Понятие и принципы построения математической модели физических систем

Нажмите для полного просмотра!

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №2

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №3

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №4

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №5

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №6

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №7

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №8

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №9

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №10

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №11

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №12

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №13

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №14

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №15

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №16

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №17

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №18

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №19

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №20

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №21

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №22

Понятие и принципы построения математической модели физических систем, слайд №23

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Понятие и принципы построения математической модели физических систем. Доклад-сообщение содержит 23 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Понятие и принципы построения математической модели физических систем

Слайд 2

Описание слайда:

Попытаемся построить простейшую модель маятника в виде массивного груза, подвешенного на нити и совершающего периодические или периодические затухающие колебания (рис. 2).

Слайд 3

Описание слайда:

В первую очередь нам необходимо сформулировать физическую модель. Колебание маятника не равномерное: в какой-то момент времени груз движется быстро, а в другой момент времени медленнее. Такое ускоренное движение, согласно второму закону Ньютона, может происходить только под действием внешней силы, в противном случае груз совершал бы, согласно принципу Галилея, прямолинейное равномерное движение. Попытаемся выяснить, какие силы здесь задействованы. Груз электрически нейтрален, значит, на него не могут действовать электрические и магнитные поля. Из гравитационных полей существенный вклад вносится только со стороны Земли. Солнце и остальные планеты, как легко показать, действуют на маятник со значительно меньшими силами, и ими с высокой точностью можно пренебречь.

Слайд 4

Описание слайда:

Есть еще силы трения, в первую очередь, сила трения о воздух. При малых скоростях движения груза эта сила пропорциональна скорости и плотности воздуха. Коэффициент пропорциональности очень мал. Сила трения существенно меньше силы притяжения Земли и ею можно пренебречь, только если рассматриваются колебания в относительно небольшие времена. Это обусловлено специфическим характером сил трения, под действием которых из системы непрерывно уходит энергия. За большой промежуток времени маятник может потерять значительную часть своей энергии и это потеря скажется на движении маятника как заметное падение амплитуды колебания. К малозначительным факторам, влияющим на движение маятника, отнесем и вращение Земли. Тогда можно считать маятник совершающим движение в одной плоскости, образованной осями Оx и Оy декартовой системы координат.

Слайд 5

Описание слайда:

Если за Fx и Fy обозначить проекции вектора силы притяжения Земли на оси координат x и y, то согласно механике Ньютона уравнения движения маятника будут иметь вид где m – масса маятника. Но мы воспользуемся механикой Лагранжа, так как нахождение всех компонентов сил в более сложной системе относительно трудоемкая работа. Для нашего маятника

Слайд 6

Описание слайда:

где g – ускорение свободного падения; l – длина нити. Отсчет потенциальной энергии ведется от нижнего положения равновесия. Символами x и y здесь обозначены координаты груза. Так как груз совершает движение по дуге окружности, заданной уравнением x2 + y2 = l2, то функции x(t) и y(t) во-первых, не являются независимыми переменными, во-вторых, удобно перейти в полярную систему координат по формулам где g – ускорение свободного падения; l – длина нити. Отсчет потенциальной энергии ведется от нижнего положения равновесия. Символами x и y здесь обозначены координаты груза. Так как груз совершает движение по дуге окружности, заданной уравнением x2 + y2 = l2, то функции x(t) и y(t) во-первых, не являются независимыми переменными, во-вторых, удобно перейти в полярную систему координат по формулам

Слайд 7

Описание слайда:

Проекции скорости на оси координат равны Проекции скорости на оси координат равны С учетом этих выражении кинетическую и потенциальную энергию можно записать как

Слайд 8

Описание слайда:

Определим функцию Лагранжа: Функция Лагранжа зависит от двух переменных , d/dt. При выводе уравнения Эйлера – Лагранжа в общем случае под x мы подразумевали координату, но не уточняли, что понимается под словом координата и о какой системе (декартовой, полярной и т.д.) идет речь. Для уравнения Эйлера – Лагранжа это не принципиально. Применительно к колебанию маятника мы это уравнение можем записать в виде

Слайд 9

Описание слайда:

Вычисление здесь соответствующих производных приводит к уравнению колебания математического маятника: которое должно быть дополнено начальными условиями для угла и его скорости. Колебания, описываемые уравнением не затухают со временем, так как мы не учитывали явление трения.

