🗊Презентация Понятие формирующего фильтра и его свойства

Понятие формирующего фильтра и его свойства

Постановка задачи Имеется система стохастических линейных дифференциальных уравнений . (1) – формирующий фильтр Здесь x(t) – n-мерный случайный процесс, называемый вектором состояния. – не зависящий от x(0) центрированный p-мерный белый шум, называемый порождающим. F(t) – матрица динамики; G(t) – матрица порождающих шумов. Задача заключается в определении математического ожидания и матрицы ковариаций для вектора состояния x(t).

Общее решение Запишем решение уравнения (1) в виде . (2) Ф(t,t1) – фундаментальная матрица для уравнения . Математическое ожидание, матрица ковариаций и корреляционная функция определяются следующими соотношениями: (3) (4) (5) Матрица ковариаций является решением дифференциального уравнения . (6)

Стационарный процесс Запишем стационарные уравнения (7) (8) Матрицы F, G и Q постоянны. Условия стационарности процесса на выходе стационарной системы 1. Математическое ожидание процесса x(t) не зависит от времени при выполнении условия . 2. Матрица ковариаций не зависит от времени если существует матрица P∞ , такая что при P= P∞ (9) Если матрицу ковариаций P(0) для вектора x(0) выбрать совпадающей с решением этого уравнения P(0)=P∞, то процесс x(t) становится стационарным, поскольку P(t)≡P(0).

При этом корреляционная функция будет зависеть только от τ (10) Если установившееся решение уравнения (11) существует, но начальная матрица ковариаций не совпадает с P∞, то, поскольку P→P∞ при увеличении времени, процесс после завершения переходного режима при t → ∞ можно считать стационарным.

Замечание 1 Замечание 1 Если дополнительно предположить, что x(0) и порождающий шум гауссовские, т.е. (12) то и процесс x(t) также будет гауссовским. Замечание 2 Используя выражение (13) можно убедиться в том, что процесс x(t) является марковским. Если зафиксировать моменты времени t1>t2>t3 , то значение процесса в момент t3 при фиксированных его значениях в моменты t1 и t2 зависит только от момента t2 и не зависит от t1. При этом белый шум не зависит в статистическом смысле от начальных условий x(0).

Пример Рассмотрим формирующий фильтр (14) где F=-α, Уравнение для корреляционной функции примет вид (15) В силу того, что Ф(t,t0)=e-α(t-t0), решение этого уравнения можно представить (16) Уравнение сводится к уравнению 2αP∞=2σx2α, имеющему решение P∞= σx2 . Таким образом, при P(0)=σx2 процесс будет стационарным, а соответствующая ему корреляционная функция примет вид (17)