P(-V/T) = CV - PV/T = CV – R Ответ: C = CV – R Решение с использованием формулы политропы: n = (C – CP)/(C – CV) = 2  C = CV – R //ответ

Процесс Джоуля-Томсона – это медленное стационарное адиабатическое течение газа через пористую перегородку (пробку) из области высокого P1 в область низкого давления P2. Процесс Джоуля-Томсона – это медленное стационарное адиабатическое течение газа через пористую перегородку (пробку) из области высокого P1 в область низкого давления P2. Aвнешн = ΔU  P1V1 – P2V2 = U2 – U1  U1 + P1V1 = U2 + P2V2 = H – энтальпия (тепловая функция)  процесс Джоуля – Томсона – это изоэнтальпийный процесс. Для ИГ энтальпия H = U + PV = CVT + RT = (CV + R)T = CPT H1 = H2  T1 = T2  в процессе Дж.-Т температура ИГ не изменяется Для гашения скорости можно использовать маленькое отверстие – дроссельный вентиль; тогда процесс называют доросселированием.

Звуковая волна в газе или жидкости – это продольная волна разрежения-уплотнения. Звуковая волна в газе или жидкости – это продольная волна разрежения-уплотнения. Скорость звука сзв = (∂P/∂ρ)?1/2 Изотермический звук: сTзв = (∂P/∂ρ)T1/2 = (P/ρ)1/2 = (RT/μ)1/2 = 280 м/с Адиабатический звук: садзв = (∂P/∂ρ)ад1/2 = (γP/ρ)1/2 = (γRT/μ)1/2 = 330 м/с – так оно и есть

В баллоне давление P1, T1, скорость v = 0. Через маленькое отверстие (вентиль) газ вытекает в область с давлением P2, приобретая скорость v и температуру T2 : T2/T1 = (P2/P1)γ/(γ-1) В баллоне давление P1, T1, скорость v = 0. Через маленькое отверстие (вентиль) газ вытекает в область с давлением P2, приобретая скорость v и температуру T2 : T2/T1 = (P2/P1)γ/(γ-1) P1V1 – P2V2 = U2 – U1 + μv2/2  P1V1 + U1 = P2V2 + U2 + μv2/2  CPT1 = CPT2 + μv2/2  скорость струи v2 = 2CP(T1 – T2)/μ = 2γRT1/μ(γ-1) (1 – T2/T1) = cзв2 2/(γ-1) (1 – (P2/P1)γ/(γ-1)  v = cзв {2/(γ-1) (1 – (P2/P1)γ/(γ-1)}1/2 при P2 << P1  vmax = cзв {2/(γ-1)}1/2 > cзв Для одноатомного газа vmax = cзв (3)1/2 = 1,73cзв для воздуха vmax = cзв (5)1/2 = 3,24cзв