Слайд 10

Описание слайда:

Если тело при взаимодействии с другими телами (или средами) увеличивает их кинетическую энергию, то тело испытывает силу сопротивления, если же уменьшает, то на тело будет действовать ускоряющая сила. Если тело при взаимодействии с другими телами (или средами) увеличивает их кинетическую энергию, то тело испытывает силу сопротивления, если же уменьшает, то на тело будет действовать ускоряющая сила. Т.к. качающийся маятник приводит в движение воздух, что легко обнаружить, то мы сразу же заключаем, что маятник испытывает силу сопротивления, которое иначе называют еще силой трения. В науке о движении жидкостей – гидродинамике доказано, что сила Fc сопротивления, действующая со стороны среды на тело, зависит от его геометрических форм, относительной скорости V тела и среды, ее плотности  и физической характеристики, называемой вязкостью .

Слайд 11

Описание слайда:

Характер силы гидродинамического сопротивления определяется одним безразмерным параметром Re, который называется числом Рейнольдса. Для тела достаточно малого размера L и скорости V если Re = LV/

Слайд 12

Описание слайда:

Так как идет речь о простейшей модели маятника, то мы вместо V подставим окружную скорость самого маятника, а влияние скорости воздуха на величину силы сопротивления и других параметров будем считать учтенным в коэффициенте пропорциональности k = a. Тогда в полярных координатах имеем

Слайд 13

Описание слайда:

где отрицательный знак означает, что сила Fc тормозящая. С учетом этой силы трения уравнение движения маятника будет выглядеть следующим образом: где отрицательный знак означает, что сила Fc тормозящая. С учетом этой силы трения уравнение движения маятника будет выглядеть следующим образом:  = k/m. Рассмотренный пример с математическим маятником не демонстрирует всех достоинств механики Лагранжа. Уравнение (1) можно легко получить и в рамках механики Ньютона. Приведем другой пример маятника с подвижной точкой подвеса, где подход Лагранжа существенно упрощает вывод уравнений движения, по сравнению с подходом Ньютона. На рисунке 3 точка подвеса маятника с массой m1 без трения скользит по горизонтальной поверхности. Массу подвешенного груза обозначим за m2.

Слайд 14

Описание слайда:

Координату тела массы m1 обозначим за y, а координаты груза m2 – за x2 и y2. По рисунку 3 определяем Координату тела массы m1 обозначим за y, а координаты груза m2 – за x2 и y2. По рисунку 3 определяем Учитывая, что величины x2, y2 и  зависят от времени, определим производные:

Слайд 15

Описание слайда:

являющиеся компонентами скорости подвешенного груза. Скорость движения подвеса равна dy/dt. Тогда полная кинетическая энергия системы T равна сумме кинетической энергии движения грузов с массами m1 и m2: являющиеся компонентами скорости подвешенного груза. Скорость движения подвеса равна dy/dt. Тогда полная кинетическая энергия системы T равна сумме кинетической энергии движения грузов с массами m1 и m2:

Слайд 16

Описание слайда:

Вклад в полную потенциальную энергию U дает только подвешенный груз: Вклад в полную потенциальную энергию U дает только подвешенный груз: Искомые уравнения движения из функции Лагранжа где неизвестными параметрами механической системы являются угол  и смещение y подвеса, получаются из дифференциальных соотношений

Слайд 17

Описание слайда:

Вычисление производных здесь не представляет трудностей. Опуская несложные выкладки, приведем соответствующие уравнения Вычисление производных здесь не представляет трудностей. Опуская несложные выкладки, приведем соответствующие уравнения

Слайд 18

Описание слайда:

В приведенной форме эти уравнения не удобны для численного решения. Чтобы привести их в нормальную форму необходимо из первого уравнения с помощью второго исключить d2/dt2. Аналогичным образом поступаем и со вторым уравнением. Простой расчет дает В приведенной форме эти уравнения не удобны для численного решения. Чтобы привести их в нормальную форму необходимо из первого уравнения с помощью второго исключить d2/dt2. Аналогичным образом поступаем и со вторым уравнением. Простой расчет дает m = m1 +m2.

Слайд 19

Описание слайда:

#include #include #include float omeg= 3; float Fx(float x, float v, float t); float Fv(float x, float v, float t); int main() { FILE *f; f=fopen ("D:\\Inf\\dif_2.dat", "w"); float x0, x, xp, xt, xn, h, t, tc; float v0, v, vp, vn; x0=0; v0=5.25; tc=10.0; h=0.01;